試析運(yùn)用聯(lián)想思維解決數(shù)學(xué)問題

徐慧鑫

【摘要】隨著素質(zhì)教育改革的深入，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅要掌握基本的知識(shí)定理，更要掌握一定的數(shù)學(xué)思維，更好地解決實(shí)際問題。而聯(lián)想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到很大的幫助，巧妙運(yùn)用各種聯(lián)想，可以快速準(zhǔn)確地解答數(shù)學(xué)問題。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，必須樹立聯(lián)想思維。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)聯(lián)想解題思路案例研究很多人說，高中數(shù)學(xué)知識(shí)抽象復(fù)雜，學(xué)習(xí)起來難度太大。我認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)之所以學(xué)習(xí)吃力，很重要的原因是缺乏有效的解題思路和解題方法。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，我們?cè)诶蠋煹膸ьI(lǐng)下經(jīng)常會(huì)學(xué)習(xí)總結(jié)一些解題方法，但是解題思路的歸納學(xué)習(xí)往往被忽略。數(shù)學(xué)知識(shí)之間其實(shí)是有內(nèi)在聯(lián)系的，新舊知識(shí)可以進(jìn)行遷移與轉(zhuǎn)化，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們可以借助聯(lián)想思維，做好新舊知識(shí)的融會(huì)貫通。我認(rèn)為，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須具備聯(lián)想思維。

一、什么是聯(lián)想思維

從字面上理解聯(lián)想，就是由之前認(rèn)知的事物聯(lián)想到另一件事物上，借助兩者的關(guān)聯(lián)去思考探究新問題。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，聯(lián)想可以將數(shù)學(xué)對(duì)象和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，由此到彼，找到兩個(gè)事物之間共有的規(guī)律，聯(lián)想是數(shù)學(xué)思路轉(zhuǎn)化的橋梁，是新舊數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的紐帶。我們?cè)趯W(xué)習(xí)中遇到陌生的習(xí)題，陌生的知識(shí)，都需要借助聯(lián)想，進(jìn)行新舊知識(shí)的遷移。通過找關(guān)系，找到共有的規(guī)律，找到解題的思路。我在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很喜歡用聯(lián)想思維，對(duì)題設(shè)中的條件、圖形特征及求解目標(biāo)進(jìn)行分析，從而很快地聯(lián)想到原有的定義、定理和法則等，從而找到解題的思路和方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)聯(lián)想思維，數(shù)學(xué)解題可以達(dá)到事半功倍的效果。

二、數(shù)學(xué)聯(lián)想思維在數(shù)學(xué)解題中的作用

在筆者看來，在數(shù)學(xué)解題中善用聯(lián)想思維，可以起到撥開迷霧的積極作用。我通過自身的學(xué)習(xí)體驗(yàn)將數(shù)學(xué)聯(lián)想思維的解題作用歸為兩類。

（一）數(shù)學(xué)聯(lián)想為數(shù)學(xué)解題指明方向

我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中總會(huì)遇到不懂的地方，無法繼續(xù)解答下去的情況，我們不知道怎么入手，如何破解這道題目，有這種體會(huì)主要是我們遇到的數(shù)學(xué)問題與我們之前學(xué)過的知識(shí)和嘗試過的題型不一樣，和我們掌握的解題方法無法關(guān)聯(lián)，我們就陷入解題的迷茫之中。在這種情況下，我們決不能鉆牛角尖，我們必須跳出來，換個(gè)思路，想想我們學(xué)過的類似的知識(shí)，去嘗試著建立新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，通過“他山之石”，起到“可以攻玉”的目的。甚至與它的反面進(jìn)行對(duì)比，逆向思維，看看能不能有意外的解題思路。有時(shí)候換個(gè)思路，進(jìn)行聯(lián)想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村，在我們不知道如何解答的時(shí)候，找到解題思路。

（二）數(shù)學(xué)聯(lián)想帶動(dòng)題設(shè)到結(jié)論的轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常用到轉(zhuǎn)化方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以剝繭抽絲，變抽象復(fù)雜為簡(jiǎn)單生動(dòng)。不懂的枯澀的問題在轉(zhuǎn)化后可以變得更熟悉，我們學(xué)習(xí)解答起來也更容易。轉(zhuǎn)化與聯(lián)想是有著本質(zhì)契合性的，無論怎樣轉(zhuǎn)化，都需要聯(lián)想輔助，我們只有運(yùn)用聯(lián)想思維才能進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們也常常覺得一些解題思路和方法很妙，其實(shí)仔細(xì)分析，是因?yàn)樗麄冞\(yùn)用了聯(lián)想思維，沒有墨守常規(guī)，通過分析題目的特點(diǎn)聯(lián)想到相似的問題上，運(yùn)用之前的解題思路進(jìn)行難題的破解。因此數(shù)學(xué)聯(lián)想帶動(dòng)數(shù)學(xué)問題從題設(shè)到結(jié)論的轉(zhuǎn)化。

三、巧用聯(lián)想思維解題數(shù)學(xué)問題

（一）直接聯(lián)想，突破難題

在高中數(shù)學(xué)聯(lián)想思維中，直接聯(lián)想是最好理解的，直接聯(lián)想就是表面聯(lián)想，什么時(shí)候可以運(yùn)用直接聯(lián)想呢，當(dāng)數(shù)學(xué)題目中包含解題條件和公式信息，我們可以借助直白的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想，在聯(lián)想的過程中找到正確的解題思路，直接聯(lián)想，帶來的是解題的高效與準(zhǔn)確。直接聯(lián)想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們必須要運(yùn)用的一種解題思路，因?yàn)槠浜?jiǎn)單而基礎(chǔ)。在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們必須要熟記課本中的各種數(shù)學(xué)理論知識(shí)和概念定理，千萬不能混淆，只有基礎(chǔ)知識(shí)掌握到位，才能運(yùn)用直接聯(lián)想解決數(shù)學(xué)問題。例如在學(xué)習(xí)集合知識(shí)后，我們遇到這樣的聯(lián)系題：已知兩個(gè)集合A= {X/X2≤1}，B=，當(dāng)b為多少時(shí)，滿足A∪B=A。在這一練習(xí)題目中所運(yùn)用到的是集合知識(shí)，由于A∪B=A，運(yùn)用直接聯(lián)想很快得出答案。再例如問題：直線X+2y+3=0的斜率和在y軸上的截距是多少？我們可以根據(jù)方程式，運(yùn)用直接聯(lián)想，關(guān)聯(lián)到一次函數(shù)問題上，根據(jù)題目中列出的條件，探討斜率及截距問題。這種題型最適合直接聯(lián)想，找到關(guān)聯(lián)點(diǎn)進(jìn)行突破解題。

（二）類比聯(lián)想，舉一反三

類比聯(lián)想就是運(yùn)用類比法將不同類型的學(xué)習(xí)對(duì)象結(jié)合起來分析，找到兩者的差異，通過新舊知識(shí)的遷移做好兩者對(duì)象，解題思路和解題信息的差異區(qū)分，從而舉一反三。我們?cè)趯W(xué)習(xí)圖形結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)可以運(yùn)用類比聯(lián)想。例如，解答圖像問題時(shí)，可以畫出圖像，兩種圖像對(duì)比分析，找到兩個(gè)圖像之間在對(duì)稱性、特殊性及獨(dú)特性方面的差異。或者在一些數(shù)量關(guān)系問題解答中運(yùn)用類比聯(lián)想。特別是在“等差”，“倍數(shù)”這類問題的解答中，挖掘不同數(shù)量對(duì)象的關(guān)聯(lián)性。高中數(shù)學(xué)中有很多知識(shí)點(diǎn)有相似性，我們可以運(yùn)用類比聯(lián)想思維解決等差數(shù)列、雙曲線、橢圓等相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

（三）抽象聯(lián)想，化繁為簡(jiǎn)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們也應(yīng)具備抽象思維能力。對(duì)數(shù)學(xué)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行加工，找到解題條件間的關(guān)系，從基礎(chǔ)題目到深層次題目過渡，做好數(shù)學(xué)解題。例如運(yùn)用抽象思維解決函數(shù)問題。函數(shù)f（k）=Ak4+Bsin3K+CK3+DK+2，滿足f（1）=7，f（-1）=9，且f（-2）+f（2）=124，求f（2）+f（-2）。這道題目中有四個(gè)數(shù)是未知的，我們?cè)诮忸}時(shí)只能列出三個(gè)方程式，分析函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，借助抽象思維對(duì)解題條件進(jìn)行分析概括，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有一對(duì)對(duì)稱關(guān)系。分別為f（1）與f（-1）對(duì)稱；f（2）與f（-2）對(duì)稱。再例如若A=f（K）的圖像關(guān)于K=A，（B，O）對(duì)稱，證明函數(shù)周期4[A—B]。解答這類題目時(shí)需要運(yùn)用抽象聯(lián)想，將語言文字題目轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言知識(shí)，文字轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式，數(shù)形結(jié)合，化抽象文字說明為具體的數(shù)字關(guān)系，進(jìn)行解答。運(yùn)用抽象思維，我們化繁為簡(jiǎn)，聯(lián)想到偶函數(shù)性質(zhì)，運(yùn)用整體代入法進(jìn)行解答。

（四）對(duì)立聯(lián)想，結(jié)論驗(yàn)證

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們也應(yīng)該掌握對(duì)立聯(lián)想，借助對(duì)立聯(lián)想來解決實(shí)際問題。題目信息可以是文字也可以是圖形，對(duì)立聯(lián)想難度很高，但是操作方便，我們?cè)谏钊肜斫忸}目后，借助對(duì)立聯(lián)想解答。例如知道實(shí)數(shù)m，n，1，這三個(gè)實(shí)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系為m-n=8，mn+12+4=0。請(qǐng)求證m+n=0。如果采用正向思維很難找到問題解答的突破口，并且在正向思維思考中耗費(fèi)大量時(shí)間。在正向思維無解的情況下，我們嘗試對(duì)立聯(lián)想。從證明結(jié)論入手：將m-n=8進(jìn)行對(duì)立聯(lián)想，適當(dāng)轉(zhuǎn)化后我們能得到m+（-n）=8，參考已知數(shù)量關(guān)系，可以得出m+（-n）=12+4，這樣就可以根據(jù)算式列出一個(gè)一元二次方程：X2-8X+12+4=0，從而解方程可以得出m，-n的值。結(jié)合題干，所以就可以進(jìn)一步的得出Δ=（-8）2-4（12+4）≥0得出Δ=0，方程求解得出m=-n=4，可以證明結(jié)論。通過一系列的對(duì)立聯(lián)想，我們可以進(jìn)行推理驗(yàn)證結(jié)論。

四、結(jié)束語

聯(lián)想作為常見的數(shù)學(xué)思路，理應(yīng)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到教學(xué)啟發(fā)與點(diǎn)撥的作用。我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須做好聯(lián)想思維的嘗試運(yùn)用。我們?cè)趯W(xué)習(xí)初期很可能不知道如何運(yùn)用聯(lián)想思維，也不知道運(yùn)用哪一種聯(lián)想思維解決問題，但是我們?cè)陂L期的數(shù)學(xué)解題嘗試中，在扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的前提下，通過訓(xùn)練，一定會(huì)熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)聯(lián)想思維解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]林元密.數(shù)學(xué)聯(lián)想思維的分類[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1995，（12）：7.

[2]溫佰昌，劉鳳梅.數(shù)學(xué)解題中的聯(lián)想思維方法研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1995，（05）：11.

[3]彭春花.例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中聯(lián)想思維的作用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013，（08）：7.