淺析復(fù)積分的計算

岳紅云 劉功偉

【摘要】復(fù)變函數(shù)的積分是復(fù)變函數(shù)的核心內(nèi)容，而在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中，工科學(xué)生普遍對積分的計算，特別是利用留數(shù)定理進(jìn)行解析函數(shù)積分的計算感到無所適從，以至于對整個復(fù)變函數(shù)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了不良的影響.本文將通過一個典型例題舉出復(fù)積分計算的各種方法，并且對不同解法進(jìn)行比較，從而讓初學(xué)者不但能熟練掌握復(fù)積分的計算方法，而且能透徹地掌握它們之間的聯(lián)系.最后，通過總結(jié)復(fù)積分的各類方法，還能對留數(shù)定理的重要性有較高的認(rèn)識，讓學(xué)生對復(fù)積分的學(xué)習(xí)有充分的信心.

【關(guān)鍵詞】復(fù)積分；留數(shù)定理；柯西積分公式

【基金項目】河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)物理方法課程改革與實踐項目《數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)改革與實踐（26510030）》.

一、前 言

三、結(jié) 論

通過以上3種解法，讀者可以學(xué)習(xí)到解析函數(shù)積分計算的所有重要方法，即留數(shù)定理、擴(kuò)充復(fù)平面上的留數(shù)定理、復(fù)合閉路定理結(jié)合柯西積分公式，其中：

1.解法1利用留數(shù)定理進(jìn)行積分的計算，解法2利用擴(kuò)充復(fù)平面上的留數(shù)定理進(jìn)行積分的計算，如何恰當(dāng)選擇？通常，當(dāng)閉曲線內(nèi)部奇點較少且容易計算留數(shù)時就用留數(shù)定理，當(dāng)閉曲線外部奇點較少且容易計算留數(shù)時就用擴(kuò)充復(fù)平面上的留數(shù)定理進(jìn)行計算.

2.解法3主要是由柯西積分公式得到的，與由留數(shù)定理計算的解法1相比，柯西積分公式要求被積函數(shù)具有特定的形式，若被積函數(shù)f（z）=e1zz，則不能使用柯西積分公式.特別地，當(dāng)閉曲線C內(nèi)部的奇點數(shù)多于一個時，就不能直接利用柯西積分公式，須結(jié)合復(fù)合閉路定理計算積分，這就是解法3.

綜上可知，解析函數(shù)的積分有多種計算方法，而留數(shù)定理計算積分時沒有形式的要求，計算方法更具有普遍性，適用范圍更廣泛，因此，留數(shù)定理的影響力更大.可以說，留數(shù)定理是復(fù)積分計算的最有效的方法，而柯西積分公式，還有高階導(dǎo)數(shù)公式，柯西—古薩基本定理（可以簡單驗證）都是留數(shù)定理的特殊情況，所以留數(shù)定理聯(lián)系了柯西等定理及級數(shù)理論，是復(fù)變函數(shù)積分理論中最核心的內(nèi)容，并且留數(shù)理論在控制論及穩(wěn)定性理論中都有重要應(yīng)用，而通過本論文的解析，就使得復(fù)變函數(shù)的核心內(nèi)容更加突出，學(xué)習(xí)更加輕松、愉快.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]楊巧林.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013.