數(shù)學(xué)推理的價(jià)值意蘊(yùn)及其教學(xué)策略

周曉甜

摘 要：數(shù)學(xué)推理是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成。數(shù)學(xué)推理有其本真內(nèi)涵及價(jià)值意蘊(yùn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)推理的教學(xué)策略與路徑，催生學(xué)生推理意識(shí)、培育學(xué)生推理能力、積累學(xué)生推理經(jīng)驗(yàn)、優(yōu)化學(xué)生推理品質(zhì)，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)推理。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)推理；價(jià)值意蘊(yùn)；教學(xué)策略

推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要的學(xué)習(xí)方式就是推理，推理伴隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終?！?011年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，應(yīng)將推理能力的發(fā)展貫穿于學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中。小學(xué)是推理教學(xué)的起步階段，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生的年齡特征和數(shù)學(xué)知識(shí)特質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)推理教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)內(nèi)涵及價(jià)值意蘊(yùn)

（一）“數(shù)學(xué)推理”釋義

所謂“數(shù)學(xué)推理”，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中由已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）的過(guò)程。一般認(rèn)為，推理主要包括合情推理和演繹推理兩種形式，其中合情推理又包括類(lèi)比推理和歸納推理。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理通常用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理通常用于證明結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理應(yīng)該是學(xué)生主動(dòng)發(fā)生的行為。如果教師在這個(gè)過(guò)程中過(guò)度地“引”“導(dǎo)”，那么學(xué)生就可能出現(xiàn)虛假推理的現(xiàn)象。比如暗示性推理、無(wú)端式推理等，表面上是學(xué)生在進(jìn)行推理學(xué)習(xí)，其實(shí)質(zhì)是學(xué)生在接受教師的指令。

（二）“數(shù)學(xué)推理”價(jià)值

1. 基于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的需要

數(shù)學(xué)推理讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再停留于表層，而是展開(kāi)積極猜想、論證、甄別、判斷等，這些能夠?qū)е聦W(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。比如，合情推理有助于萌發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，演繹推理則有助于培育學(xué)生嚴(yán)密性思維。這些都是學(xué)生應(yīng)具備的深度學(xué)習(xí)品質(zhì)，體現(xiàn)著深度學(xué)習(xí)要求。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行清晰度高、邏輯性強(qiáng)、方法靈活的推理。通過(guò)數(shù)學(xué)推理，形成學(xué)生理性思考的能力。

2. 基于學(xué)生思維品質(zhì)的需要

數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)就是發(fā)現(xiàn)、探究。離開(kāi)推理，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就只是直觀感知，只能停留在感性層面，而不能上升到理性層面。推理是啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想、智慧的重要手段與方法。數(shù)學(xué)推理不僅能夠發(fā)展學(xué)生類(lèi)比、歸納思維，而且能夠發(fā)展學(xué)生邏輯、理性和形式化思維。換言之，沒(méi)有推理就沒(méi)有學(xué)生高端思維品質(zhì)的發(fā)展。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，推理不單純地依賴證明、計(jì)算，還可以借助說(shuō)理、舉例等多種方式來(lái)進(jìn)行、展開(kāi)。

3. 基于數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)的需要

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三：抽象、推理與模型”?？梢赃@樣說(shuō)，推理是數(shù)學(xué)學(xué)科最為本質(zhì)的特點(diǎn)。如果一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中沒(méi)有學(xué)會(huì)推理（無(wú)論是合情推理還是演繹推理），那么很難說(shuō)這個(gè)學(xué)生具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。著名數(shù)學(xué)家彭加勒說(shuō)：“推理始終應(yīng)是數(shù)學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)的根本特性?！倍ɡ麃喴苍@樣說(shuō)：“一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)推理，這是他的專(zhuān)業(yè)，也是他那門(mén)學(xué)科的特殊標(biāo)志。”

推理基于學(xué)生舊知，導(dǎo)向?qū)W生新知，推動(dòng)著學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的發(fā)展，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷豐富，他們或多或少都積累了推理經(jīng)驗(yàn)和方法，如聯(lián)想、類(lèi)比、歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證等。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須引領(lǐng)學(xué)生推理實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

二、數(shù)學(xué)推理的教學(xué)策略及展開(kāi)路徑

學(xué)生數(shù)學(xué)推理，尤其是小學(xué)生數(shù)學(xué)推理有別于成人，其有著自身的特質(zhì)。比如推理有一定的情理性，但少了些邏輯性；推理有一定的模糊性，但可能缺少邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，他們常常不經(jīng)仔細(xì)分析就提出假設(shè)；推理夾雜著形象性，具有半邏輯化特點(diǎn)，他們還不能完全脫離實(shí)物、圖片等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要容忍學(xué)生“不嚴(yán)格的清楚”，發(fā)展學(xué)生合情推理與演繹推理的能力。

（一） 數(shù)學(xué)推理的教學(xué)策略

1. 完善推理工具

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)主要涉及“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等內(nèi)容。這些內(nèi)容包含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如假設(shè)、替換、對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、集合、函變等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓數(shù)學(xué)思想、方法成為學(xué)生數(shù)學(xué)推理的“工具包”，助力學(xué)生數(shù)學(xué)推理。

2. 形成推理技能

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)豐富、涉及面廣，這就為學(xué)生數(shù)學(xué)推理提供了許多模型（比如乘法模型、平面圖形面積計(jì)算模型等）。從推理形式上看，合情推理主要是借助猜測(cè)、驗(yàn)證，演繹推理主要是形成“三段論”（包括大前提、小前提和結(jié)論）；從推理內(nèi)容上看，合情推理著力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，演繹推理著力引導(dǎo)學(xué)生論證；從過(guò)程與方法上看，合情推理可以大膽些，演繹推理卻必須嚴(yán)謹(jǐn)、小心。

3. 明晰推理程序

為方便學(xué)生推理，教師應(yīng)該讓學(xué)生明晰推理的一般過(guò)程。首先要理解題意，然后要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)行論證或求解。在這個(gè)過(guò)程中，教師要將分析法（執(zhí)果索因）和綜合法（由因?qū)Ч┤谌肫渲?。一般情況下，推理過(guò)程就是“情景——目標(biāo)——論證”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程序的展開(kāi)過(guò)程。在數(shù)學(xué)推理中，要讓學(xué)生完整地經(jīng)歷這一過(guò)程。

（二）數(shù)學(xué)推理的教學(xué)路徑

1. 搭建支架：催生學(xué)生的推理意識(shí)

推理意識(shí)能夠形成學(xué)生數(shù)學(xué)推理的理性自覺(jué)。只有擁有推理意識(shí)，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺(jué)地想到推理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要搭建支架，催生學(xué)生數(shù)學(xué)推理意識(shí)。比如教學(xué)《小數(shù)的意義》，當(dāng)筆者借助米尺讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾”時(shí)，適時(shí)追問(wèn)：三位小數(shù)、四位小數(shù)還需要我將整數(shù)“1”平均分成1000份、10000份嗎？學(xué)生迅速類(lèi)比推理：三位小數(shù)表示千分之幾、四位小數(shù)表示萬(wàn)分之幾。同時(shí)，有學(xué)生迅速反過(guò)來(lái)類(lèi)比推理：十分之幾表示一位小數(shù)、百分之幾表示兩位小數(shù)等。正是由于筆者將推理支架搭建在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，并通過(guò)問(wèn)題形成問(wèn)題情境，才讓學(xué)生的推理意識(shí)自然萌發(fā)。

2. 融合方法：培育學(xué)生的推理能力

學(xué)生推理能力的發(fā)展不是一朝一夕的事，它需要教師的悉心培育。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將合情推理與演繹論證融合起來(lái)，讓學(xué)生的推理空間多維化、推理過(guò)程高效化。比如，教學(xué)《比的基本性質(zhì)》，教師可以先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)“商不變的規(guī)律”“小數(shù)的性質(zhì)”以及“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的母體。如此，學(xué)生就能自然地形成“比的基本性質(zhì)”的猜想，并自覺(jué)從“除法算式、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和比”之間的關(guān)聯(lián)來(lái)進(jìn)行演繹論證。再比如，教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》，教師可以和學(xué)生復(fù)習(xí)“三角形的分類(lèi)”等知識(shí)，讓學(xué)生從“長(zhǎng)方形內(nèi)角和”演繹推理“直角三角形內(nèi)角和”，由“直角三角形內(nèi)角和”演繹“銳角三角形及鈍角三角形的內(nèi)角和”。接著，由直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和完全歸納出“三角形的內(nèi)角和”。這樣的推理深化了學(xué)生數(shù)學(xué)思維，構(gòu)筑了數(shù)學(xué)推理體系。

3. 開(kāi)發(fā)載體：豐富學(xué)生的推理經(jīng)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)推理中，合情推理具有或然性，演繹推理具有必然性。只有豐富學(xué)生的推理經(jīng)驗(yàn)，才能消解學(xué)生的假象推理，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)推理不再空洞化、形式化、表面化。比如教學(xué)《3的倍數(shù)的特征》，有學(xué)生根據(jù)2的倍數(shù)、5的倍數(shù)的特征類(lèi)比推理3的倍數(shù)的特征，通過(guò)舉例驗(yàn)證，能發(fā)現(xiàn)猜想是不正確的。據(jù)此，有教師直接指引學(xué)生計(jì)算各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，看有什么發(fā)現(xiàn)。這樣的發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)“偽發(fā)現(xiàn)”。其實(shí)，在教學(xué)中，教師完全可以運(yùn)用“百數(shù)表”，讓學(xué)生圈出2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)的數(shù)，學(xué)生就能從不同的排列上產(chǎn)生兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：一是3的倍數(shù)不同于2、5的倍數(shù)；二是學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，在百數(shù)表中，十位上的數(shù)依次加1，個(gè)位上的數(shù)依次減1。至此，教師可以適時(shí)追問(wèn)“什么不變”。如此，引導(dǎo)學(xué)生猜想“3的倍數(shù)的特征”。通過(guò)多次猜想、驗(yàn)證，學(xué)生的合情推理更具合理性。這個(gè)過(guò)程，自然能夠豐富學(xué)生的推理經(jīng)驗(yàn)。

4. 轉(zhuǎn)換視角：優(yōu)化學(xué)生的推理品質(zhì)

數(shù)學(xué)中有許多原理、定理，當(dāng)一個(gè)教師在教學(xué)中用原理、定理來(lái)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)行為時(shí)，教學(xué)就蛻變成簡(jiǎn)單的“告訴”。其實(shí)，教師應(yīng)轉(zhuǎn)換視角，向?qū)W生“抖露”原理、定理的一小部分，而剩余部分則讓學(xué)生借助推理自行構(gòu)建出來(lái)，這樣的教學(xué)才是有效教學(xué)，這樣的推理教學(xué)才能優(yōu)化學(xué)生的推理品質(zhì)。比如教學(xué)《圓柱的體積》，教師可以向?qū)W生“抖露”圓的面積推導(dǎo)過(guò)程；教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》，教師可以向?qū)W生“抖露”整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和同分母分?jǐn)?shù)相加減；教學(xué)《乘法交換律》，教師可以向?qū)W生“抖露”低年級(jí)的“一圖兩式”“乘法驗(yàn)算”等數(shù)學(xué)知識(shí)等。正是通過(guò)教師的視角轉(zhuǎn)換、隱性發(fā)掘，才延展了學(xué)生的推理路徑，拓展了學(xué)生的推理內(nèi)容。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理，應(yīng)當(dāng)從以合情推理為主，逐步過(guò)渡到以演繹推理為主。對(duì)于合情推理與演繹推理，教學(xué)中要注意相互融通、不可偏廢。對(duì)于學(xué)生而言，重要的是用推理意識(shí)面向知識(shí)，用推理的思想探尋規(guī)律，用推理的態(tài)度對(duì)待數(shù)學(xué)。學(xué)生將學(xué)習(xí)如何完成從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從已知到未知的推理過(guò)程，這一過(guò)程在中學(xué)將得到進(jìn)一步強(qiáng)化。為此，小學(xué)階段的推理教學(xué)要“時(shí)刻準(zhǔn)備著”。