基于整體單元化設(shè)計(jì)理念下的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)

☉江蘇省南京民辦實(shí)驗(yàn)學(xué)校 肖啟平

單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)模型的基礎(chǔ)，它起著承上啟下的作用.不僅如此，對(duì)學(xué)生而言，函數(shù)的單調(diào)性這節(jié)內(nèi)容具有三個(gè)“第一次”的獨(dú)特屬性：它是學(xué)生第一次系統(tǒng)地研究函數(shù)的性質(zhì)、第一次進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)完整的代數(shù)論證、第一次認(rèn)識(shí)“任意”.因此，無論在基本知識(shí)層面、研究方法層面還是認(rèn)識(shí)策略層面，函數(shù)的單調(diào)性都承載著重要的使命.由此可見，這節(jié)課對(duì)教學(xué)提出更高的要求，傳統(tǒng)的那種“就課論課”、“只見樹木不見森林”的教學(xué)設(shè)計(jì)方式恐怕很難實(shí)現(xiàn)凸顯函數(shù)單調(diào)性的核心地位，使學(xué)生真正地理解單調(diào)性數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)目標(biāo).

一、整體化教學(xué)分析

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)間相互聯(lián)系，具有很強(qiáng)的整體性與連續(xù)性.教師在進(jìn)行教學(xué)分析時(shí)不能簡(jiǎn)單地停留在對(duì)某節(jié)課教材文本的解讀上，而是要站在知識(shí)系統(tǒng)的高度，開展“整體化”教學(xué)分析.具體而言就是站在章節(jié)、模塊，甚至是數(shù)學(xué)課程的高度去認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，全面地整合教材，連貫地理解目標(biāo)，突出學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性和教學(xué)的方向性，從而形成“有生命的、有靈魂的整體的知識(shí)”.我們運(yùn)用“整體化”教學(xué)分析就能破解傳統(tǒng)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)的瓶頸.

（一）教材層面

知識(shí)層面 思想方法教材對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的研究可以分為兩個(gè)階段：第一階段，用運(yùn)算的性質(zhì)研究單調(diào)性，知其變化趨勢(shì)；第二階段，用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究單調(diào)性，知其變化快慢.本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)剛好處于第一個(gè)階段，因此，不能急于求成，要關(guān)注知識(shí)的自然生成.本節(jié)課既是數(shù)學(xué)概念課，也是一節(jié)具有重要意義的數(shù)學(xué)方法課，揭示了研究函數(shù)性質(zhì)的“基本套路”，即先借助圖像進(jìn)行直觀感知，然后通過抽象歸納實(shí)現(xiàn)定義提煉的過程.在整個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從圖形語言到自然語言，再到符號(hào)語言描述的思維過程.不僅如此，為了實(shí)現(xiàn)概念的自然建構(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知策略的教學(xué)也是本節(jié)課的重要任務(wù)之一.

（二）學(xué)生層面

已有經(jīng)驗(yàn) 思維短板①能夠區(qū)分一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像的幾何特征，知道圖像“上升（下降）”與“函數(shù)值增大（減小）”的關(guān)系；②會(huì)利用作差法比較兩個(gè)數(shù)字的大小關(guān)系；③經(jīng)歷了函數(shù)定義的生成過程，積累了一定地抽象概括的經(jīng)驗(yàn).①抽象性水平還比較有限，面對(duì)函數(shù)單調(diào)性形式化定義的理解存在困難；②初中數(shù)學(xué)概念都是以靜態(tài)表述為主，對(duì)于單調(diào)性這樣動(dòng)態(tài)概念的表述缺乏經(jīng)驗(yàn)；③缺乏“無限”與“有限”的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“任意”的理解存在障礙.

通過上述分析，本節(jié)課的教學(xué)要加強(qiáng)幾何直觀、注重?cái)?shù)形結(jié)合，具體教學(xué)設(shè)計(jì)思路如圖1所示.

圖1

上述教學(xué)設(shè)計(jì)思路也是研究函數(shù)其他性質(zhì)的基本套路，所以本課時(shí)的教學(xué)不單是知識(shí)的教學(xué)，還是以知識(shí)的學(xué)習(xí)為載體，來培養(yǎng)學(xué)生研究能力的過程.

二、單元化教學(xué)設(shè)計(jì)

通過“整體化”教學(xué)分析，教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)得到進(jìn)一步明確，教學(xué)的素材得到了統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，圍繞著上述的思路我們就可以對(duì)本節(jié)課進(jìn)行整體“單元化”的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體操作如下.

（一）喚醒舊知，明確主題

問題串1：（1）已知函數(shù)f（x）=2x+1，試比較f（1）、f（2）的大?。?/p>

（2）已知函數(shù)f（x）=kx+1，試比較f（1）、f（2）的大??；

（3）已知函數(shù)f（x）=kx+1，如果f（1）>f（2），試比較f（3）、f（4）的大小.

意圖：?jiǎn)拘褜W(xué)生對(duì)于函數(shù)圖像的上升與下降與函數(shù)值變化規(guī)律之間聯(lián)系的認(rèn)知，感受函數(shù)值變化的復(fù)雜性，體會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)的必要性，為引出“單調(diào)性”的研究主題作鋪墊.

問題串2：（1）請(qǐng)結(jié)合圖像，描述一次函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)與函數(shù)值之間的關(guān)系.

（2）請(qǐng)結(jié)合圖像，描述二次函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)與函數(shù)值之間的關(guān)系.

意圖：建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷從圖形直觀感知到自然語言感性描述的思維過程.

（二）數(shù)學(xué)抽象，生成概念

引導(dǎo)學(xué)生直觀理解“單調(diào)性”的概念：從字面上看“單調(diào)”就是簡(jiǎn)單的意思，漢語大詞典對(duì)“單調(diào)”的解釋是：簡(jiǎn)單、重復(fù)而沒有變化.哼出一段音樂調(diào)子：7，6，5，4，3，2，1，再換成6，5，3，3，5，6，5，3，前者給我們單調(diào)遞減的感覺，后者則是在變化的.仔細(xì)分析后者，我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)前面三個(gè)數(shù)字是單調(diào)遞減，中間三個(gè)數(shù)字又單調(diào)遞增，后面的又單調(diào)遞減.因此，研究單調(diào)性還要關(guān)注“范圍”.

意圖：聯(lián)系生活實(shí)例，讓學(xué)生對(duì)單調(diào)性的概念有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，同時(shí)為后面單調(diào)區(qū)間的概念作鋪墊.

問題1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，如果f（1）＞f（2），試比較f（3）、f（4）的大小.

思考：（1）能否比較f（3）與f（4）的大小？

（2）如果要比較，需要知道什么？

（3）如何判斷函數(shù)單調(diào)性？

問題2：如果能夠畫出函數(shù)圖像就能夠從圖像上觀察得到單調(diào)性，但如果函數(shù)圖像無法畫出那怎么辦？

意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，為單調(diào)性形式化定義的提煉作鋪墊.

問題3：如何說明“函數(shù)值隨自變量的增加而增加（減少）”，請(qǐng)舉出例子？

問題4：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示“函數(shù)值隨自變量的增加而增加（減少）”？

意圖：對(duì)于上述兩個(gè)問題的思考，一般分四步走.

第一步，如果當(dāng)x增大時(shí)，y隨x的增大而增大，那么當(dāng)x1＜x2時(shí)，f（x1）＜f（x2）成立.反之是否成立呢？由此引出問題：在定義域的某個(gè)子區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)確定的值能否推斷出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，并舉出反例.

第二步，如果在該子區(qū)間內(nèi)取無數(shù)個(gè)自變量的值是否可以？學(xué)生基本上認(rèn)為這樣做是可以的.此時(shí)教師指出：雖然有無數(shù)個(gè)值，取其中兩個(gè)緊鄰的值，如a，b，在數(shù)軸上將這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段用放大鏡放大，那么這兩個(gè)值就相當(dāng)于第一步中的x1和x2，所以仍然不足以得出結(jié)論.至此，學(xué)生思維的積極性被調(diào)動(dòng)起來了.

第三步，綜合前面兩步，只有該區(qū)間內(nèi)“所有”的自變量都驗(yàn)證后才能得出結(jié)論.

第四步，教師指出需要找“代表”，讓學(xué)生繼續(xù)思考怎么表述，學(xué)生陷入困境.此時(shí)應(yīng)該由教師引導(dǎo)學(xué)生把“所有”轉(zhuǎn)化為“任意”.

整個(gè)教學(xué)經(jīng)歷了這樣的建構(gòu)過程：“兩個(gè)——三個(gè)——無數(shù)個(gè)——所有——兩個(gè)代表——任意.”

（三）拓展思維，內(nèi)化概念

問題1：對(duì)于一次函數(shù)、二次函數(shù)，如何迅速判斷其單調(diào)性？

意圖：一方面強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性，另一方面通過探究，歸納兩個(gè)最熟悉的判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

問題2：反比例函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)的嗎？

意圖：通過觀察圖像，很多學(xué)生會(huì)誤以為反比例函數(shù)圖像的兩支分別單調(diào)因此總體也單調(diào)，這需要教師利用特殊值代入與利用定義進(jìn)行嚴(yán)格論證糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知，從而進(jìn)一步明確單調(diào)的判定不能脫離具體的“區(qū)間”.同時(shí)，教師可以借助形象生動(dòng)的語言對(duì)上述三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性特征進(jìn)行描述：一次函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)——“統(tǒng)一戰(zhàn)線”，二次函數(shù)在定義內(nèi)有兩種單調(diào)性——“一國(guó)兩制”，反比例函數(shù)盡管圖像兩支的單調(diào)性一致，但它們各自為營(yíng)——“軍閥割據(jù)”.

三、教學(xué)反思

在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性.對(duì)各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動(dòng)關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì).上述教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是從單元教學(xué)的整體目標(biāo)出發(fā)，統(tǒng)攬全局，將教學(xué)活動(dòng)的每一步、每一個(gè)環(huán)節(jié)都放到教學(xué)活動(dòng)的大系統(tǒng)中考量，突出教學(xué)內(nèi)容的主線及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，而不是片面地突出或者強(qiáng)調(diào)某一點(diǎn).學(xué)生不僅獲得函數(shù)單調(diào)性的抽象定義，同時(shí)也掌握研究函數(shù)性質(zhì)的一般“套路”.更為重要的是認(rèn)識(shí)到了“任意”的真正內(nèi)涵，學(xué)會(huì)了從“無限”向“有限”轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.

課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“不要因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課程內(nèi)容劃分成了若干模塊，而忽視相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系.”數(shù)學(xué)教材是使學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的目標(biāo)要求的內(nèi)容載體，是將數(shù)學(xué)課程概念和數(shù)學(xué)課程內(nèi)容按照一定的邏輯體系和一定的呈現(xiàn)形態(tài)加以展開和具體化的、系統(tǒng)化的材料.整體單元化設(shè)計(jì)的就是普遍聯(lián)系哲學(xué)觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用，它的價(jià)值在于從更高觀點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的各要素進(jìn)行系統(tǒng)的綜合考量.它要求教師破除“教教材”、“就課論課”的思維慣性，立足學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過重組優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容從而達(dá)到整體建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo).