電力系統(tǒng)線性化動態(tài)最優(yōu)潮流模型

趙靜波, 衛(wèi)志農(nóng), 劉建坤, 張清松, 王大江

(1. 國網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學研究院, 江蘇省南京市211103; 2. 河海大學能源與電氣學院, 江蘇省南京市 211100)

0 引言

最優(yōu)潮流(optimal power flow,OPF)作為保證電力系統(tǒng)安全、經(jīng)濟運行最主要的手段,近年來受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[1-3]。然而,傳統(tǒng)靜態(tài)OPF只考慮單個時間斷面,所有變量均為靜態(tài)變量,忽略了實際系統(tǒng)中不同時段間變量的調(diào)整以及各變量在不同時段間的耦合,具有一定的應(yīng)用局限性[4-6]?；诖?文獻[7]提出動態(tài)最優(yōu)潮流(dynamic optimal power flow,DOPF)的概念,綜合考慮了各個時段內(nèi)的靜態(tài)約束和時段間的動態(tài)約束,通過對整個調(diào)度周期的整體協(xié)調(diào)優(yōu)化,有效保證了電力系統(tǒng)在整個調(diào)度周期內(nèi)的安全性、穩(wěn)定性和經(jīng)濟性,相較靜態(tài)OPF具有更廣泛的應(yīng)用范圍[8-9]。

但由于動態(tài)約束的引入,DOPF的求解規(guī)模和難度相較靜態(tài)OPF都大大增加,因此,近年來許多學者都致力于對DOPF的求解算法進行深入探究。文獻[10]利用近似最小度算法對傳統(tǒng)內(nèi)點法進行改進,提出一種常系數(shù)海森矩陣內(nèi)點法,用于求解微電網(wǎng)動態(tài)最優(yōu)潮流問題。文獻[11]針對復雜交直流互聯(lián)系統(tǒng)的日前經(jīng)濟調(diào)度問題,基于Benders分解法提出了主、子問題并行高效迭代的求解算法。文獻[12]考慮了實際運行中風電功率的不確定性和相關(guān)性,將非線性動態(tài)隨機最優(yōu)潮流模型轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃模型,并采用改進三點估計法對模型進行求解。上述文獻通過改進DOPF的求解算法,一定程度上提高了DOPF問題的求解效率,但由于DOPF模型本身非凸、非線性的特性,當系統(tǒng)規(guī)模增大時,仍會出現(xiàn)維數(shù)災和收斂問題[13-14]。因此,也有學者從模型出發(fā),通過對模型進行線性化處理,以減小模型的求解難度,從而提高計算效率。

直流DOPF是目前求解效率最高的線性化模型[15],但由于其忽略了線路損耗的影響,無法滿足DOPF對計算精度的要求。文獻[16]通過引入網(wǎng)損等值電阻的形式對支路損耗進行等效,進而對直流模型進行相應(yīng)改進,有效提高了直流模型的計算精度,但該模型仍忽略了無功功率和電壓幅值的影響,具有一定的局限性。文獻[17]和文獻[18]對不同阻抗比下的功率平衡方程進行擬合,分別提出一種可求解電壓幅值的線性化潮流模型,但2種模型都在一定程度上弱化了線路兩端的電壓幅值差異,因此在進行DOPF計算時,無功調(diào)度信息的誤差較大。

基于此,本文一方面從模型出發(fā),通過解耦、代換和熱啟動這3個步驟將靜態(tài)OPF模型線性化,然后將其進行斷面拓展,應(yīng)用到DOPF計算中,從而提出一種新型線性化動態(tài)最優(yōu)潮流(linear dynamic optimal power flow,LDOPF)模型。另一方面,從算法出發(fā),采用簡化原對偶內(nèi)點法對模型進行求解,并在迭代過程中對熱啟動所需基準點進行更新,在提高求解效率的同時進一步提高模型計算精度。

1 動態(tài)最優(yōu)潮流模型

電力系統(tǒng)DOPF問題是多時段的非線性規(guī)劃問題,相比傳統(tǒng)的單一斷面的靜態(tài)OPF,其標準數(shù)學模型可以歸納成以下形式[19]:

(1)

(2)

1.1 目標函數(shù)

目前,電力系統(tǒng)DOPF的目標函數(shù)主要有2種,一種是常用于有功優(yōu)化的以系統(tǒng)發(fā)電成本最小為優(yōu)化目標;另一種則是常用于無功優(yōu)化的以系統(tǒng)網(wǎng)損最小為優(yōu)化目標[8]。兩種形式的目標函數(shù)如下。

1)系統(tǒng)發(fā)電成本

(3)

式中:PGi,t為發(fā)電機i在時段t的有功出力;a2i,a1i,a0i為發(fā)電機i耗量特征曲線參數(shù);ng為接入系統(tǒng)的發(fā)電機數(shù)。

2)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗

(4)

式中:PDi,t為節(jié)點i在時段t的有功負荷;nb為系統(tǒng)節(jié)點數(shù);Δt=1 h,為時段間隔。

1.2 等式約束

DOPF的等式約束ht(xt)與OPF基本一致,即滿足各時段內(nèi)所有節(jié)點的功率平衡,如下所示:

ΔPi,t=PGi,t-PDi,t-

(5)

ΔQi,t=QGi,t-QDi,t-

(6)

式中:QGi,t為發(fā)電機i在時段t的無功出力;ΔPi,t和ΔQi,t分別為潮流計算中節(jié)點i在時段t的有功、無功功率不平衡量;QDi,t為節(jié)點i在時段t的無功負荷;Vi,t為節(jié)點i在時段t的電壓相量的幅值;Gij和Bij分別為節(jié)點導納矩陣第i行第j列元素的實部和虛部;θij,t為時段t線路兩端節(jié)點i和節(jié)點j的相角差。

1.3 不等式約束

DOPF的不等式約束主要由靜態(tài)約束和動態(tài)約束兩部分組成。

1) 靜態(tài)不等式約束

靜態(tài)不等式約束主要包括各時段發(fā)電機的有功、無功出力約束,節(jié)點電壓幅值、相角約束和線路傳輸功率約束,如下所示:

PGi,min≤PGi,t≤PGi,maxi=1,2,,ng

(7)

QGi,min≤QGi,t≤QGi,maxi=1,2,,ng

(8)

Vi,min≤Vi,t≤Vi,maxi=1,2,,nb

(9)

θi,min≤θi,t≤θi,maxi=1,2,,nb

(10)

Pij,max

(11)

式中:PGi,min和PGi,max分別為有功電源所發(fā)出有功功率的下限、上限;QGi,min和QGi,max分別為無功電源所發(fā)無功功率的下限、上限;Vi,min和Vi,max分別為節(jié)點電壓幅值的下限、上限;θi,min和θi,max分別為節(jié)點i的電壓相角的下限、上限;Pij,max為線路i-j的有功傳輸功率限制值。

2)動態(tài)不等式約束

目前動態(tài)不等式約束主要包括發(fā)電機爬坡約束和發(fā)電合同約束,由于目前國內(nèi)電力市場尚未完善,因此本文主要考慮發(fā)電機爬坡約束,如下所示:

PGi,t-PGi,t-1≤Rup,iΔtt=2,3,,T

(12)

PGi,t-1-PGi,t≤Rdown,iΔtt=2,3,,T

(13)

式中:Rup,i和Rdown,i分別為發(fā)電機i最大向上增出力速率和最大向下減出力速率。

2 線性化模型的建立

2.1 靜態(tài)單斷面線性化模型

本文提出的線性化模型則在保留線性化模型高效性的基礎(chǔ)上,彌補了直流模型的上述不足,其處理思路主要分為解耦、代換和熱啟動這3個部分,本節(jié)首先在靜態(tài)單斷面對其原理進行詳細介紹。需要說明的是,本節(jié)中所采用的變量均是相應(yīng)動態(tài)變量在靜態(tài)單斷面上對應(yīng)的變量,因此,下標t省略。

1)解耦

首先將節(jié)點功率平衡方程進行等價變換,得到公式如下所示:

(14)

(15)

2)代換

設(shè)i和j為線路l的首、末節(jié)點,忽略節(jié)點對地導納,則線路兩端的潮流公式如下所示:

(16)

式中:Pjl和Qjl分別為線路l末端的有功、無功功率流;gij和bij分別為線路l的電導、電納,且其和導納矩陣中對應(yīng)元素的代數(shù)關(guān)系為gij=-Gij和bij=-Bij。

在電力系統(tǒng)直流潮流計算中,根據(jù)實際電網(wǎng)情況,線路兩端的相關(guān)參數(shù)可以進行以下近似:Vi≈Vj≈1.0(標幺值),sinθij≈θij,cosθij≈1。由于直流模型是基于上述3個假設(shè)進行全局簡化,因此計算精度相對較低,且無法求解電壓幅值和無功功率。本文借鑒直流模型的思路,假設(shè)式(16)中的正弦分量如下所示:

ViVjsinθij≈θij=θi-θj

(17)

線路有功、無功損耗可以用以下公式表示:

(18)

若將式(16)代入式(18),則可得到:

(19)

對式(19)分別進行變形可得式(20),再將式(20)代入式(16)中得到Pil和Qil如式(21)所示。

(20)

(21)

(22)

式中:rij和xij分別為線路l的電阻和電抗,i和j分別為線路l的首、末端點。

3)熱啟動

所謂熱啟動,是指采用電力系統(tǒng)日內(nèi)調(diào)度的前一斷面的歷史數(shù)據(jù)或者現(xiàn)行斷面的潮流數(shù)據(jù)作為初值。本文模型需要依賴于某一斷面數(shù)據(jù),因此屬于熱啟動范疇,這將使得模型精度與斷面選取息息相關(guān),而這在實際電力系統(tǒng)中是很容易實現(xiàn)的,故可以從調(diào)度系統(tǒng)獲得當前斷面的實時數(shù)據(jù)作為初始值,從而為下一斷面的DOPF計算提供支持。

本文基于熱啟動環(huán)境,可以進行簡單潮流計算或者直接從調(diào)度系統(tǒng)中獲取當前斷面的電壓值Vi,0和線路功率流值Pil,0和Qil,0,采用泰勒級數(shù)展開的方法,然后取其一階項,并忽略截斷誤差,進而可將代換過程中殘存的非線性項進行如下線性化處理:

(23)

Pl,loss=Pl,0，loss+

(24)

Ql,loss=Ql,0，loss+

(25)

式中:Pl,0，loss和Ql,0，loss分別為直接獲取的或根據(jù)當前斷面潮流數(shù)據(jù)計算出的線路有功、無功損耗初值。

在計算過程中,節(jié)點電壓與線路傳輸功率在每次迭代后進行更新,進而每次迭代計算中式(23)—式(25)均采用更新后的電壓幅值與線路傳輸功率值,理論上進一步提高了計算精度。最后將式(23)—式(25)分別代入式(21),并將等式等號右側(cè)涉及Pil和Qil的項移到左側(cè)進行合并,然后歸一化,可得到:

(26)

(27)

式中:m1,m2,,m16,mPl,mQl,mPloss,mQloss為進行變換處理后的系數(shù)。

將式(26)和式(27)代入式(14)和式(15),便得到了線性化的節(jié)點功率平衡方程的等價方程。相比直流模型,該模型計及了電壓幅值、網(wǎng)損以及無功功率,同時計算過程中節(jié)點電壓幅值與線路傳輸功率不斷迭代更新,與直流模型相比,理論上有更高的精度且更具現(xiàn)實應(yīng)用意義。

2.2 動態(tài)線性化模型

本文將新型線性化模型運用到DOPF模型中,并建立LDOPF模型。其中,LDOPF模型的目標函數(shù)不作調(diào)整,仍是式(3)和(4)。其等式約束被解耦成線路功率流和線路損耗流兩部分,相比DOPF模型變動較大,如下所示:

(28)

(29)

式中:Pil,t,Pl,t，loss,Qil,t,Ql,t，loss分別為在2.1節(jié)對應(yīng)靜態(tài)變量的基礎(chǔ)上拓展到多時段后對應(yīng)的變量,相關(guān)推導和簡化原理同2.1節(jié)。

式(7)—式(11)是DOPF的不等式約束,其中式(11)是非線性線路潮流約束,其他都為線性約束,無須處理?；?.1節(jié)的線性化處理思想,式(11)可以轉(zhuǎn)化為:

|Pil,t|≤Pij,max

(30)

2.3 簡化原—對偶內(nèi)點法

為了提高計算效率,本文采用簡化內(nèi)點法[19]進行求解,其對不等式約束進行轉(zhuǎn)化,將不等式約束改寫為:

(31)

該方法通過將標準非線性規(guī)劃模型的雙邊不等式約束處理成單邊不等式約束,形成只含有上限的廣義不等式約束,從而減少下限對應(yīng)的拉格朗日乘子和松弛因子的引入,提高了計算效率。

3 算例分析

本節(jié)首先對IEEE 30節(jié)點、IEEE 118節(jié)點、IEEE 300節(jié)點以及某市117節(jié)點等值系統(tǒng)分別進行基于直流模型的DOPF計算和基于本文模型的LDOPF計算,并將有功優(yōu)化、無功優(yōu)化的計算結(jié)果分別與基于交流模型的DOPF結(jié)果進行宏觀上的目標函數(shù)精度比較,比較結(jié)果如表1所示。

表1 基于不同DOPF模型的有功和無功優(yōu)化計算結(jié)果比較Table 1 Comparison of active and reactive power optimization results based on different DOPF models

為便于分析,本文將交流DOPF有功、無功優(yōu)化的結(jié)果作為基準值,記為yres,AC,直流DOPF的計算結(jié)果記為yres,DC,LDOPF的計算結(jié)果記為yres,L,則直流DOPF與交流DOPF同種優(yōu)化類型的相對誤差Δyres可由下式計算得出:

(32)

LDOPF與交流DOPF計算結(jié)果的相對誤差計算方式與式(32)類似。

由表1可見,直流DOPF的目標函數(shù)計算結(jié)果已經(jīng)具備較高的計算精度,目標函數(shù)的計算誤差基本保持在4%以內(nèi),相比直流模型,本文提出的LDOPF的目標函數(shù)計算精度則得到進一步提高,目標函數(shù)相對誤差基本保持在2%以內(nèi)。IEEE標準系統(tǒng)中的LDOPF的無功優(yōu)化結(jié)果相對誤差接近5%,實際系統(tǒng)的相對誤差接近7%。廠網(wǎng)分離以后,從電網(wǎng)角度出發(fā),有功優(yōu)化的應(yīng)用意義逐漸減弱,降低網(wǎng)損逐漸成為電網(wǎng)優(yōu)化調(diào)度的首要考慮目標。由于本文模型計及網(wǎng)損,因此可以進行無功優(yōu)化快速近似計算,從功能角度上有效地彌補了目前應(yīng)用最廣泛的直流模型的不足,發(fā)展前景更加廣泛。

表2主要給出了基于不同模型的DOPF有功優(yōu)化和無功優(yōu)化的運行性能比較情況。

表2 基于不同DOPF模型的有功、無功優(yōu)化性能比較Table 2 Comparison of active and reactive power optimization performance based on different DOPF models

從表2可見,由于經(jīng)過大量簡化,相比交流DOPF,直流DOPF的迭代次數(shù)和計算時間大大減少,體現(xiàn)了線性化模型良好的收斂性和高效性,但是直流模型采用的是全局簡化的思路,除了計算精度較低以外,最主要的是忽略了電壓幅值和無功功率這2個對于電力系統(tǒng)安全、穩(wěn)定控制極其重要的電氣量,其存在應(yīng)用瓶頸。本文提出的LDOPF主要采用的是等價代換的方法,并且只進行了部分簡化就對模型進行了線性化處理,模型的迭代次數(shù)和計算時間雖然相比直流DOPF有了一定的增加,但是相比交流DOPF依然具有較大的時間優(yōu)勢,且線性化所帶來的計算效率優(yōu)勢會隨著系統(tǒng)規(guī)模的擴大更加凸顯。

除了目標函數(shù)計算精度比直流DOPF高以外,LDOPF模型甚至可以計算電壓幅值和無功功率,從而可以在實現(xiàn)電力系統(tǒng)快速調(diào)度計算的同時對于電網(wǎng)的電壓和無功功率進行監(jiān)控,并對電壓穩(wěn)定裕度等穩(wěn)定性指標進行快速估算。以IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)為例,圖1給出了LDOPF模型有功優(yōu)化的電壓幅值與交流DOPF結(jié)果的偏差曲線。可以看出,由于DOPF數(shù)學模型的強大約束能力,使得所選時段內(nèi)電壓的幅值都在0.95～1.05(標幺值)的約束范圍內(nèi),滿足電力系統(tǒng)安全性和穩(wěn)定性要求;此外,LDOPF的電壓幅值變化曲線與交流DOPF的對應(yīng)曲線宏觀上基本吻合,從潮流層面體現(xiàn)了本文所建模型的正確性以及較高的計算精度。

圖2給出了LDOPF模型有功優(yōu)化的電壓相角與交流DOPF結(jié)果的偏差曲線。首先經(jīng)過前期計算發(fā)現(xiàn),由于IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)規(guī)模較小,其各節(jié)點電壓相角變化較小,因此本文首先將IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)的相角的變化范圍約束在-8°～8°。從圖2中可以看出,LDOPF模型各時段所有的電壓相角都在約束范圍內(nèi),說明了本文模型的簡化并沒有削弱優(yōu)化模型對于變量的約束能力;此外,LDOPF的電壓相角變化曲線與交流DOPF的對應(yīng)曲線基本吻合,進一步驗證了LDOPF模型的精確性。

圖1 基于LDOPF有功優(yōu)化得到的IEEE 30節(jié)點 系統(tǒng)電壓幅值偏差曲線Fig.1 Voltage amplitude deviation curve of IEEE 30-node system by LDOPF based on active power optimization

圖2 基于LDOPF有功優(yōu)化得到的IEEE 30節(jié)點 系統(tǒng)電壓相角偏差曲線Fig.2 Voltage phase-angle deviation curve of IEEE 30-node system by LDOPF based on active power optimization

為了進一步突出本文提出的LDOPF模型在不同時段、不同負荷條件下計算的穩(wěn)定性,本文還以IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)為例,對LDOPF模型8個典型時段的電壓幅值、電壓相角與交流DOPF計算結(jié)果的偏差極值、偏差均值情況進行展示。由于廠網(wǎng)分離以后,調(diào)度員更加關(guān)注無功優(yōu)化的結(jié)果,因此本文僅展示無功優(yōu)化所得結(jié)果,如表3所示。有功優(yōu)化結(jié)果見附錄A表A1。

表3 基于LDOPF無功優(yōu)化得到的各時段電壓幅值、 相角偏差極值情況(IEEE 30節(jié)點系統(tǒng))Table 3 Extreme situation of voltage amplitude and phase-angle deviation in each period by LDOPF based on reactive power optimization (IEEE 30-node system)

從表3可以看出,無論是負荷高峰還是負荷低谷時段,IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)在1個調(diào)度周期內(nèi)24個時段的電壓幅值、相角的偏差極值、偏差均值都比較接近,電壓幅值偏差極值都能夠保持在0.025(標幺值)以內(nèi),相角偏差極值在1.8°以內(nèi),幅值偏差均值保持在0.01(標幺值)左右,相角偏差均值保持在0.7°左右。這4個量體現(xiàn)了本文模型的穩(wěn)定性,其計算精度不受負荷和潮流變化影響。附錄A表A1中的LDOPF有功優(yōu)化的電壓、相角偏差結(jié)果所得結(jié)論與無功優(yōu)化結(jié)論一致。

綜合以上分析,本文所建的LDOPF模型在目標函數(shù)、潮流分布、運行性能等多方面都具有較好的特性,在電力系統(tǒng)線性化計算領(lǐng)域的綜合能力勝于傳統(tǒng)直流模型,具有較好的應(yīng)用前景。

4 結(jié)語

本文通過對傳統(tǒng)交流最優(yōu)潮流模型的解耦、代換推導和熱啟動處理,建立了新型線性化動態(tài)最優(yōu)潮流模型。算例測試結(jié)果表明,本文所述模型在保留線性化模型求解效率高的特征的同時,有效彌補了直流模型無法計算電壓幅值和無功功率的不足,可獲取完備的潮流信息,具有良好的適應(yīng)性和在線應(yīng)用能力。未來將對造成系統(tǒng)無功誤差的原因進行深入探究,進一步提高無功優(yōu)化的計算精度。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。