單調(diào)性與圖象趨勢(shì)

摘 要：導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的重要手段，但因?yàn)橹袑W(xué)階段對(duì)極限思想的研究不夠深入，學(xué)生往往似是而非地根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性直接得到原函數(shù)的大致圖象，得到了自以為正確的答案，本文從極限角度入手，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性與圖象趨勢(shì)中的陷阱問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；極限；圖象趨勢(shì)

學(xué)生進(jìn)入高中階段，學(xué)習(xí)視野進(jìn)一步開(kāi)闊，知識(shí)基礎(chǔ)進(jìn)一步增強(qiáng)，這為數(shù)學(xué)基本思想的感悟和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累創(chuàng)設(shè)了有利條件。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種至關(guān)重要的思想方法，它與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力密切相連。導(dǎo)數(shù)法是解決數(shù)形結(jié)合問(wèn)題的強(qiáng)有力手段，但學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果僅僅片面地關(guān)注導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，忽視原函數(shù)的正負(fù)性，就會(huì)得到錯(cuò)誤的函數(shù)圖象，步入認(rèn)知的誤區(qū)。

2. 此類問(wèn)題是研究函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，換一個(gè)角度，也就是研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者零點(diǎn)分布情況，所以函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題也應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象趨勢(shì)。研究圖象趨勢(shì)往往要借助于極限，極限思想作為近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，在高中階段多是蜻蜓點(diǎn)水一筆帶過(guò)，學(xué)生理解起來(lái)也會(huì)感到特別的抽象，實(shí)際操作過(guò)程中帶有不可避免的感性認(rèn)識(shí)。在大題解答過(guò)程中，有時(shí)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)并不認(rèn)可這樣的解答過(guò)程，必須利用“零點(diǎn)存在性定理”結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明函數(shù)的零點(diǎn)，所以在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況來(lái)要求學(xué)生的掌握程度以及解題規(guī)范；

3. 本問(wèn)題也可選用分離參數(shù)的方法解決，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a=1xex，分析函數(shù)h（x）=1xex（x≠0）的圖象，保證直線y=a與y=h（x）的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，但還是必須將單調(diào)性與極限結(jié)合起來(lái)。

大部分學(xué)生在遇到此類問(wèn)題時(shí)，能夠迅速地找到解題對(duì)策，但往往忽視了函數(shù)圖象的走勢(shì)，由于思維定式的影響，在檢查時(shí)也很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)對(duì)此引起重視，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想有個(gè)全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)情境和問(wèn)題講究多樣化，教師應(yīng)當(dāng)放手讓學(xué)生自主思考，有時(shí)犯錯(cuò)的過(guò)程也是有效學(xué)習(xí)的一部分，在學(xué)生與情境、問(wèn)題的良好互動(dòng)中提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

梁超，江蘇省蘇州市，西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)。