基于壓縮感知與擴(kuò)展小波樹(shù)的自適應(yīng)壓縮成像

駱 樂(lè)， 陳 錢(qián)， 戴慧東， 顧國(guó)華， 何偉基

(南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

1 引 言

壓縮感知理論[1-2]由于能夠降低成像過(guò)程中對(duì)傳感器的要求，通過(guò)對(duì)成像目標(biāo)的全局少量的采樣，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的采樣，在相同采樣率的情況下，可獲得更高的圖像質(zhì)量，已被越來(lái)越多地應(yīng)用于光學(xué)成像的各個(gè)領(lǐng)域[3-4]。在圖像重構(gòu)過(guò)程中，圖像的重構(gòu)質(zhì)量只與采樣個(gè)數(shù)有關(guān)，個(gè)別采樣值對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響極小，所以即使在存在噪聲污染的情況下，仍然可以較大概率恢復(fù)出目標(biāo)圖像，因此基于壓縮感知理論的光學(xué)成像可在一定程度上減少噪聲對(duì)成像質(zhì)量的影響。然而由于成像壓力從采樣端轉(zhuǎn)移到了圖像恢復(fù)端，隨著圖像尺寸的增大，重構(gòu)圖像所需的時(shí)間呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)。如何降低壓縮感知成像算法的復(fù)雜度，減少成像時(shí)間，通過(guò)新的壓縮采樣方式獲得計(jì)算量小且質(zhì)量更好的圖像，是壓縮感知理論更好運(yùn)用于實(shí)踐的關(guān)鍵所在。

為了解決上述問(wèn)題，Deutsch、Averbuch和Dekel提出了基于小波樹(shù)結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)壓縮采樣方法[5-6]。2013年，A?mann和Bayer將自適應(yīng)壓縮采樣方法應(yīng)用于鬼成像技術(shù)，提出了壓縮自適應(yīng)鬼成像方法(Compressive adaptive computational ghost imaging，CCGI)[7]。相比于壓縮感知，這種方法所需采樣次數(shù)更少，圖像重構(gòu)速度快，適合于任意尺度的圖像恢復(fù)[8]。Dai等[9]提出基于擴(kuò)展小波樹(shù)的自適應(yīng)成像方法(EWT-ACS)，Huo等[10-11]提出的系數(shù)指導(dǎo)下的單像素成像方法(Adaptive single-pixel imaging method based on guided coefficients，GC-ASPI)和基于共享機(jī)制與兄弟關(guān)系的壓縮自適應(yīng)鬼成像方法[12](Compressive adaptive ghost imagingviasharing mechanism and fellow relationship,SMFR-CAGI)，進(jìn)一步挖掘小波樹(shù)中各節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，有效提高了對(duì)采樣位置預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，提高了采樣率和圖像重構(gòu)效果，減少了重構(gòu)所需時(shí)間。然而基于擴(kuò)展小波樹(shù)結(jié)構(gòu)的采樣法，由于直接采樣重要小波，采樣過(guò)程中受噪聲影響較大。除此以外，Yu等提出了自適應(yīng)壓縮鬼成像(Adaptive comprssed ghost imaging, ACGI)方法[13]，該方法結(jié)合了CS與CCGI的優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)一步減少了測(cè)量次數(shù)，且抗噪性較好。但是ACGI在利用小波樹(shù)確定采樣區(qū)域的過(guò)程中，每次循環(huán)都需要運(yùn)用CS重構(gòu)算法計(jì)算小波系數(shù)，計(jì)算量大。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文在擴(kuò)展小波樹(shù)的框架下，結(jié)合CS理論給出了一種基于壓縮感知與擴(kuò)展小波樹(shù)結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)采樣的壓縮采樣成像方法。將自適應(yīng)成像中點(diǎn)對(duì)點(diǎn)采樣獲得目標(biāo)的低分辨率的圖像方法改為利用數(shù)字微鏡陣列(Digital micro-mirror device,DMD)分區(qū)控制與CS重建，增強(qiáng)了信息獲取的準(zhǔn)確性，減少了采樣次數(shù)。運(yùn)用擴(kuò)展小波樹(shù)對(duì)采樣位置進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后通過(guò)小波逆變換完成圖像重構(gòu)。

2 數(shù)字微鏡陣列分區(qū)控制與小波樹(shù)結(jié)構(gòu)

由于單像素相機(jī)技術(shù)將傳統(tǒng)的并行采樣轉(zhuǎn)換為串行采樣，增加了采樣時(shí)間，圖像重構(gòu)算法在恢復(fù)高分辨率圖像時(shí)需要較長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間。相比于高分辨率成像，這種技術(shù)更適用于低分辨圖像的獲取?；谛〔?shù)結(jié)構(gòu)的壓縮采樣模型，在采用低分辨圖像后，通過(guò)采樣重要小波系數(shù)，再由小波逆變換即可獲得所需圖像。將兩種采樣方法結(jié)合可以用于實(shí)際中的壓縮采樣與成像。

2.1 基于單像素相機(jī)的DMD分區(qū)控制采樣

DMD分區(qū)控制[10,14]是將原先的DMD中的每個(gè)微鏡按區(qū)域劃分后，使得相同區(qū)域的微鏡在投影過(guò)程中按相同的狀態(tài)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)。該翻轉(zhuǎn)過(guò)程由編程控制單個(gè)靜態(tài)存儲(chǔ)器(SRAM)單元的加載狀態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)。由壓縮感知理論的測(cè)量矩陣的性質(zhì)，采用二進(jìn)制隨機(jī)測(cè)量矩陣，SRAM的加載狀態(tài)由矩陣中的各元素值決定。因此DMD分區(qū)控制本質(zhì)上是將同一區(qū)域的多個(gè)微鏡組成一個(gè)大的微鏡，降低了原先DMD的分辨率，增強(qiáng)信息獲取的準(zhǔn)確性[15]。DMD分區(qū)控制的過(guò)程如圖1，引自文獻(xiàn)[14]。

圖1 DMD分區(qū)控制過(guò)程，引自文獻(xiàn)[14]。

(1)

由式(1)可知，φi實(shí)際上是將φ1i的每個(gè)值重復(fù)4次后得到的投影矩陣。DMD分區(qū)控制減少了采樣次數(shù)，提高了圖像數(shù)據(jù)獲取的準(zhǔn)確度[16]，這種分區(qū)采樣的思想同樣可以用于后期小波樹(shù)結(jié)構(gòu)中圖像細(xì)節(jié)的采樣。

2.2 擴(kuò)展小波樹(shù)理論

傳統(tǒng)自適應(yīng)壓縮采樣成像方法由于子系數(shù)實(shí)際上只包含了父系數(shù)所含信息的一部分，即使是絕對(duì)值較大的重要的父系數(shù)，也有可能對(duì)應(yīng)非重要的子系數(shù)，只通過(guò)父子關(guān)系來(lái)采樣重要父系數(shù)對(duì)應(yīng)的所有子系數(shù)，會(huì)造成采樣資源的浪費(fèi)?；诖耍墨I(xiàn)[9]提出了擴(kuò)展小波樹(shù)的概念，不僅考慮小波樹(shù)結(jié)構(gòu)中上下層系數(shù)之間的父子關(guān)系，同時(shí)考慮同層不同高頻子帶中，相同空間位置處的小波系數(shù)之間的兄弟關(guān)系[17-19]。圖2給出了擴(kuò)展小波樹(shù)結(jié)構(gòu)中的父子與兄弟關(guān)系。其中，不同層間的單箭頭表示父子關(guān)系，子帶間的雙向箭頭表示兄弟關(guān)系。

圖2 擴(kuò)展小波樹(shù)結(jié)構(gòu)

圖3 單次測(cè)量的二進(jìn)制投影圖像。(a)水平方向;(b)垂直方向;(c)對(duì)角方向。

(2)

根據(jù)擴(kuò)展小波樹(shù)結(jié)構(gòu)中小波系數(shù)間的兄弟關(guān)系，水平和垂直方向的小波系數(shù)可以寫(xiě)成兩個(gè)DMD測(cè)量差值之和，如式(3)：

(3)

其中

(4)

由式(4)可知，每一個(gè)測(cè)量差值都包含了兩個(gè)對(duì)應(yīng)子系數(shù)的信息。如果對(duì)角子帶上的父系數(shù)值已知，那么位于相同尺度、相同的空間位置上的水平和垂直方向的小波系數(shù)的兩個(gè)差值可以通過(guò)計(jì)算得到，由此判斷子系數(shù)的重要性。

3 壓縮感知與擴(kuò)展小波樹(shù)理論的自適應(yīng)壓縮成像方法

基于擴(kuò)展小波樹(shù)的壓縮采樣成像方法[9]，其壓縮采樣過(guò)程主要在于對(duì)重要小波系數(shù)位置的預(yù)測(cè)并只采樣重要小波系數(shù)。對(duì)于在小波域稀疏或者可壓縮的圖像，大大減少了采樣量。但其低分辨率的粗糙圖像的獲得依舊采用的是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的采樣過(guò)程，即對(duì)低分辨圖像的每個(gè)像素進(jìn)行全采樣。本文中對(duì)粗糙圖像的獲取進(jìn)行了改進(jìn)，提出了基于壓縮感知與擴(kuò)展小波樹(shù)的壓縮采樣方法。由于壓縮感知方法獲得的僅僅是低分辨率圖像，所需計(jì)算量以及重構(gòu)圖像所需時(shí)間很小，并不會(huì)因此增加采樣與成像時(shí)間。成像方法和流程如下：

基于DMD分區(qū)控制與擴(kuò)展小波樹(shù)結(jié)構(gòu)的壓縮采樣流程如圖4所示。

圖4 基于DMD分區(qū)控制與擴(kuò)展小波樹(shù)的壓縮成像流程圖

由于自然圖像絕大多數(shù)都是可壓縮圖像，不滿足稀疏性，因此利用常用的重構(gòu)算法很難高質(zhì)量地恢復(fù)圖像。因此在低分辨率圖像的重構(gòu)過(guò)程中選用最小化全變分算法(TV minimization scheme based on augmented Lagrangian and alternating direction algorithms，TVAL3)算法，該算法不需要投影矩陣滿足正交性，在重構(gòu)過(guò)程中能夠很好地保留圖像的原有輪廓，重構(gòu)效果好。

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與分析

為了對(duì)成像質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估，采用峰值信噪比作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其計(jì)算表達(dá)式如(5)式所示：

(5)

其中：

(6)

實(shí)驗(yàn)選取灰度圖像boat和man作為測(cè)試圖像。實(shí)驗(yàn)中獲得粗糙圖像所用的初始采樣率以及獲得最終圖像所用的整體采樣率對(duì)最終的成像質(zhì)量有著重要影響。為了更好地確定所選參數(shù)，本文對(duì)兩幅圖像的參數(shù)與成像的峰值信噪比進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。圖5給出了兩幅圖像的初始粗糙圖像在壓縮感知中的采樣率與成像峰值信噪比的曲線圖，其中采樣所得的粗糙圖像的分辨率為32×32。

圖5 粗糙圖像采樣率與粗糙圖像峰值信噪比關(guān)系圖。(a)Boat圖像；(b)Man圖像。

如圖5所示，隨著采樣率的提高，圖像信噪比呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，即當(dāng)采樣率達(dá)到70%以后，圖像信噪比隨著采樣率的增大，增長(zhǎng)速度加快。然而，最終成像除了與初始的粗糙圖像質(zhì)量有關(guān)，還與后期的采樣情況有關(guān)。圖6給出了當(dāng)整體采樣率為10%時(shí)，最終所成圖像的信噪比與粗糙圖像的采樣率之間的關(guān)系。其中橫軸為初始粗糙圖像的采樣率，縱軸為最終圖像的峰值信噪比。

圖6 粗糙圖像采樣率與最終峰值信噪比關(guān)系圖。(a)Boat圖像；(b)Man圖像。

如圖6所示，盡管整體采樣率相同，隨著粗糙圖像采樣率的提高，圖像信噪比整體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。說(shuō)明粗糙圖像的質(zhì)量對(duì)整體成像質(zhì)量非常重要，因?yàn)榇植趫D像的成像情況影響了后期重要小波系數(shù)所在位置的判斷，其判斷的準(zhǔn)確性直接決定了整體成像的質(zhì)量。由圖6可知boat和 man這兩幅圖像在粗糙圖像采樣率為0.7～0.8之間時(shí)信噪比變化趨緩，達(dá)到較高的信噪比。對(duì)照?qǐng)D5，當(dāng)初始粗糙圖像的信噪比達(dá)到30 dB后，再次提高初始粗糙圖像的信噪比對(duì)最終成像結(jié)果的影響不大。因此選取當(dāng)粗糙圖像信噪比達(dá)到30 dB時(shí)的壓縮感知采樣量作為初始采樣參數(shù)，圖7給出了兩幅圖像在給定壓縮感知采樣率分別為0.75時(shí)的成像結(jié)果，第一列、第二列和第三列分別對(duì)應(yīng)的整體采樣率為3%、5%和10%。成像分辨率為512×512。

圖7中，從視覺(jué)角度看，采樣率僅為3%時(shí)，4幅圖像就已經(jīng)非常清晰了，只有背景區(qū)域以及局部少量紋理豐富的區(qū)域相對(duì)而言較為模糊。為了進(jìn)一步給出量化評(píng)價(jià)，表1列出了在不同采樣率下兩幅圖像的信噪比。

圖7 不同采樣率下的成像結(jié)果。(a1～a3)Boat圖像整體采樣率為3%、5%、10%;(b1～b3)Man圖像整體采樣率為3%、5%、10%。

表1 不同采樣率下兩幅圖像的信噪比

圖8給出了采樣率與峰值信噪比之間的曲線關(guān)系，其中初始粗糙圖像依舊按0.75的采樣率通過(guò)壓縮感知重構(gòu)獲得，信噪比通過(guò)多次計(jì)算取平均值記錄。

結(jié)合表1和圖8可知，隨著采樣率的提高，圖像信噪比整體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，其中boat在采樣率達(dá)到10%后，信噪比的提高速度變緩，說(shuō)明對(duì)于邊界清晰、紋理變化相對(duì)簡(jiǎn)單的圖像，在一定的采樣量范圍內(nèi)，少量細(xì)節(jié)的增加不影響圖像的成像質(zhì)量。而對(duì)于man圖像，在頭發(fā)、頭飾、衣服、背景處均存在較為復(fù)雜的紋理，隨著采樣量的提高，不同的紋理區(qū)域的獲得將越來(lái)越清晰，因此在采樣率達(dá)到某些關(guān)鍵值時(shí)，圖像信噪比會(huì)大幅提高，在個(gè)別點(diǎn)處曲線出現(xiàn)的波動(dòng)主要來(lái)源于初始粗糙圖像的成像質(zhì)量的波動(dòng)。當(dāng)粗糙圖在重構(gòu)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，會(huì)使得后期小波系數(shù)的采樣出現(xiàn)可能的偏差，尤其在采樣量較大時(shí)，這種偏差反而會(huì)導(dǎo)致成像質(zhì)量的降低。

為了驗(yàn)證該算法的有效性，將該算法與壓縮感知中的TVAL3算法以及擴(kuò)展小波樹(shù)算法EWT-ACS結(jié)果進(jìn)行了比較。圖9給出了boat和man圖像在3種不同算法下的成像結(jié)果。

圖8 采樣率與信噪比關(guān)系圖。(a)Boat圖像；(b)Man圖像。

圖9 3種不同算法下的成像結(jié)果。a1～a3為boat圖像在TVAL3、EWT-ACS及本文算法下的結(jié)果;b1～b3為man圖像在TVAL3、EWT-ACS及本文算法下的結(jié)果；c1～c3為 b1～b3圖像放大后的面部圖像。

圖9中，3種算法的采樣率均設(shè)置為10%，圖像boat在3種不同算法下的信噪比分別為：20.167 4，21.932 3，24.801 2 dB；圖像man在3種不同算法下的信噪比分別為：19.392 5，21.680 3，23.976 8 dB。從視覺(jué)角度看，TVAL3算法所成圖像較為模糊，但整體輪廓的連續(xù)性高；EWT-ACS及本文算法整體清晰度更高，但均不同程度地存在一定的塊狀馬賽克現(xiàn)象。由于在相同采樣率的條件下，本文算法對(duì)細(xì)節(jié)的采樣量更大，因此塊狀現(xiàn)象相對(duì)不明顯。這點(diǎn)從放大后的man的面部細(xì)節(jié)可以看得更加清楚。圖9(c2)中在羽毛處有較多的大的塊狀分布，而圖9(c3)，塊狀分布明顯減小，圖像邊緣的連續(xù)性更高。

為了進(jìn)一步分析該方法受成像過(guò)程中的噪聲影響情況，在實(shí)驗(yàn)中模擬含探測(cè)噪聲的采樣過(guò)程，對(duì)采樣過(guò)程添加標(biāo)準(zhǔn)差為25的高斯白噪聲。加噪后的boat圖像如圖10所示，采樣率依舊為10% 。

圖10 不同算法成像結(jié)果。(a)添加噪聲后圖像;(b)TVAL3算法結(jié)果;(c)EWT-ACS算法結(jié)果;(d)本文算法結(jié)果。

由圖10可見(jiàn)，3種算法成像過(guò)程由于受噪聲影響，圖像質(zhì)量均出現(xiàn)不同程度的下降，(b)～(d)所對(duì)應(yīng)的峰值信噪比分別為20.002 2，17.259 7，20.008 0 dB。其中，EWT-ACS算法受噪聲影響最為嚴(yán)重，因?yàn)樵撍惴ǔ上襁^(guò)程中，低分辨率的粗糙圖像以及小波系數(shù)由于都是逐點(diǎn)采樣，每次采樣均受到較大的噪聲影響。TVAL3算法一次采集多個(gè)點(diǎn)的像素，在相同強(qiáng)度的噪聲下，計(jì)算所得的每個(gè)像素受噪聲影響降低，因此信噪比反而較高。本文算法在獲得初始粗糙圖像時(shí)采用TVAL3算法，受噪聲影響小。

5 結(jié) 論

為了在獲取高分辨率圖像的同時(shí)減少采樣時(shí)間，同時(shí)降低圖像重構(gòu)的計(jì)算量，本文從采樣過(guò)程出發(fā)，提出了一種基于壓縮感知與擴(kuò)展小波樹(shù)的自適應(yīng)采樣的壓縮采樣成像方法。實(shí)驗(yàn)中，對(duì)算法所需參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)討論，并與壓縮感知算法(TVAL3)和擴(kuò)展小波樹(shù)的壓縮采樣算法(EWT-ACS)的結(jié)果進(jìn)行了比較分析。結(jié)果表明，當(dāng)參數(shù)設(shè)置為壓縮感知采樣率0.75，整體采樣率為10%時(shí)，由具體量化值可知，圖像boat在3種不同算法下的信噪比分別為：20.167 4，21.932 3，24.801 2 dB；圖像man在3種不同算法下的信噪比分別為：19.392 5 ，21.680 3，23.976 8 dB。本文提出的采樣方法所獲得的圖像效果最好，峰值信噪比最高。

而在模擬含探測(cè)噪聲的采樣過(guò)程中，對(duì)添加高斯白噪聲的boat圖像，本文方法與EWT-ACS方法最終獲得圖像的峰值信噪比分別為17.259 7 dB和20.008 0 dB。因此，當(dāng)存在噪聲影響時(shí)，EWT-ACS方法受噪聲影響嚴(yán)重，本文方法由于結(jié)合了壓縮感知算法，有較好的抗噪性。