解構(gòu)與建構(gòu)：優(yōu)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)教學(xué)

秦緒博

摘 要：在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，解構(gòu)與建構(gòu)是兩大支柱。在實(shí)踐中，解構(gòu)與建構(gòu)既是相互獨(dú)立的，又是相互融合的。解構(gòu)是為了讓學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識的節(jié)點(diǎn)，建構(gòu)是為了讓學(xué)生更深刻地把握數(shù)學(xué)知識的連線。把握了數(shù)學(xué)節(jié)點(diǎn)和連線，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)就能不斷優(yōu)化，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能得到不斷地發(fā)展和提升。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知結(jié)構(gòu)；解構(gòu)；建構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性的學(xué)科。優(yōu)化數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，建構(gòu)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的應(yīng)然追求。華東師范大學(xué)李士锜教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)可以看成由節(jié)點(diǎn)和連線組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)系統(tǒng)之中，節(jié)點(diǎn)就是知識元素、對象，表現(xiàn)在學(xué)生心理上就是概念表象；連線就是知識關(guān)系、聯(lián)系，表現(xiàn)在學(xué)生心理上就是概念結(jié)構(gòu)。某種意義上，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是知識節(jié)點(diǎn)的解構(gòu)、知識連線的建構(gòu)過程。

一、解構(gòu)：深刻理解數(shù)學(xué)知識的節(jié)點(diǎn)

所謂“解構(gòu)”，是指學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)習(xí)目標(biāo)，根據(jù)自己的認(rèn)知狀態(tài)、情感體驗(yàn)和行為方式等對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)、深度加工的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既可以引領(lǐng)學(xué)生按照時(shí)間對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)概念等進(jìn)行解構(gòu)，如分?jǐn)?shù)，學(xué)生要先后學(xué)習(xí)將一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位和由許多物體組成的整體進(jìn)行平均分；也可以引領(lǐng)學(xué)生按照空間對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解構(gòu)，如學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)時(shí)，要從空間形態(tài)上認(rèn)識分子、分?jǐn)?shù)線和分母等。在解構(gòu)中，學(xué)生要對知識的特征進(jìn)行主動識別、比較、分類、概括、判斷、推理等多樣態(tài)的信息加工。

1. 解構(gòu)“迷思概念”

解構(gòu)是建構(gòu)的基礎(chǔ)，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首先就是解構(gòu)。在學(xué)生解構(gòu)性學(xué)習(xí)中，首先是對學(xué)生迷思概念的解構(gòu)。所謂“迷思概念”，是指學(xué)生在日常學(xué)習(xí)生活中自然而然形成的錯(cuò)誤概念。這些迷思概念有的由于學(xué)生的認(rèn)識模糊而產(chǎn)生，有的是因?yàn)樯罡拍畹挠绊懙?。解?gòu)“迷思概念”，就是要引領(lǐng)學(xué)生辨析迷思概念、消解迷思概念、轉(zhuǎn)變迷思概念。如“垂直”概念，學(xué)生由于受生活習(xí)慣的影響，往往形成“垂直就是豎直”的迷思概念。教學(xué)中，教師可以從線段的上方一點(diǎn)讓學(xué)生作垂線，然后將線段旋轉(zhuǎn)。在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，垂線不再是豎直的了，而是跟著旋轉(zhuǎn)，但兩條直線之間的夾角卻永遠(yuǎn)是90°。由此解構(gòu)學(xué)生頭腦中原有的“垂直是豎直”的迷思概念，讓學(xué)生形成對“垂直”概念內(nèi)涵的本質(zhì)認(rèn)識。

2. 解構(gòu)“認(rèn)知對象”

數(shù)學(xué)知識是人類“生命·實(shí)踐”智慧的結(jié)晶，是壓縮形態(tài)的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行“解壓縮”，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識誕生過程，這就是對學(xué)生數(shù)學(xué)“認(rèn)知對象”的解構(gòu)。如“用字母表示數(shù)”，在成人看來是稀松平常的事，但對于兒童來說卻要經(jīng)歷一次理智跨越——從“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)向“準(zhǔn)代數(shù)思維”。教學(xué)中，教師要對知識進(jìn)行解構(gòu)：從文辭代數(shù)到縮小代數(shù)再到符號代數(shù)，從用字母表示“確定的數(shù)”到用字母表示“不確定的數(shù)”，從用字母表示“變量”到用字母表示“常量”，等等。通過對認(rèn)知對象的解構(gòu)，學(xué)生才能理解“用字母表示數(shù)”的過程并不是簡單地用字母代替數(shù)，而是對實(shí)際問題的抽象化、符號化、普適化的過程。

3. 解構(gòu)“學(xué)習(xí)過程”

某種意義上，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程就是不斷地解構(gòu)、建構(gòu)、重構(gòu)的過程。解構(gòu)“學(xué)習(xí)過程”，就是指教師在教學(xué)中要不斷變換教與學(xué)方式、變換教與學(xué)呈現(xiàn)方式等。通過解構(gòu)學(xué)習(xí)過程，不斷打破學(xué)生形成的固化思維、膠著狀態(tài)、認(rèn)知慣習(xí)等。例如教學(xué)《乘法分配律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊），教材安排的例題是（a+b）×c=a×c+b×c，而教師的教學(xué)決不能止于此。在學(xué)生掌握了加法與乘法的分配后，教師還應(yīng)該呈現(xiàn)減法與乘法的分配如（a-b）×c=a×c-b×c，還應(yīng)該呈現(xiàn)三個(gè)、四個(gè)加數(shù)與乘法的分配律如（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d，等等。只有通過“變式”，才能對學(xué)生形成的認(rèn)知固著狀態(tài)進(jìn)行不斷解構(gòu)，從而讓學(xué)生保留對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的本質(zhì)認(rèn)識。

瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是不斷地同化與順應(yīng)。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，需要經(jīng)過從“不平衡”到“平衡”再到“不平衡”的過程。當(dāng)學(xué)生現(xiàn)有圖式不能同化新刺激時(shí)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)即被破壞，這就是認(rèn)知的解構(gòu)，學(xué)生的舊知就需要順應(yīng)新知。從這個(gè)視角看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是不斷地“解構(gòu)—建構(gòu)—再解構(gòu)”的過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力在這個(gè)過程中不斷得到深化，學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”在這個(gè)過程中能夠得到不斷發(fā)展和提升。

二、建構(gòu)：深刻理解數(shù)學(xué)知識的連線

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)主要體現(xiàn)在兩個(gè)層面，一是對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的建構(gòu)、修補(bǔ)，二是對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)、完善。數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)。往深處說，知識結(jié)構(gòu)是基于學(xué)生科學(xué)知識點(diǎn)的形成基礎(chǔ)上形成的，同樣，知識點(diǎn)也只有放置于結(jié)構(gòu)之中才能更好地被理解。知識點(diǎn)和知識結(jié)構(gòu)是相輔相成、相得益彰的。

1. 建構(gòu)“知識體”

數(shù)學(xué)知識節(jié)點(diǎn)總是處于知識連線之中。數(shù)學(xué)知識節(jié)點(diǎn)能否納入數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)之中主要依賴于學(xué)生頭腦原有知識點(diǎn)的“可利用性”“可辨別性”和“穩(wěn)定性”。所謂“可利用性”，是指學(xué)生舊知中擁有同化新知的固定點(diǎn)；所謂“可辨別性”，是指學(xué)生對新舊知識點(diǎn)的異同點(diǎn)能被辨別；所謂“穩(wěn)定性”，是指學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有觀念是穩(wěn)定的。教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用知識點(diǎn)，進(jìn)行橫向整合與縱向拓展，讓知識點(diǎn)串聯(lián)成知識串，并聯(lián)成知識面，建構(gòu)成知識網(wǎng)、知識體。如五年級學(xué)習(xí)了“因數(shù)與倍數(shù)”“公因數(shù)與公倍數(shù)”“最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)”“約分與通分”，六年級學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)加減法與分?jǐn)?shù)乘除法”等知識后，教師要引領(lǐng)學(xué)生對這些知識點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)合。在統(tǒng)合過程中，學(xué)生才能對知識點(diǎn)的源頭、根據(jù)、指向、流向、作用、關(guān)聯(lián)等形成深刻洞察，才能厘清知識的發(fā)展脈絡(luò)。只有建構(gòu)成“知識體”，單個(gè)知識點(diǎn)才能凸顯意義和價(jià)值。

2. 建構(gòu)“認(rèn)知體”

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不僅能夠獲得數(shù)學(xué)知識，而且能夠習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法，積淀數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。這些思想方法、活動經(jīng)驗(yàn)有時(shí)具有較強(qiáng)的遷移性、指示性，能夠形成學(xué)生良好的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。知識結(jié)構(gòu)是客觀的知識存在，認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是學(xué)生的心理存在。良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)能夠迅速地吸收新知，能夠靈活地運(yùn)用知識，能夠產(chǎn)生、創(chuàng)造新知。例如，當(dāng)學(xué)生建構(gòu)了“平行四邊形的面積推導(dǎo)方法”后，就能積淀剪切、平移的操作活動經(jīng)驗(yàn)，就能初步感受轉(zhuǎn)化的思想方法，就能有意識地將轉(zhuǎn)化前后的圖形進(jìn)行比較，等等。這些認(rèn)知體（包括經(jīng)驗(yàn)、思想、意識等）能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如學(xué)生在推導(dǎo)“三角形的面積”“梯形的面積”“圓的面積”時(shí)，教師就可以放手讓學(xué)生嘗試、探究。建構(gòu)“認(rèn)知體”，需要教會學(xué)生記憶基礎(chǔ)知識，指導(dǎo)學(xué)生組織學(xué)習(xí)材料，運(yùn)用編碼策略進(jìn)行數(shù)學(xué)理解等。

3. 建構(gòu)“學(xué)習(xí)體”

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅依賴于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且與學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。如果說，知識結(jié)構(gòu)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“原料”、認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“粘合劑”，那么，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“建筑用具”。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常見的有邏輯型學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)、層次型學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)等。例如，學(xué)習(xí)《三角形內(nèi)角和》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊），學(xué)生就依托邏輯型學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)展開了這樣的探索：將“三角形的內(nèi)角和”分類成“直角三角形的內(nèi)角和”“銳角三角形的內(nèi)角和”和“鈍角三角形的內(nèi)角和”分別進(jìn)行探究；當(dāng)學(xué)生用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法探究出“三角形的內(nèi)角和”后，有學(xué)生就猜想能夠用嚴(yán)格證明的方法（演繹法）探究“三角形內(nèi)角和”；當(dāng)學(xué)生探究出“三角形的內(nèi)角和”后，就猜想“四邊形的內(nèi)角和”“五邊形的內(nèi)角和”“多邊形的內(nèi)角和”，等等。這些都是學(xué)生層次性學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的具體體現(xiàn)。良好的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)能夠讓學(xué)生生發(fā)出多元思維的觸角，引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整合與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化都依賴于學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整合尤其是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成能夠助推學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。一個(gè)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)優(yōu)良的學(xué)生通常能夠舉一反三，學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性較強(qiáng)，學(xué)習(xí)的抽象度較高。因此，建構(gòu)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識連線是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心。

知識節(jié)點(diǎn)和知識連線是相互滲透、相互聯(lián)系、相互影響、相互制約的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)照學(xué)生的迷思概念、認(rèn)知對象以及學(xué)習(xí)過程解構(gòu)，更要關(guān)注數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。只有當(dāng)教師不僅關(guān)照了知識節(jié)點(diǎn)的優(yōu)化，更關(guān)注了節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間連線的優(yōu)化，從而形成最佳結(jié)構(gòu)時(shí)，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的整體效益。抓住數(shù)學(xué)課堂的整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化，也就抓住了數(shù)學(xué)教學(xué)的“牛鼻子”。結(jié)構(gòu)化教學(xué)能夠?qū)崿F(xiàn)教與學(xué)的統(tǒng)一、想與做的合一，從而引領(lǐng)學(xué)生走向優(yōu)質(zhì)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。