交流電機(jī)諧波電動(dòng)勢(shì)分布因數(shù)出現(xiàn)負(fù)值的分析研究*

龍 飛，蔣 偉，徐敏偉，莫岳平

(1.揚(yáng)州光電產(chǎn)品檢測(cè)中心，江蘇 揚(yáng)州 225009；2.揚(yáng)州大學(xué) 水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

0 引 言

交流電機(jī)產(chǎn)生的諧波感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，注入公用電網(wǎng)后，會(huì)給電網(wǎng)和接在該電網(wǎng)的其他用電設(shè)備的運(yùn)行帶來(lái)不良影響甚至危害[1]。因此在設(shè)計(jì)交流電機(jī)時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)國(guó)標(biāo)中公用電網(wǎng)諧波電壓限值的要求[2]，把感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中的諧波含量限制在一定范圍內(nèi)。采用短距線圈和分布繞組能有效地改善電動(dòng)勢(shì)波形、抑制諧波分量，故一般的交流繞組大多采用短距、分布繞組。諧波電動(dòng)勢(shì)繞組因數(shù)kwv=kpv×kdv，文獻(xiàn)[3]中已詳細(xì)論證了諧波節(jié)距因數(shù)kpv，因此，本研究將重點(diǎn)探討繞組的另一個(gè)因數(shù)：諧波電動(dòng)勢(shì)分布因數(shù)kdv(研究范圍限定為三相整數(shù)槽繞組)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究分布繞組分布因數(shù)的方法主要有兩類：代數(shù)法和幾何法[4-11]。代數(shù)法適應(yīng)面廣，但缺點(diǎn)是不夠直觀。幾何法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，目前主要針對(duì)基波電動(dòng)勢(shì)，KOSTENKO M、CHAPMAN S J、UMANS S D、湯蘊(yùn)璆提出的基波公式可以統(tǒng)一表述為kd1=(sin(qα1/2))/

(qsin(α1/2))，而針對(duì)諧波電動(dòng)勢(shì)尚缺乏深入的研究，現(xiàn)有諧波分布因數(shù)kdv公式均是用vα1(=αv)直接替換基波公式中的α1衍生而來(lái)，比如KOSTENKO M、湯蘊(yùn)璆給出的諧波公式均可以表述為kdv=(sin(vqα1/2))/(qsin(vα1/2))。由于αv=vα1，角的范圍簡(jiǎn)單擴(kuò)大帶來(lái)了下列兩種基波計(jì)算不會(huì)出現(xiàn)而諧波分布因數(shù)kdv和電動(dòng)勢(shì)有效值計(jì)算會(huì)出現(xiàn)的負(fù)值問(wèn)題：

(1)(αv/2)=(vα1/2)∈((2k1+1)π,(2k1+2)π)且(qαv/2)=(vqα1/2)?((2k2+1)π,(2k2+2)π)(k1,k2=0,1,2,…)

(2)(αv/2)=(vα1/2)?((2k1′+1)π,(2k1′+2)π)且(qαv/2)=(vqα1/2)∈((2k2′+1)π,(2k2′+2)π)(k1′,k2′=0,1,2,…)

例如當(dāng)αv=vα1=(2k3+1)π(k3=0,1,2,…)時(shí)，根據(jù)現(xiàn)有諧波公式計(jì)算結(jié)果為kdv=(sin(qπ/2))/q，當(dāng)q=3,7,11…時(shí)為負(fù)值，這其中：αv=3π,7π,11π…屬于第(1)種情況，αv=π,5π,9π…屬于第(2)種情況。

針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出應(yīng)用極相組q個(gè)等相位差非零相量合成的新理論，提出新的諧波電動(dòng)勢(shì)分布因數(shù)公式。

1 分布繞組諧波合成電動(dòng)勢(shì)相量模型

1.1 繞組分析常用基本量

(1)

(2)

式中：p，τ—基波的極對(duì)數(shù)、極距；q—每極每相槽數(shù)，本研究中q為整數(shù)；m—相數(shù)，本研究中m=3；Z1—定子槽數(shù)。

1.2 諧波磁場(chǎng)的性質(zhì)

極對(duì)數(shù)關(guān)系：

pv=vp

(3)

(4)

式中：pv，τv—v次諧波的極對(duì)數(shù)、極距。

主極磁場(chǎng)僅含有奇次空間諧波，即v=1,3,5,……。

1.3 相合成電動(dòng)勢(shì)

兩個(gè)線圈的基波合成節(jié)距用電角度表示，即：

(5)

式中：y—線圈基波合成節(jié)距，用槽數(shù)表示。

v次諧波的合成節(jié)距：

(6)

為論述方便，筆者以A相為例，把N極下的某個(gè)極相組(例如雙層疊繞組的A相帶)和S極下的對(duì)應(yīng)極相組(例如雙層疊繞組的X相帶)對(duì)應(yīng)導(dǎo)體的槽距定義為“極相組合成節(jié)距yp”，以區(qū)別于“線圈合成節(jié)距y”。

1.3.1 雙層疊繞組

(7)

(8)

式中：k=1,2,……,p。

(9)

1.3.2 雙層波繞組

(10)

1.4 極相組合成電動(dòng)勢(shì)

基波相鄰兩槽間的電角度為：

(11)

v次諧波相鄰兩槽間的電角度為：

(12)

(13)

2 極相組諧波電動(dòng)勢(shì)相量合成分析

2.1 相鄰兩槽間電角度αv的區(qū)間劃分

由(11)式知，0<α1=π/(mq)≤π(這里m≥1,q≥1,且m、q均為整數(shù))，因此根據(jù)式(12)有：0<αv=vα1≤vπ。值得注意的是，v的奇數(shù)性使得αv在(0,vπ]內(nèi)存在下列3類奇點(diǎn)：

(1)周角的全部點(diǎn)：若奇數(shù)v能被mq整除，則v/(mq)必不為偶數(shù)，因此αv=vπ/(mq)≠(2k+2)π，即αv-2kπ≠2π，k=0,1,2,…且2k+3≤v；

(2)劣角的部分點(diǎn)：αv≠[2k+(2l1/q)]π，即αv-2kπ≠(2l1/q)π，l1=1,2,3,…且q>2l1；k=0,1,2,…且2k+1≤v(證明見(jiàn)2.3.1節(jié)情形四)；

(3)優(yōu)角的部分點(diǎn)：αv≠[2k+2-(2l2/q)]π，即αv-2kπ≠2π-(2l2/q)π，l2=1,2,3,…且q>2l2；k=0,1,2,…且2k+3≤v(證明類同于劣角，從略)。

因此，αv在(0,vπ]內(nèi)除去上述三類奇點(diǎn)外的任何區(qū)間均有可能。隨(αv-2kπ)與π大小關(guān)系的不同，極相組q個(gè)線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)相量在相量圖中按平移求和法則的走向亦不同。為此，筆者把(0,vπ]劃分為3部分區(qū)間(或點(diǎn))，即：

(1)劣角(除去部分奇點(diǎn))：2kπ<αv<(2k+1)π，即0<αv-2kπ<π，k=0,1,2,…且2k+1≤v；

(2)平角：αv=(2k+1)π，即αv-2kπ=π，k=0,1,2,…且2k+1≤v；

(3)優(yōu)角(除去部分奇點(diǎn))：(2k+1)π<αv<(2k+2)π，即π<αv-2kπ<2π，k=0,1,2,…且2k+3≤v；

按首尾相連原則作出的相量示意圖如圖1所示。

(a)2kπ<αv<(2k+1)π情形，k=0,1,2,…且2k+1≤v

(b)αv=(2k+1)π情形，k=0,1,2,…且2k+1≤v

(c)(2k+1)π<αv<(2k+2)π情形，k=0,1,2,…且2k+3≤v圖1 v次諧波相鄰兩槽間電角度的區(qū)間劃分

2.2 極相組相量合成新理論

國(guó)內(nèi)外學(xué)者之前的理論是“極相組q個(gè)電動(dòng)勢(shì)相量大小相等，又依次移過(guò)α1電角度，因此相加之后構(gòu)成了正多邊形的一部分，而正多邊形必有外接圓”，這可以從360°/α1=360°/(180°/(mq))=2mq恰好為整數(shù)邊得到解釋。

但是，q個(gè)相量?jī)蓛芍g相位差從基波α1=180°/(mq)擴(kuò)大到v次諧波αv=v·180°/(mq)后，v的奇數(shù)性造成了360°/(v·180°/(mq))不能確保為整數(shù)，即不一定能構(gòu)成正多邊形。

筆者提出如下結(jié)論：q個(gè)非零相量，若每個(gè)相量的相位彼此均相差αv角，αv-2kπ∈(0,2π)且αv-2kπ≠

π(k=0,1,2,…),則無(wú)論αv-2kπ為劣角[即αv-2kπ∈(0,π)]，還是αv-2kπ為優(yōu)角[即αv-2kπ∈(π,2π)]，這q個(gè)相量按平移求和法則首尾相連后必有外接圓：當(dāng)αv-2kπ為劣角時(shí)，每個(gè)相量對(duì)應(yīng)的圓心角均為αv-2kπ，如圖2(a)所示；當(dāng)αv-2kπ為優(yōu)角時(shí)，每個(gè)相量對(duì)應(yīng)的圓心角均為(2k+2)π-αv，如圖2(b)所示。

(a)αv-2k·180°為劣角時(shí)的情形

(b)αv-2k·180°為優(yōu)角時(shí)的情形圖2 極相組v次諧波電動(dòng)勢(shì)相量合成的幾何原理

圖2(a，b)分別以v=3,q=4,αv-2kπ=π/4和v=13,q=3,αv-2kπ=13π/9為例繪制。

證明：(1)當(dāng)αv-2kπ為劣角時(shí)，即αv-2kπ∈(0,π)，則∠ABC=π-(αv-2kπ)∈(0,π),因此點(diǎn)A、B、C不共線，如圖2(a)所示；當(dāng)αv-2kπ為優(yōu)角時(shí)，即αv-2kπ∈(π,2π)，則∠ABC=(αv-2kπ)-π∈

(0,π),因此點(diǎn)A、B、C不共線，如圖2(b)所示。

過(guò)不共線3點(diǎn)A、B、C作⊙O，連接OA、OB、OC、OD：

?△OBA≌△OCD?OA=OD?點(diǎn)D在⊙O上。

同理，點(diǎn)E、F、G…(如果有的話)在⊙O上。

亦即q個(gè)等相位差且相位差不為(2k+1)π的非零相量按平移求和法則首尾相連后必有外接圓。

(2)易知每個(gè)相量和圓心O所形成的三角形均為等腰三角形，根據(jù)三角形全等SSS公理，這些三角形又是全等三角形，如圖2所示。所以∠OAB=∠OBA=∠OBC=β

當(dāng)αv-2kπ為劣角時(shí)，∠B′BC=αv-2kπ，亦即每個(gè)相量對(duì)應(yīng)的圓心角均為αv-2kπ；當(dāng)αv-2kπ為優(yōu)角時(shí)，∠B′BC=2π-(αv-2kπ)=(2k+2)π-αv，亦即每個(gè)相量對(duì)應(yīng)的圓心角均為(2k+2)π-αv。證畢。

2.3 相量合成研究

下面應(yīng)用相量合成新理論，并劃分區(qū)間分別探討極相組q個(gè)線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)的相量合成：

(1)相鄰兩槽間兩個(gè)線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)相量限定為(0,2π)的相位差αv-2kπ是劣角、平角還是優(yōu)角；

(2)當(dāng)αv-2kπ為劣角時(shí)，極相組q個(gè)線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)所對(duì)圓心角的總和q(αv-2kπ)的角度區(qū)間；當(dāng)αv-2kπ為優(yōu)角時(shí)，同樣圓心角的總和q[(2k+2)π-αv]的角度區(qū)間；當(dāng)αv-2kπ為平角時(shí)，則不劃分子區(qū)間。

2.3.1αv-2kπ為劣角的情形

此時(shí)0<αv-2kπ<π(k=0,1,2,…)，分別討論如下：

情形一：若0

圖3 0°<αv-2k·180°<180°且0°

性質(zhì)判定：αv-2kπ當(dāng)q≥2時(shí)只能為銳角。

(14)

(15)

將Rv代入式(14)，可得：

(16)

式中：qEcv—q個(gè)線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和；kdv—繞組的v次諧波分布因數(shù)。

kdv為：

(17)

由于Nc匝短距線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)的有效值Ecv=

4.44fvNcΦvkpv(參見(jiàn)文獻(xiàn)[3])，將其代入式(16)，可得極相組v次諧波電動(dòng)勢(shì)有效值：

Eqv=4.44fv(qNc)Φvkpvkdv=4.44fv(qNc)Φvkwv

(18)

式中：qNc—q個(gè)線圈的總串聯(lián)匝數(shù)；kwv—整個(gè)繞組的v次諧波繞組因數(shù)，kwv=kpv×kdv。

情形二：若q(αv-2kπ)=π，即αv=2kπ+(1/q)π，如圖4所示(圖中v=15,q=2,αv-2kπ=π/2)。

圖4 0°<αv-2k·180°<180°且q(αv-2k·180°)=180°時(shí)的

性質(zhì)判定：(1)q≥2；(2)αv-2kπ可為銳角[q≥3，如圖2(a)所示]和直角(q=2)。

合成過(guò)程分析，合成電動(dòng)勢(shì)有效值為：

(19)

驗(yàn)證式(17)對(duì)情形二的適用性：將αv=2kπ+(1/q)π代入式(17)，有：

結(jié)論：適用。

情形三：若π

圖5 0°<αv-2k·180°<180°且180°

性質(zhì)判定：(1)q≥2；(2)αv-2kπ可為銳角(q≥4)和鈍角(q=2,3)。

合成過(guò)程分析，合成電動(dòng)勢(shì)有效值為：

即：

(20)

情形四：若q(αv-2kπ)=2π(此時(shí)必有q>2)，即αv=2kπ+(2/q)π，屬于2.1節(jié)所述劣角中的奇點(diǎn)情形，因此這種情形不存在。下面用反證法證明一般結(jié)論，即：

q(αv-2kπ)≠2l1π，或αv-2kπ≠(2l1/q)π，l1=1,2,3,…且q>2l1

(21)

證明：假設(shè)αv-2kπ=(2l1/q)π，∵0<αv-2kπ<π，即0<(2l1/q)π<π，∴0<2l1

又αv-2kπ=vπ/(mq)-2kπ，∴vπ/(mq)-2kπ=(2l1/q)π，即v=2kmq+2l1m為偶數(shù)，這與v為奇數(shù)矛盾，故假設(shè)不成立，式(21)成立。證畢。

情形五：若2π

(a)(q-1)(αv-2k·180°)<360°情形

(b)(q-1)(αv-2k·180°)=360°情形

(c)(q-1)(αv-2k·180°)>360°情形圖6 0°<αv-2k·180°<180°且360°

圖6(a)中Eqv求解三角形為△AOD，圖6(b)中為△AOH，圖6(c)中為△AOI。

性質(zhì)判定：(1)q≥3；(2)q(αv-2kπ)-2π∈(0,π)。

(a)若(q-1)(αv-2kπ)<2π，必有π/(q-1)<αv-2kπ<2π/(q-1)。

(b)若(q-1)(αv-2kπ)=2π，即αv-2kπ=2π/(q-1)

性質(zhì)判定：m=3時(shí)，q≡7，此時(shí)v=7(6k+1)，αv-2kπ≡π/3(銳角)。

(c)若(q-1)(αv-2kπ)>2π，必有2π/(q-1)<αv-2kπ<3π/(q-1)

圖6(a～c)合成過(guò)程分析：當(dāng)2π2π，合成電動(dòng)勢(shì)有效值可以統(tǒng)一計(jì)算：

即：

(22)

情形六：若q(αv-2kπ)=3π，即αv=2kπ+(3/q)π，如圖7所示(圖中v=9,q=4,αv-2kπ=3π/4)。

圖7 0°<αv-2k·180°<180°且q(αv-2k·180°)=540°時(shí)的

性質(zhì)判定：(1)q≥4；(2)αv-2kπ可為銳角(q≥7)、直角(q=6)和鈍角(q=4,5)。

合成過(guò)程分析，合成電動(dòng)勢(shì)有效值：

(23)

驗(yàn)證式(22)對(duì)情形六的適用性：將αv=2kπ+(3/q)π代入式(22)，有：

情形七：若3π

圖8 0°<αv-2k·180°<180°且540°

性質(zhì)判定：(1)q≥4；(2)αv-2kπ可為銳角(q≥8)和鈍角(q=4,5,6,7)。

合成過(guò)程分析，合成電動(dòng)勢(shì)有效值：

即

(24)

情形八：若q(αv-2kπ)=4π(此時(shí)必有q>4)，即αv=2kπ+(4/q)π，屬于2.1節(jié)所述劣角中的奇點(diǎn)情形，因此這種情形不存在。

【kdv表達(dá)式歸納】：當(dāng)0<αv-2kπ<π時(shí)，

同理可證，若4π

……

(25)

式中：k=0,1,2,…且2k+1≤v；n=0,1,2,…且2k+(2n+2)/q≤v。

2.3.2αv-2kπ為優(yōu)角的情形

此時(shí)π<αv-2kπ<2π(k=0,1,2,…)，則每個(gè)線圈v次諧波電動(dòng)勢(shì)相量所對(duì)圓心角均為(2k+2)π-αv∈(0,π)，采用與2.3.1節(jié)相同的方法可證得：

當(dāng)π<αv-2kπ<2π時(shí)，若2n′π

(26)

式中：k=0,1,2,…且2k+3≤v；n′=0,1,2,…且2k+2-2n′/q≤v。

2.3.3αv-2kπ為平角的情形

此時(shí)αv-2kπ=π或αv=(2k+1)π(k=0,1,2,…)，如圖9所示。

圖9 αv-2k·180°=180°時(shí)的

性質(zhì)判定：∵αv=vπ/(mq)=(2k+1)π，即奇數(shù)v能被mq整除，∴q必為奇數(shù)。

(27)

3 新舊分布因數(shù)公式的對(duì)比與驗(yàn)證

3.1 新舊公式對(duì)比

現(xiàn)有的諧波電動(dòng)勢(shì)分布因數(shù)公式為：

(28)

為此，經(jīng)過(guò)詳細(xì)分析并經(jīng)完全歸納，可得出了新的諧波電動(dòng)勢(shì)分布因數(shù)公式：

(29)

式中：k=0,1,2,…；n=0,1,2,…且2k+(2n+2)/q≤v；n′=0,1,2,…且2k+2-2n′/q≤v。

3.2 新舊公式q→∞時(shí)的形式比較

m=3時(shí)，αv=vπ/(mq)=vπ/(3q)，αv/2=vπ/(6q)；當(dāng)q→∞時(shí)，此時(shí)vπ/(6q)→0，有：

由(a)可知：當(dāng)q→∞時(shí)αv無(wú)限趨近于0但αv>0，依據(jù)新的分布因數(shù)公式(29)劣角分支，有：k≡0，n依下式確定：2nπ

3.3 新舊公式驗(yàn)證

運(yùn)用現(xiàn)有與新的分布因數(shù)公式計(jì)算三相繞組kdv的結(jié)果分別如表(1，2)所示。

表1 現(xiàn)有分布因數(shù)公式kdv計(jì)算值

表2 新的分布因數(shù)公式kdv計(jì)算值

1.考慮到一些同步發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢(shì)波形含有一定分量的17次和19次諧波，表中諧波次數(shù)v取到19；2.表2中標(biāo)*者為公式(29)優(yōu)角分支計(jì)算值，標(biāo)**者為平角分支計(jì)算值，其余為劣角分支計(jì)算值

從表1和表2的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知：當(dāng)v≥7之后，現(xiàn)有公式節(jié)距因數(shù)均出現(xiàn)了負(fù)值，而新的公式則全程未出現(xiàn)負(fù)值，后續(xù)計(jì)算電動(dòng)勢(shì)有效值時(shí)亦不會(huì)為負(fù)，符合實(shí)際。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有諧波電動(dòng)勢(shì)分布因數(shù)公式計(jì)算電動(dòng)勢(shì)有效值出現(xiàn)負(fù)值的問(wèn)題，本文首先建立了分布繞組諧波合成電動(dòng)勢(shì)相量模型，根據(jù)諧波為奇次的特點(diǎn)提出了極相組相量合成幾何原理的新理論，劃分區(qū)間明確奇點(diǎn)后，應(yīng)用該理論，并通過(guò)相量圖分析，研究了v次諧波相鄰兩槽間夾角αv-2kπ分別為劣角、平角和優(yōu)角時(shí)極相組q個(gè)線圈諧波電動(dòng)勢(shì)的相量合成(主要關(guān)注合成電動(dòng)勢(shì)中的分布因數(shù))，通過(guò)完全歸納，提出了一個(gè)對(duì)應(yīng)于αv-2kπ分別為劣角、平角和優(yōu)角的3分段新分布因數(shù)公式，并給出了q→∞的極限形式；其次，選取了三相繞組q=2，…8，∞分別對(duì)新舊公式各次諧波進(jìn)行了數(shù)據(jù)驗(yàn)證，考慮到一些同步發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢(shì)波形含有一定分量的17次和19次諧波，驗(yàn)證時(shí)截取了1～19次奇次諧波。

驗(yàn)證結(jié)果表明：與現(xiàn)有公式當(dāng)v≥7之后均出現(xiàn)負(fù)值不同，新的公式全程未出現(xiàn)負(fù)值，說(shuō)明新公式與實(shí)際情況吻合，可替代現(xiàn)有公式使用。