基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)的矩形板薄板振動(dòng)特性分析

陳 林，肖 偉，劉見(jiàn)華，杜 圓

（1.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海 200011； 2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064；3.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

矩形板結(jié)構(gòu)在船舶[1]、航天[2]、土木及車輛[3]等學(xué)科中有著大量的應(yīng)用，其振動(dòng)特性一直以來(lái)備受關(guān)注。矩形板動(dòng)力學(xué)求解一般圍繞其控制方程和邊界條件進(jìn)行，目前常用的方法有冪級(jí)數(shù)法[4]、有限板條法[5]、能量法[6]以及 Green 函數(shù)法[7]等。Gorman[8]提出用系統(tǒng)疊加法來(lái)求解各種邊界條件下板的振動(dòng)問(wèn)題。hurlebaus等人[9]提出用傅立葉余弦級(jí)數(shù)的方法來(lái)計(jì)算四邊自由板的固有頻率和模態(tài)振型。Filipich和Rosales在文獻(xiàn)[10]中提出了一種變分方法，即所謂的全元法（WEM），來(lái)計(jì)算矩形薄板在四邊自由邊界條件下的固有頻率。

但上述方法僅能對(duì)簡(jiǎn)單邊界條件下的矩形薄板振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行求解，實(shí)際工程中的邊界條件往往復(fù)雜多變，需對(duì)任意邊界條件下矩形薄板的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行求解。本文將薄板振動(dòng)的位移函數(shù)表示成二維傅里葉余弦級(jí)數(shù)和輔助級(jí)數(shù)的線性組合，通過(guò)輔助級(jí)數(shù)項(xiàng)的引入解決薄板在邊界處的不連續(xù)性，然后通過(guò)改變橫向位移約束彈簧剛度值k和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值K來(lái)模擬任意邊界條件。旨在對(duì)矩形薄板在任意邊界條件下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行快速高效的求解，為工程應(yīng)用提供參考。

1 矩形薄板振動(dòng)理論模型

1.1 模型簡(jiǎn)介

矩形薄板長(zhǎng)為b，寬為a，厚度為h，薄板的邊界條件由四條邊上均布的彈簧來(lái)模擬。

圖1 任意邊界條件下的矩形薄板示意圖

其中：kx0、kxb分別代表x=0,x=b邊界上橫向位移約束彈簧的剛度，Kx0、Kxb分別代表x=0，x=b邊界上旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度，ky0、kya分別代表y=0，y=a邊界上橫向位移約束彈簧的剛度，Ky0、Kya分別代表y=0，y=a邊界上旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度。當(dāng)彈簧kx0、Kx0剛度趨于無(wú)窮時(shí)，即表征x=0邊界剛性固定；當(dāng)彈簧kx0、Kx0剛度均設(shè)置為零時(shí)，即表征x=0邊界自由；當(dāng)彈簧kxb剛度設(shè)置為無(wú)窮，Kxb剛度設(shè)置為0時(shí)，即表征x=b邊界簡(jiǎn)支。

1.2 位移容許函數(shù)

傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)表征位移容許函數(shù)時(shí)，存在邊界不連續(xù)問(wèn)題。因而改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)被提出，并應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)殼[11]以及環(huán)形扇板[12]等結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中。

式（1）中：λm=mπ/a，λn=nπ/b，Amn，Bmn，Cmn和Dmn分別用來(lái)表征矩形薄板位移函數(shù)中的未知Fourier系數(shù)，簡(jiǎn)諧時(shí)間因子eiωt用來(lái)表征薄板位移隨時(shí)間的變化。矩形薄板的振動(dòng)控制方程需對(duì)位移容許函數(shù)進(jìn)行4階偏微分求導(dǎo)，這就要求位移容許函數(shù)3階求導(dǎo)后仍連續(xù)。輔助傅里葉正弦級(jí)數(shù)的引入使上述位移容許函數(shù)滿足該條件。

1.3 結(jié)構(gòu)控制方程

表面受法向載荷q(x,y,t)作用下薄板的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為

當(dāng)薄板振動(dòng)為自由振動(dòng)時(shí)，薄板上并不受力，即q(x,y,t)=0，上式簡(jiǎn)化為：

式（3）中：D為薄板的彎曲剛度、ρ表示薄板的密度、h表示薄板的厚度，w(x，y)為上節(jié)中的位移容許函數(shù)。

1.4 求解過(guò)程

矩形薄板彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變能如式（4）所示

式（4）中：D=Eh3/(12(1-μ2))表示矩形薄板的彎曲剛度，E為薄板的楊氏模量，μ為薄板的泊松比；矩形薄板邊界彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能如式(5)所示

矩形薄板系統(tǒng)的動(dòng)能T表示為

矩形薄板表面均勻分布的外載荷所做的功可以表示為

矩形薄板表面集中力所做的功可以表示為

式（8）中：F為集中力的幅值，d為狄拉克函數(shù)（單位脈沖函數(shù)），(xe，ye)表示作用點(diǎn)位置。

綜上，將式（4）到式（8）代入可得矩形薄板拉格朗日函數(shù)為

將式（9）代入式（10）求解可得矩陣方程如下：

式（11）中：[K]=[Kp]+[Ks]，[Kp]是矩形薄板應(yīng)變勢(shì)能剛度矩陣，[Ks]是矩形薄板邊界彈簧勢(shì)能剛度矩陣，[M]是矩形薄板質(zhì)量矩陣，B為未知的傅里葉級(jí)數(shù)，F(xiàn)為外部激勵(lì)載荷，B與F具有相同維度。

當(dāng)F=0時(shí)，上面的矩陣方程表征矩形薄板的自由振動(dòng)，對(duì)其進(jìn)行特征值求解可得到矩形板的固有頻率及陣型。當(dāng)F≠0時(shí)，上面的矩陣方程表征矩形薄板的強(qiáng)迫振動(dòng)，某一頻率ω激勵(lì)下矩形薄板結(jié)構(gòu)響應(yīng)的未知傅里葉級(jí)數(shù)可由下式求得

將求解得到的未知傅里葉級(jí)數(shù)代入到式（1）中，即可以求得矩形薄板此頻率激勵(lì)力下的位移響應(yīng)。

2 方法有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法有效性，首先研究位移容許函數(shù)中截?cái)鄶?shù)M、N對(duì)矩形薄板固有頻率的影響，確定后續(xù)計(jì)算中所選取的截?cái)鄶?shù)；其次，研究邊界彈簧剛度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，從而確定表征任意邊界條件時(shí)的彈簧剛度值。最后，將本文在任意邊界條件下的固有頻率計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)以及有限元（ABAQUS）結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證方法有效性。

為了便于與現(xiàn)有文獻(xiàn)以及有限元計(jì)算解進(jìn)行對(duì)比，矩形薄板材料參數(shù)如下：密度ρ=7850kg/m3，泊松比μ=0.3，楊氏模量E=2.1×1011Pa，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行無(wú)量綱化處理，無(wú)量綱化公式為：。此外，下文中邊界條件：C代表剛固，S代表簡(jiǎn)支，F(xiàn)代表自由。

2.1 截?cái)鄶?shù)對(duì)方法收斂性影響分析

式（1）中的截?cái)囗?xiàng)M、N取值不同，會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，因而需對(duì)截?cái)鄶?shù)與方法收斂性的關(guān)系進(jìn)行探究。將矩形薄板的邊界條件設(shè)為CF－F－F（C、F、F、F依次對(duì)應(yīng)x=0，y=0，x=b，y=a），矩形薄板邊長(zhǎng)b=10 m，寬a=10 m，厚度h=0.02 m，該薄板無(wú)量綱化后前6階固有頻率如表1所示。

由表中計(jì)算數(shù)據(jù)可知截?cái)鄶?shù)M=N=13后，算例中矩形薄板固有頻率已基本不變，說(shuō)明本算法已收斂，在后面的計(jì)算中將選取截?cái)鄶?shù)M=N=13。

表1 不同的截?cái)嘀礛、N下C－F－F－F矩形薄板結(jié)構(gòu)無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

2.2 邊界彈簧剛度對(duì)計(jì)算結(jié)果影響分析

旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值與橫向位移約束彈簧剛度用來(lái)表征薄板邊界條件，對(duì)矩形薄板無(wú)量綱頻率參數(shù)影響較大。取邊長(zhǎng)a=10 m，寬b=10 m，厚度h=0.02 m的矩形薄板作為研究對(duì)象，將矩形薄板四邊的橫向位移約束彈簧剛度設(shè)置為1010N/m，旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度設(shè)置為0 N·m/rad，即S－S－S－S（四邊簡(jiǎn)支）邊界條件。逐漸增大旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度K，矩形薄板的前3階固有頻率變化如圖2所示。

圖2 前3階固有頻率隨旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度K的變化

由圖2可知，隨旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度的增大，矩形薄板固有頻率呈逐漸增大趨勢(shì)，且旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度在101N·m/rad～105N·m/rad范圍內(nèi)變化時(shí)固有頻率變化顯著。當(dāng)旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度大于1010N·m/rad后，矩形薄板固有頻率已基本不變，S－S－S－S(四邊簡(jiǎn)支)邊界條件變?yōu)镃－C－C－C(四邊剛固)。

將四邊旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度K設(shè)置為1010N·m/rad，橫向位移約束彈簧剛度k從零開(kāi)始逐步增大，矩形薄板前3階固有頻率如下圖所示。橫向位移約束彈簧剛度k從102N/m逐步增大到107N/m的過(guò)程中，矩形薄板前3階固有頻率變化顯著。橫向位移約束彈簧剛度k增大到1010N/m時(shí)，矩形薄板固有頻率已基本不發(fā)生變化。

圖3 前3階固有頻率隨橫向位移約束彈簧剛度k的變化

下文中將橫向位移約束彈簧剛度k與旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度K分別設(shè)置為1010N/m與1010N·m/rad來(lái)表征完全剛固邊界條件。通過(guò)圖2與圖3的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)橫向位移約束彈簧剛度k對(duì)矩形薄板固有頻率的影響大于旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度K。

2.3 典型邊界條件下矩形薄板振動(dòng)特性計(jì)算

為了更有效地驗(yàn)證本方法，將對(duì)不同長(zhǎng)寬比矩形薄板在經(jīng)典邊界條件下的固有頻率無(wú)量綱參數(shù)與文獻(xiàn)及有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。此外還列出了長(zhǎng)a=2 m，寬b=1 m，厚h=0.002 m的矩形薄板在C－CC－C邊界條件下，采用本文計(jì)算方法與有限元軟件（ABAQUS）計(jì)算得到的前6階振型對(duì)比圖4。有限元軟件（ABAQUS）計(jì)算過(guò)程中，單元類型為S4R單元數(shù)為105，計(jì)算結(jié)果收斂且準(zhǔn)確，可起到參照對(duì)比作用。

表2 C－F－F－F邊界條件下不同的長(zhǎng)寬比矩形薄板無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

表2至表4三種典型邊界條件下的數(shù)據(jù)說(shuō)明，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)解及有限元解吻合良好，方法準(zhǔn)確可靠。

表3 C－C－C－C邊界條件下不同長(zhǎng)寬比矩形薄板無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

表4 S－S－S－S邊界條件下不同長(zhǎng)寬比矩形無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

2.4 彈性邊界條件下矩形薄板振動(dòng)特性計(jì)算

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法有效性，對(duì)不同長(zhǎng)寬比矩形薄板在彈性邊界條件下固有頻率無(wú)量綱參數(shù)與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。矩形薄板四邊約束彈簧剛度分別取k1=103N/m、k2=104N/m、k3=105N/m。

表5 k1彈性邊界條件下不同長(zhǎng)寬比矩形薄板無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

由表5至表7可知，彈性邊界條件下本文與有限元軟件計(jì)算結(jié)果吻合良好，進(jìn)一步說(shuō)明本文方法可適用于矩形薄板結(jié)構(gòu)任意邊界條件下自由振動(dòng)特性分析。

表6 k2彈性邊界條件下不同長(zhǎng)寬比矩形薄板無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

表7 k3彈性邊界條件下不同長(zhǎng)寬比矩形薄板無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω

3 矩形薄板振動(dòng)特性分析

本文第2節(jié)已驗(yàn)證該方法有效性，本節(jié)將基于上述方法探究矩形薄板長(zhǎng)寬比r與薄板固有頻率的關(guān)系。

厚度h=0.02 m的矩形薄板，在S－S－S－S邊界條件下，不同長(zhǎng)寬比r矩形板對(duì)應(yīng)的前6階固有頻率值如表8所示。其前3階固有頻率隨長(zhǎng)寬比r變化曲線如圖5所示，由圖可得在S－S－S－S邊界條件下，隨著長(zhǎng)寬比r的增大，矩形薄板固有頻率逐漸減小，當(dāng)長(zhǎng)寬比r大于10時(shí)，變化已趨于平緩。CC－F－F邊界條件下，不同長(zhǎng)寬比r矩形板對(duì)應(yīng)的前6階固有頻率值如表9所示，矩形薄板長(zhǎng)寬比r與前3階固有頻率的關(guān)系如圖6所示。對(duì)比可知，不同邊界條件下矩形薄板各階固有頻率差異較大，但固有頻率隨長(zhǎng)寬比r的變化趨勢(shì)相同。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)表征矩形薄板的位移容許函數(shù)，列出矩形薄板拉格朗日方程后，基于Hamilton原理求解得到矩形薄板各階固有頻率與陣型。通過(guò)與文獻(xiàn)及有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法有效性。通過(guò)本文研究，可得如下主要結(jié)論：

表8 S－S－S－S邊界條件下不同長(zhǎng)寬比薄板固有頻率/Hz

圖4 C－C－C－C邊界條件矩形薄板前6階振型對(duì)比圖

圖5 S－S－S－S邊界條件下固有頻率隨長(zhǎng)寬比r變化

表9 C－C－F－F邊界條件下不同長(zhǎng)寬比薄板固有頻率/Hz

圖6 C－C－F－F邊界條件下固有頻率隨長(zhǎng)寬比r變化

(1)將橫向位移約束彈簧剛度k與旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度K分別設(shè)置為1010N/m與1010N·m/rad來(lái)表征完全剛固邊界條件合理可行，橫向位移約束彈簧剛度k對(duì)矩形薄板固有頻率的影響大于旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度K。

(2)隨著矩形薄板長(zhǎng)寬比增大，其固有頻率呈減小趨勢(shì)。

(3)通過(guò)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法求解薄板振動(dòng)特性準(zhǔn)確度高、速度快，收斂性好。