淺談競賽數(shù)學(xué)與考研數(shù)學(xué)的教學(xué)特點(diǎn)

摘要：本文以高等數(shù)學(xué)為例，分析了大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽與碩士研究生統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)科目的具體要求、出題側(cè)重點(diǎn)等，結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)，討論了競賽數(shù)學(xué)與考研數(shù)學(xué)在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；競賽數(shù)學(xué)；考研數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)課程是高校工科類學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分的基本概念、基本理論，提高學(xué)生的數(shù)值計(jì)算、符號運(yùn)算等基本運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、抽象概括能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的創(chuàng)造力，為后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。每學(xué)期結(jié)束時的學(xué)業(yè)考試是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果和教師教學(xué)效果的有效方式，除此之外，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽和碩士研究生統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)科目考試也是衡量高校教學(xué)水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。

一、 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的重要性

為了進(jìn)一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，2009年首屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽順利舉行。競賽大綱中明確指出，競賽的目的是：激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，進(jìn)一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平。數(shù)學(xué)競賽的命題和對參加競賽學(xué)生的培訓(xùn)，都要以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力為基本的出發(fā)點(diǎn)，這些數(shù)學(xué)能力包括空間想象能力、抽象概括能力和邏輯推理能力，同時也包括學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)問題并獨(dú)立思考、解決問題的能力。在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)競賽知識、計(jì)算方法和解題技巧的過程中，遇到困難不可避免。此時，引導(dǎo)學(xué)生不放棄任何難題，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立鉆研的學(xué)習(xí)態(tài)度，進(jìn)而養(yǎng)成鍥而不舍、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，這也是數(shù)學(xué)競賽對培養(yǎng)人才的價值體現(xiàn)。

二、 碩士研究生統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)科目考試要求

全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試指教育主管部門或招生機(jī)構(gòu)為選拔研究生而組織的相關(guān)考試的總稱。每年都會由教育部考試中心組織編寫，高等教育出版社獨(dú)家出版考研大綱，其中規(guī)定了當(dāng)年全國碩士研究生入學(xué)考試相應(yīng)科目的考試范圍、考試要求、考試形式、試卷結(jié)構(gòu)等?？佳袛?shù)學(xué)科目大綱中指出，數(shù)學(xué)考試的目的是科學(xué)、公平、有效地測試考生是否具備繼續(xù)攻讀碩士學(xué)位所需要的數(shù)學(xué)知識和能力?？疾槟繕?biāo)為要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)的基本方法，具備抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

三、 舉例說明兩者之間關(guān)系

從競賽數(shù)學(xué)和考研數(shù)學(xué)的定位和具體要求來看，它們都是以數(shù)學(xué)的基本能力為基礎(chǔ)，這也是在課堂教學(xué)中學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的。在此基礎(chǔ)上，競賽數(shù)學(xué)和考研數(shù)學(xué)又各有偏重。競賽數(shù)學(xué)更強(qiáng)調(diào)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和靈活的解題技巧。相比而言，考研數(shù)學(xué)更注重基本概念、基本理論和基本方法的熟練掌握和融會貫通。

以級數(shù)為例，這一章節(jié)在高等數(shù)學(xué)中是概念性較強(qiáng)，同時也是解題方法較多、計(jì)算量較大的一部分內(nèi)容，在競賽數(shù)學(xué)和考研數(shù)學(xué)中都是考查的重點(diǎn)。我們看下面兩個舉例：

例1若級數(shù)∑∞n=1an條件收斂，則x=3與x=3依次為冪級數(shù)∑∞n=1nan（x-1）n的（）

A. 收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)

B. 收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)

C. 發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)

D. 發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)

這是2015年考研數(shù)學(xué)（一）中的選擇題，考查的是冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和冪級數(shù)收斂的阿貝爾定理等基本概念的綜合運(yùn)用。因?yàn)椤啤辬=1an條件收斂，即x=2為冪級數(shù)∑∞n=1an（x-1）n和∑∞n=1an（x-1）n+1的收斂點(diǎn)，由阿貝爾定理，可得∑∞n=1an（x-1）n和∑∞n=1an（x-1）n+1的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（0，2）。而冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故所求冪級數(shù)∑∞n=1nan（x-1）2=∑∞n=1an（x-1）n+1-∑∞n=1an（x-1）n的收斂區(qū)間還是（0，2）。因而x=3與x=3依次為冪級數(shù)∑∞n=1nan（x-1）n的收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)。從上述的分析解答過程來看，該題綜合運(yùn)用了多個基本概念、基本定理和基本性質(zhì)，各知識點(diǎn)之間聯(lián)系密切，環(huán)環(huán)相扣。只要其中一個知識點(diǎn)處理不當(dāng)，就無法得到完整的解答。

例2設(shè)f（x）在（-∞，+∞）可導(dǎo)，且f（x）=f（x+2）=f（x+3）。用傅里葉級數(shù)理論證明f（x）為常數(shù)。

該題為2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類初賽試卷中的一道解答題，考查了傅里葉級數(shù)的基本公式，但計(jì)算過程中需利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)和技巧，且計(jì)算量較大。由f（x）=f（x+2）知f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，又f（x）=f（x+3）以及定積分和換元積分法、周期函數(shù)定積分的運(yùn)算性質(zhì)，得

an=∫1-1（x）cosnπxdx

=∫1-1f（x+3）cosnπxdx=∫1+3-1+3f（t）cosnπ（t-3）dt

=∫1+3-1+3（t）（cosbπtcos3nπ+sinnπtsin3nπ）dt

=cos3nπ∫1-1f（t）cosnπtdt+sin3nπ∫1-1f（t）sinnπtdt

=ancos3nπ+bnsin3nπ，

同理bn=bncos3nπ-ansin3nπ，由此解得an=bn=0（n=1，2，…）。而f（x）可導(dǎo)，所以f（x）連續(xù)，其傅里葉級數(shù)收斂于f（x），所以f（x）=a02+∑∞n=1（ancosnt+bnsinnx）=a02，其中a0=∫1-1f（x）dx為常數(shù)。

通過以上兩個例子可以清楚地看到，基本概念是數(shù)學(xué)的根本，概念對于數(shù)學(xué)就像地基對于摩天大樓，只有根基打得扎實(shí)才能使數(shù)學(xué)的大廈更加穩(wěn)固。豐富的解題經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算技巧，使得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更上一層樓。在日常課堂教學(xué)中，老師的教與學(xué)生的學(xué)應(yīng)更加重視基本概念，加強(qiáng)基本知識和基本方法的練習(xí)。同時鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]全國考研數(shù)學(xué)大綱配套教材專家委員會.2017考研數(shù)學(xué)考試大綱解析及配套600題套裝（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二適用）[M].北京：高等教育出版社，2016.

作者簡介：

吳隋超，上海市，上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。