吳莉潔,宋漢文
(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)
從20世紀(jì)60年代起,國內(nèi)外學(xué)者就開始對周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究。對于周期梁或者聲子晶體梁的研究,Mead[1]以及Heckl[2]理論研究了周期支撐梁中壓縮波,扭轉(zhuǎn)波和彎曲波的耦合振動(dòng)特性。Mangaraju[3]和Sonti研究了在周期支撐梁中阻尼的影響。DI?AZDEANDA[4]則從理論和實(shí)驗(yàn)方面研究了幾何周期性桿的振動(dòng)帶隙。Sigmund和Jensen[5]研究了材料周期性結(jié)構(gòu)。國內(nèi),郁殿龍等[6]基于聲子晶體梁對一維桿狀周期結(jié)構(gòu)的縱向振動(dòng),軸結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),梁結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)和彎扭耦合振動(dòng)進(jìn)行了研究。文岐華[7]等對多振子周期梁彎曲振動(dòng)中的局域共振帶隙進(jìn)行了研究。上海交通大學(xué)華宏星、黃修長對周期結(jié)構(gòu)的實(shí)際隔振器的應(yīng)用中做了一系列研究[8–9]。對于一維周期結(jié)構(gòu)的研究主要是基于彈性波在周期結(jié)構(gòu)內(nèi)的傳播,通過波動(dòng)方程結(jié)合傳遞矩陣法,得到周期結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的帶隙求解問題,通常采用結(jié)合有限元和傳遞矩陣法發(fā)展而來的波有限元法[10–11]。數(shù)值矩陣由于矩陣奇異性等原因,在求解帶隙時(shí),會(huì)出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)問題[12–13]。
一般帶支撐的周期結(jié)構(gòu)的帶隙問題求解是將支撐條件作為元胞截面邊界處的剪切力的連續(xù)條件。從傳遞矩陣得到元胞的傳播特性及帶隙特征。
本文將支撐結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)作為元胞內(nèi)部的兩個(gè)子結(jié)構(gòu),通過頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法得到用各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)表示的綜合頻響函數(shù)。再利用頻響函數(shù)和傳遞矩陣的關(guān)系,得到以頻響函數(shù)表示的傳遞矩陣,并通過傳遞矩陣的特征值問題進(jìn)行周期支撐結(jié)構(gòu)的帶隙分析。在構(gòu)建結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)時(shí),我們通過曲線擬合及模態(tài)截?cái)?,保留主要的模態(tài)而忽略次要模態(tài)。
將周期支撐結(jié)構(gòu)分為主體結(jié)構(gòu)和支撐結(jié)構(gòu),分別用頻響函數(shù)來表示這兩個(gè)子結(jié)構(gòu),并通過子結(jié)構(gòu)綜合法得到綜合的頻響函數(shù)。基于綜合的頻響函數(shù)獲得元胞的傳遞矩陣,并求得帶隙特征。
周期支撐結(jié)構(gòu)的元胞可以分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu),即主體子結(jié)構(gòu)和支撐子結(jié)構(gòu),分別用a、b表示,如圖1所示,并考慮兩個(gè)子結(jié)構(gòu)通過某些節(jié)點(diǎn)直接固接。
圖1 兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的示意圖
a、b子結(jié)構(gòu)在未進(jìn)行連接時(shí),其內(nèi)部測點(diǎn)記為i,m代表兩個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行固結(jié)的位置,這里m可能包含多個(gè)連接位置。a、b兩個(gè)子結(jié)構(gòu)均可用頻響函數(shù)進(jìn)行表示,如式(1)、式(2)所示
當(dāng)a、b子結(jié)構(gòu)通過m點(diǎn)固接后,把整體結(jié)構(gòu)記作a+b。a+b結(jié)構(gòu)包含a、b內(nèi)部自由度i,以及a、b的連接點(diǎn)m。將新的a+b結(jié)構(gòu)的內(nèi)點(diǎn)記為n,分別屬于子結(jié)構(gòu)a和子結(jié)構(gòu)b。將a+b結(jié)構(gòu)中相連接的測點(diǎn)記為j。綜上,a+b總結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)可以表示為式
a+b總結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)可以用子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)表示,如式(4)所示
左邊矩陣表示整體結(jié)構(gòu)的各個(gè)頻響函數(shù),右邊矩陣表示子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。
對于周期結(jié)構(gòu)整體元胞,元胞左右的位移和力的傳遞有如下關(guān)系。
其中,L、R表示元胞首末兩點(diǎn)的位置。對于第k個(gè)元胞的左右兩個(gè)的場傳遞量,同樣有
由于結(jié)構(gòu)具有周期性,則對于元胞,根據(jù)Floquet原理有如下關(guān)系式
這里λ是傳播常數(shù)。
根據(jù)元胞邊界的連續(xù)性條件,并綜合式(6)和式(7),可得
整理式(8),可得
通過求解傳遞矩陣的特征值問題,即可以得到結(jié)構(gòu)阻帶。
將式(5)代入式(6),可以將傳遞矩陣表達(dá)為頻響函數(shù)的形式,即
將式(10)代入式(9),得到
將1、n表示為元胞輸入輸出位置,則有
根據(jù)式(3)和式(4),元胞整體結(jié)構(gòu)中的原點(diǎn)和跨點(diǎn)頻響函數(shù)又可以表示為如下形式
周期支撐結(jié)構(gòu)中主體結(jié)構(gòu)為a,所以元胞首末兩點(diǎn)的頻響函數(shù)以及跨點(diǎn)頻響函數(shù),又可以記為整體結(jié)構(gòu)中a結(jié)構(gòu)中的首末兩點(diǎn)的頻響函數(shù)以及跨點(diǎn)頻響函數(shù),即
由此可得
同樣上述公式可以推廣至具有多個(gè)子結(jié)構(gòu)的情況。將式(15)代入式(11)中,將表示為子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)的函數(shù),記為
對于一維周期結(jié)構(gòu),當(dāng)|λ|=1時(shí),對應(yīng)結(jié)構(gòu)通帶,當(dāng)時(shí)|λ|>1,對應(yīng)結(jié)構(gòu)阻帶。即λ=±1時(shí),為結(jié)構(gòu)帶隙分界點(diǎn),此時(shí)
通過求解上述方程的零點(diǎn)問題可以得到帶隙的位置。帶隙只和主體結(jié)構(gòu)的首末點(diǎn)的頻響函數(shù)以及支撐結(jié)構(gòu)在連接點(diǎn)處的頻響函數(shù)相關(guān)。
對于無限周期情況下,利用Floquet原理,可以得到帶隙的寬度和位置的表達(dá)式。根據(jù)第二節(jié)的討論,可以通過求解傳遞矩陣的特征值方程,來描述帶隙特性。通過曲線擬合,可以辨識結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。通過辨識得到的模態(tài)參數(shù)可以重構(gòu)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù),一般表達(dá)式可以表示為式(18)和式(19)
求解式(20)的零點(diǎn)問題即可得到帶隙的范圍。當(dāng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí),構(gòu)成頻響函數(shù)的階次會(huì)很多,通過模態(tài)截?cái)嗫梢员A糁饕B(tài)而忽略影響較小的次要模態(tài),研究主要模態(tài)對帶隙的影響。通過元胞的頻響函數(shù)表示傳遞矩陣可以計(jì)算得到無限周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性。有限周期結(jié)構(gòu)的帶隙大于無限周期結(jié)構(gòu),隨著周期數(shù)增加,帶隙趨近于無限周期結(jié)構(gòu)理論帶隙。帶隙的分界點(diǎn)可以表示為元胞模態(tài)參數(shù)的形式。而當(dāng)主結(jié)構(gòu)一定時(shí),帶隙的分界點(diǎn)僅與子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)相關(guān)。通過子結(jié)構(gòu)法可以快速地預(yù)測子結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)的帶隙特性的影響。
對于傳播常數(shù),λ=eα+iβ,其中α為無限周期結(jié)構(gòu)的衰減常數(shù),β為無限周期結(jié)構(gòu)相位常數(shù)。而實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)總是有限的,在某些情況下,工程中的周期結(jié)構(gòu)的重復(fù)周期數(shù)也比較少,因而不能簡單地使用衰減常數(shù)α來代替有限周期結(jié)構(gòu)的衰減率。本節(jié)建立了響應(yīng)衰減率與衰減常數(shù)α的關(guān)系。
對于n個(gè)元胞組成的周期結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的傳遞矩陣,可以建立傳遞矩陣
其中:
n個(gè)元胞組成的傳遞矩陣則有
代入具體表達(dá)式可得
同樣通過變換,可以將式(21)改寫為下述形式
其中[Hn]表示n個(gè)元胞組成的周期結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。
考慮在單輸入單輸出的情況,即考慮結(jié)構(gòu)中振動(dòng)從一端傳遞到另一端的傳遞情況。則響應(yīng)可寫為
從式(25)中可以得到施加在一端的外力F和另一端的結(jié)構(gòu)位移Xn的關(guān)系,如式
上式為元胞重復(fù)n個(gè)周期數(shù)時(shí),周期結(jié)構(gòu)一端受外力作用,另一端的位移,同時(shí)對于n-1周期數(shù),則有
表示元胞重復(fù)n-1個(gè)周期數(shù)時(shí),一端受外力作用,另一端的位移。
用振動(dòng)的響應(yīng)傳遞率來表示當(dāng)周期結(jié)構(gòu)的周期數(shù)增加一時(shí),結(jié)構(gòu)衰減率的增加。由式(26)和式(27)可得,響應(yīng)傳遞率的表達(dá)式為
所以需要知道Hn21,注意到Hn21=Hn12且根據(jù)前面的分析可知
由于傳遞矩陣是辛矩陣[14],則有
代入式(28)得到帶隙內(nèi)位移傳遞率的衰減率。
對于相同結(jié)構(gòu),不同周期數(shù)會(huì)影響帶隙深度(減振效果)。傳遞函數(shù)中的衰減率隨著周期數(shù)的增加,衰減率趨于無限周期中的衰減常數(shù)。衰減率受周期數(shù)和α的綜合影響。由于在第二節(jié)中證明,傳播常數(shù)可以用結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)表示,所以帶隙的深度也可以用模態(tài)參數(shù)表示,故而能通過模態(tài)參數(shù)控制帶隙深度。
典型的周期支撐結(jié)構(gòu)有鋼軌及扣壓件/枕木/膠墊系統(tǒng),多跨橋梁等,由主系統(tǒng)和支撐子系統(tǒng)構(gòu)成。這里,將以一個(gè)簡單的周期支撐結(jié)構(gòu)為例,研究周期支撐結(jié)構(gòu)的帶隙特性以及子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對帶隙的影響。
如圖2,周期結(jié)構(gòu)元胞為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)固接形成。其中的主體結(jié)構(gòu)或支撐結(jié)構(gòu)是通過模態(tài)截?cái)鄬⒁粋€(gè)復(fù)雜系統(tǒng)重構(gòu)的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。
通過模態(tài)重構(gòu)得到最右側(cè)兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。通過第一節(jié)中子結(jié)構(gòu)綜合法的推導(dǎo)得到綜合頻響函數(shù),如圖3所示。
其中sub1為圖2中右下角支撐子結(jié)構(gòu),而sub2為圖2中右上角主系統(tǒng)。
圖2 簡化的周期支撐系統(tǒng)
圖3 各子結(jié)構(gòu)頻響和總結(jié)構(gòu)頻響
根據(jù)第1節(jié)中的推導(dǎo),利用Floquet理論可以直接得到以上述結(jié)構(gòu)為元胞的周期結(jié)構(gòu)中波的傳播常數(shù)。在第2節(jié)中,已經(jīng)建立了響應(yīng)傳遞率函數(shù)與傳播常數(shù)關(guān)系。通過計(jì)算隨著周期數(shù)增加,不同結(jié)構(gòu)的響應(yīng)傳遞率,可以得到不同周期數(shù)的有限結(jié)構(gòu)的具體帶隙寬度以及帶隙內(nèi)的減振/隔振效果。
圖4 無限周期結(jié)構(gòu)傳播常數(shù)
從圖4中,可以明顯看到結(jié)構(gòu)在140 Hz前具有兩個(gè)帶隙。從0 Hz到9 Hz以及21 Hz到25 Hz。
同時(shí)通過文獻(xiàn)[15]的方法進(jìn)行了驗(yàn)證對于彈簧質(zhì)量系統(tǒng),其波動(dòng)方程可以寫作下列形式
根據(jù)Floquet原理,則有Aj-1=AN,j=1,Aj+1=A1,j=N。
通過求解公式使其有非平凡解,可以得到結(jié)構(gòu)能帶圖如圖5所示。
圖5 無限周期結(jié)構(gòu)能帶圖
對比圖4和圖5可以看到兩者得到的帶隙范圍是相同的。
同時(shí)通過計(jì)算具有不同元胞數(shù)目的周期結(jié)構(gòu)在24 Hz時(shí)的響應(yīng)傳遞率以及無限周期結(jié)構(gòu)24 Hz時(shí)的傳播常數(shù)來驗(yàn)證2.2節(jié)中的證明。從圖4可知,24 Hz處可求得結(jié)構(gòu)的衰減常數(shù)以及相位常數(shù),并根據(jù)λ=eα+iβ,可知24 Hz時(shí)的傳播常數(shù)λ為1.24。同時(shí)通過計(jì)算不同周期數(shù)下有限周期結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)和跨點(diǎn)的頻響函數(shù)可以得到元胞結(jié)構(gòu)左右兩端的響應(yīng)傳遞率。比較有限周期結(jié)構(gòu)的響應(yīng)傳遞率在24 Hz處的值以及無限周期結(jié)構(gòu)的衰減率,結(jié)果如圖6所示。
從圖6中可以看到隨著周期數(shù)的增加,有限周期結(jié)構(gòu)響應(yīng)傳遞率趨近傳播常數(shù)。而在周期數(shù)比較少時(shí),結(jié)構(gòu)實(shí)際響應(yīng)傳遞率與無限結(jié)構(gòu)的傳播常數(shù)差異較大,這也是無限周期結(jié)構(gòu)與有限周期結(jié)構(gòu)的差異所在。
從第1節(jié)的推導(dǎo)中可知,整體元胞的帶隙只和元胞主體結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)/跨點(diǎn)頻響函數(shù),以及支撐結(jié)構(gòu)的連接點(diǎn)處的原點(diǎn)頻響函數(shù)相關(guān)。當(dāng)主體結(jié)構(gòu)不變時(shí),通過調(diào)整子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)也可以快速改變其帶隙特性。圖7顯示了子結(jié)構(gòu)的1階頻率變化對結(jié)構(gòu)帶隙分布的影響。
圖6 24 Hz下有限周期結(jié)構(gòu)響應(yīng)傳遞率和傳播常數(shù)的對比
圖7 子結(jié)構(gòu)的1階頻率對帶隙影響
圖中黑點(diǎn)為通帶和阻帶的分界點(diǎn)。在前50 Hz一共有3個(gè)阻帶,這與圖4的傳播常數(shù)圖相一致。隨著支撐子結(jié)構(gòu)1階固有頻率的增加,第一、第二帶隙的范圍擴(kuò)大,而通帶范圍減小。利用子結(jié)構(gòu)的可設(shè)計(jì)性,通過增大子結(jié)構(gòu)第1階固有頻率的值,可以增加低頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)的阻帶范圍。
通過基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合法、曲線擬合和模態(tài)參數(shù)辨識,計(jì)算得到了基于模態(tài)參數(shù)的傳遞矩陣,進(jìn)而通過傳遞矩陣法分析周期結(jié)構(gòu)的帶隙動(dòng)力學(xué)特性。推導(dǎo)了阻帶的傳播常數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系。并發(fā)現(xiàn),無限周期結(jié)構(gòu)阻帶內(nèi)的衰減率以及有限周期結(jié)構(gòu)中位移傳遞率存在一定的聯(lián)系。隨著有限周期結(jié)構(gòu)周期數(shù)的增加,其阻帶內(nèi)傳遞率的衰減率將趨近于無限周期結(jié)構(gòu)的衰減常數(shù)。研究還發(fā)現(xiàn)周期支撐的結(jié)構(gòu),其在低頻段內(nèi)具有帶隙特性。這給設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)隔振減振提供了一條新的思路。通過調(diào)整子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù),可以快速改變結(jié)構(gòu)的帶隙范圍及衰減率。