Kaiser窗的組合余弦窗擬合及其在頻譜分析中的應(yīng)用

彭曦，劉開培，李登云,2

(1. 武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 武漢 430072; 2. 中國電力科學(xué)研究院, 武漢430074)

0 引 言

諧波的準(zhǔn)確檢測對諧波治理，保障電能質(zhì)量和電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行具有十分重要的意義[1]。為了抑制采樣序列截斷產(chǎn)生頻譜泄露，加窗傅里葉變換是較為常用的諧波分析方法[2-4]。常用的窗函數(shù)，如漢寧(Hanning)窗、漢明(Hamming)窗、布萊克曼(Blackman)窗、納托爾(Nuttall)窗、萊夫文森特(Rife-Vincent)窗等均為一類組合余弦窗。針對這類組合余弦窗以及基于這些余弦窗的新型窗已有成熟的FFT插值算法[5-10]，能有效抑制頻譜泄露對信號分析的影響，從而滿足復(fù)雜諧波信號分析的要求。

Kaiser窗是非組合余弦窗，可自定義選擇主瓣寬度與旁瓣高度之間比例，因此對信號加權(quán)更加靈活[11-12]。目前已有基于Kaiser窗的雙譜線FFT插值算法[11]，但是精度一般。因此本文提出了基于Kaiser窗的組合余弦窗構(gòu)造方法，通過最小二乘法將Kaiser窗擬合為組合余弦窗。以β=11的Kaiser窗為例，將擬合后的窗函數(shù)與原窗進(jìn)行了頻譜對比，結(jié)合文獻(xiàn)[13-15]中提出的的雙譜線插值FFT算法進(jìn)行了信號分析。

1 Kaiser窗的組合余弦窗最小二乘曲線擬合

1.1 Kaiser窗的組合余弦窗最小二乘擬合

在頻域?qū)ふ易畲笙薅鹊丶性讦?0附近的窗函數(shù)可以定量的在主瓣寬度和旁瓣面積之間進(jìn)行權(quán)衡選擇。Kaiser利用十分容易計算的第一類零階修正Bessel函數(shù)可構(gòu)成一種近似最佳的窗函數(shù)。Kaiser窗定義為[8]：

(1)

式中α=M/2，其中I0(·)為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。Kaiser窗有兩個參數(shù)：長度參數(shù)(M+1)和形狀參數(shù)β。調(diào)整窗函數(shù)的長度和形狀可通過改變改變(M+1)和β的大小，從而達(dá)到窗函數(shù)的旁瓣幅度和主瓣寬度之間的折中。隨著β的增大，Kaiser窗函數(shù)頻譜的旁瓣峰值減小，旁瓣衰減速率增大。

對于Kaiser窗y(x)，離散采樣m點(diǎn)得到數(shù)據(jù)集(xn,yn)(n=1,2,…,m)，用組合余弦窗y=w(xn)對數(shù)據(jù)集進(jìn)最小二乘[16]擬合，使偏差δn=p(xn)-yn(n=1,2,…,m)的平方和達(dá)到最小。組合余弦窗的一般表達(dá)式見下式：

(2)

式中K為組合余弦窗項(xiàng)數(shù)；ai為第i項(xiàng)組合余弦窗系數(shù)；N為窗函數(shù)長度。

組合余弦窗式(1)的DTFT為：

(3)

式中WR(ω)為矩形窗的頻譜函數(shù)。

當(dāng)增加β值時，Kaiser窗旁瓣峰值電平下降，旁瓣漸進(jìn)衰減速率增加。本文以β=11的Kaiser窗為例進(jìn)行信號處理。該Kaiser窗旁瓣衰減速率為18 dB/oct，旁瓣峰值電平為-82.6 dB，已足夠滿足電力系統(tǒng)諧波分析的精度要求。

為減少運(yùn)算，本文的擬合項(xiàng)數(shù)選取5次。取β=11的Kaiser窗進(jìn)行五項(xiàng)最小二乘擬合，得到新的窗函數(shù)時域表達(dá)式為:

(4)

式中N為窗的長度。

1.2 窗函數(shù)特性對比

(1)與原Kaiser窗特性對比

以窗長N=64為例，新型余弦窗與原Kaiser(β=11)時的幅頻特性如圖1，窗函數(shù)特性參數(shù)見表1。

由此可見，最小二乘法擬合得到的Kaiser窗特性的新型余弦組合窗，保證主瓣寬度不變，旁瓣峰值電平與旁瓣衰減速率略微減小，依然保持了原Kaiser窗優(yōu)良的特性。

表1 原Kaiser窗(β=11)與新余弦窗特性參數(shù)

圖1 窗函數(shù)幅頻特性

(2)與常用余弦窗性能對比。

表2為常用窗函數(shù)與β=11時Kaiser窗的組合余弦窗的頻譜特性的比較，可看出Kaiser窗與Kaiser的組合余弦窗的旁瓣峰值電平低，旁瓣衰減速率快，與常見窗函數(shù)相比，適合電力系統(tǒng)諧波分析。

表2 窗函數(shù)特性比較

2 仿真分析

本文采用文獻(xiàn)[17]中的包含21次諧波的復(fù)雜信號模型進(jìn)行仿真，仿真采用的信號模型為：

(5)

式中基波頻率f1為50.5 Hz；異步采樣時，采樣頻率fs為2 520.6 Hz；截斷信號的數(shù)據(jù)長度N為1 024點(diǎn)；Ai為基波幅值以及各次諧波幅值，見表3。

表3 仿真諧波幅值參數(shù)

本文采用了文獻(xiàn)[13]提出的FFT雙峰譜線修正算法。取β=11時擬合構(gòu)造的新組合余弦窗函數(shù)組合余弦窗時域表達(dá)式見式(4)，其雙譜線插值公式為：

(6)

將信號分別用Kaiser窗雙譜線插值算法[17]和擬合組合余弦窗雙譜線插值法處理，對比幅值相對誤差，結(jié)果見表4與圖2。

由圖2可以看出，通過最小二乘擬合算法得到的新組合余弦窗與Kaiser窗相比，使用雙譜線插值法后得到的頻譜幅值精度得到了明顯提高。

表4 加窗雙譜線插值FFT分析幅值相對誤差

圖2 加窗FFT雙譜線插值分析幅值相對誤差曲線

3 結(jié)束語

將Kaiser窗進(jìn)行最小二乘擬合為組合余弦窗后可以利用現(xiàn)成組合余弦窗的雙譜線插值算法，解決了Kaiser窗雙譜線插值法幅值提取精度低的問題。以β=11的Kaiser窗為例構(gòu)造了組合余弦窗，與Kaiser窗雙譜線插值法相比較，基于擬合組合窗余弦窗的雙譜線插值算法獲得的諧波幅值精度更高，能達(dá)到對電力系統(tǒng)諧波分析的高精度的要求。