物理學(xué)和自然界的數(shù)學(xué)極值原理

史少杰

【摘要】運(yùn)用數(shù)學(xué)極值原理求出的力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)等物理學(xué)規(guī)律完全與能量最低原理、歐姆定律以及折射定理等經(jīng)典物理學(xué)原理一致.數(shù)學(xué)極值原理是自然界和物理學(xué)的一個(gè)普遍性原理，它體現(xiàn)了自然界的行為遵循簡(jiǎn)單性和經(jīng)濟(jì)性原則，即自然界總是以最小的消耗獲得最高的效率和最大的效益.數(shù)學(xué)極值原理在自然界中又具體體現(xiàn)為“窗口法則”和“下限法則”.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)極值原理；窗口法則；下限法則

一、數(shù)學(xué)極值原理的發(fā)展過(guò)程

在數(shù)學(xué)分析中，經(jīng)常求函數(shù)的極大值和極小值，被統(tǒng)稱為極值.實(shí)際上，世界這本大書(shū)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)成的，物理學(xué)和自然界等都是按照數(shù)學(xué)極值原理思想構(gòu)造而成的.

數(shù)學(xué)極值原理的原始思想可以追溯到公元前1世紀(jì)，亞歷山大里亞學(xué)者希羅提出了最短路徑原理，認(rèn)為光在空間任意兩點(diǎn)間傳播過(guò)程總是沿長(zhǎng)度最短的路徑進(jìn)行.公元前2世紀(jì)，托勒密也明確提出了最小化的思想，認(rèn)為光在反射過(guò)程中反射角和入射角相等.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在他的《光的發(fā)射》一書(shū)中，提出了光的直線傳播及發(fā)射定律.公元4世紀(jì)，亞里士多德在對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)提出了一類特殊的極值問(wèn)題，即為等周問(wèn)題.公元6世紀(jì)，希臘哲學(xué)家?jiàn)W林匹奧德魯斯提出了自然現(xiàn)象的“經(jīng)濟(jì)本性”，認(rèn)為自然界不做任何多余的事情.牛津大學(xué)校長(zhǎng)格羅斯泰斯特則強(qiáng)調(diào)，自然界總是沿最捷路徑運(yùn)動(dòng)與變化，而西方哲學(xué)史上著名的“奧卡姆剃刀”原則也同樣揭示出理論思維的簡(jiǎn)單性和明晰性.大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬用“最短時(shí)間”代替“最短路徑”，他堅(jiān)信自然界總是以最簡(jiǎn)潔、最優(yōu)美的形式進(jìn)行，按最優(yōu)化的軌跡進(jìn)行.因此，費(fèi)馬在對(duì)光現(xiàn)象的高度概括性解釋似乎暗示著某種更普遍的原理存在的可能.

二、數(shù)學(xué)極值原理的物理學(xué)解釋

數(shù)學(xué)極值原理在物理學(xué)的發(fā)展演變過(guò)程中也發(fā)揮著重要的作用，而且應(yīng)用十分廣泛.數(shù)學(xué)極值原理適用范圍包括力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域.

（一）力學(xué)的數(shù)學(xué)極值原理

物理學(xué)各領(lǐng)域中常常存在著可以作為作用量的物理量，實(shí)際物理過(guò)程就是使體系的作用量取極值（極大值或極小值）的過(guò)程.我們只要能夠把體系的作用量找到，運(yùn)用數(shù)學(xué)極值原理，就可以得出物理過(guò)程的變化規(guī)律.

（二）光學(xué)的數(shù)學(xué)極值原理

在幾何光學(xué)中，有光的直線傳播、光的反射定律、光的折射定律三大實(shí)驗(yàn)定律.然而，可以將這三個(gè)定律用一個(gè)數(shù)學(xué)極值原理來(lái)表述：光線在兩點(diǎn)間的實(shí)際路徑是所用時(shí)間最短的路徑.

光的直線傳播：兩點(diǎn)之間線段最短，所以在均勻介質(zhì)中光沿直線傳播.

光的反射定律：解釋如圖2所示，

設(shè)光源S發(fā)出的光線打在鏡面h上后反射至P點(diǎn)，可能的路徑有很多，要使點(diǎn)S到點(diǎn)P之間用時(shí)最短，則必須使光線經(jīng)點(diǎn)S到點(diǎn)P的傳播距離最短.兩點(diǎn)之間線段最短，作點(diǎn)S的投影S′，連接S′和P與鏡面h相交于O點(diǎn)，則SO和OP距離之和為最短傳播距離.又∠1=∠2=∠3，∠2+∠4=∠3+∠5=90°，所以∠4=∠5，即反射角等于入射角，所以在光的反射定律成立時(shí)，S點(diǎn)經(jīng)h反射到P點(diǎn)的光線用時(shí)最短.

（三）電學(xué)的數(shù)學(xué)極值原理

數(shù)學(xué)極值原理在并聯(lián)電路中的分流特征和串聯(lián)電路中的分壓特征的表現(xiàn)，其內(nèi)在本質(zhì)就是使電路中所耗的發(fā)熱功率最小.并聯(lián)電路和串聯(lián)電路如圖4所示.

由這個(gè)例子看出，體系實(shí)際的電流分配方式恰好使體系的熱功率達(dá)到最小.在用數(shù)學(xué)極值原理求解時(shí)，并未假設(shè)已知?dú)W姆定律，卻得出了和歐姆定律一樣的結(jié)果.因此，把熱功率看作電路系統(tǒng)里的作用量，并聯(lián)電路里實(shí)際的電流分配方式和串聯(lián)電路中實(shí)際的電壓分配方式總是以輸出熱功率最小為原則的，由此可以得到其他的實(shí)驗(yàn)定律.

三、數(shù)學(xué)極值原理的窗口法則和下限法則

數(shù)學(xué)極值原理是自然界和物理學(xué)的一個(gè)普遍性原理，它體現(xiàn)了自然界的行為遵循簡(jiǎn)單性和經(jīng)濟(jì)性原則，即自然界總是以最小的消耗獲得最高的效率和最大的效益.數(shù)學(xué)極值原理又具體體現(xiàn)為“窗口法則”和“下限法則”.

世界這本書(shū)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)成的，任何物理現(xiàn)象和工程問(wèn)題最后都會(huì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，正如一位數(shù)學(xué)家所言：一切工程問(wèn)題都可化為力學(xué)問(wèn)題，一切力學(xué)問(wèn)題都可化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，一切數(shù)學(xué)問(wèn)題都可化為代數(shù)問(wèn)題，一切代數(shù)問(wèn)題都可化為方程求解.數(shù)學(xué)問(wèn)題最終必然涉及某個(gè)基本“參數(shù)”，而“參數(shù)”必定在某個(gè)范圍內(nèi)，即“窗口法則”，此窗口由上限和下限所確定，根據(jù)數(shù)學(xué)極值原理，在窗口的下限附近必定得到最優(yōu)的結(jié)果，此為下限法則，即為極值原理.

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)極值原理是自然界和物理學(xué)的一個(gè)普遍性原理，它體現(xiàn)了自然界的行為遵循簡(jiǎn)單性和經(jīng)濟(jì)性原則，即自然界總是以最小的消耗獲得最高的效率和最大的效益.數(shù)學(xué)極值原理在自然界中又具體體現(xiàn)為“窗口法則”和“下限法則”.道法自然，科學(xué)規(guī)律和自然界各種現(xiàn)象總是遵從數(shù)學(xué)極值原理，即以下限法則達(dá)到最優(yōu).