在“思辨”中發(fā)展立體幾何思維的嚴密性
——以“線面平行的判定”為例

☉江蘇省徐州市第二中學(xué) 馬姍姍

新課改后，立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力和推理論證能力等，淡化了對幾何嚴格證明的要求，但數(shù)學(xué)是一門以嚴謹著稱的學(xué)科，那么缺失了嚴格證明的立體幾何教學(xué)，其嚴密性如何保障，如何讓學(xué)生真正理解立體幾何中的重要定理、性質(zhì)？這就需要在教學(xué)中強化“思辨”能力的作用.思辨能力顧名思義就是思考辨析能力，即通過分析、推理、判斷等思維活動對事物的情況、類別、事理等的辨別分析.下面筆者就以“線面平行的判定”一課為例，談?wù)剬Υ说目捶?

一、結(jié)合生活現(xiàn)實，“思辨”解決方案

我們生活的世界不僅被形形色色的幾何現(xiàn)象與模型所包圍，大到高樓大廈、公路橋梁，小到橡皮鉛筆、螺絲尺具，而且很多生活問題本質(zhì)上就是立體幾何問題，通過對生活問題的“思辨”，我們能夠獲得蘊藏在其中幾何原理.比如，木工用一把直尺在桌面上隨處置放，如果尺上有兩點在桌面上，而有其他不在桌面上，則就說明桌面不平整，否則桌面就是平的；在裝箱子的蓋子時，用到兩塊鉸鏈與一把鎖，從而把蓋子固定在箱子上.上述兩個例子就蘊含著立體幾何的兩大公理.不僅如此，現(xiàn)行教材的編寫也是遵循從“生活模型中發(fā)現(xiàn)”的思路，空間中的位置關(guān)系基本上都是從生活實例中提煉出來的.因此，結(jié)合生活現(xiàn)實進行“思辨”是立體幾何教學(xué)的第一步，它有助于明確問題的解決方案.

師：如何保證教室里所安裝的日光燈與地面平行？

生1：測量一下日光燈兩端到地面的距離，看它們的長度是否一樣.（根據(jù)生活經(jīng)驗，學(xué)生很快想到了辦法）

生2：只要保證日光燈兩端的繩子的長度一樣就行.

師：我們發(fā)現(xiàn)教室里的日光燈確實是這樣安裝的，那你能把這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？其中蘊含著什么數(shù)學(xué)原理？

生3：這就是線面平行問題，通過這個現(xiàn)象，我們可以得到一個結(jié)論：如果直線上有兩點到平面的距離相等，則這條直線與平面平行.

師：你們認為這個結(jié)論在空間中成立嗎？

生4：不成立，如果直線與平面相交，照樣可以找到兩點到平面的距離相等.

師：為什么在生活中是正確的經(jīng)驗，到了數(shù)學(xué)中就不對了呢？

生5：因為直線可以無限延伸，而日光燈的長度是有限的.

師：那在空間中如何判定線面平行呢？如果直線上有三個點到平面距離相等，你認為能否判定直線與平面是否平行？

生6：好像也不對.如果直線在平面內(nèi)，那么直線上有無數(shù)個點到平面的距離相等.

師：那如何改進判定方法呢？

生7：“平面外”的一條直線有三個點到平面的距離相等，則直線與平面平行.

當學(xué)生對空間圖形認識不清時，基于錯誤的空間認識進行推理就會得到錯誤的結(jié)論.借助現(xiàn)實的具體模型與生活現(xiàn)象進行“思辨”，不僅有利于促進學(xué)生對于空間問題的理解，而且有利于架起學(xué)生的生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)原理聯(lián)系的橋梁.通過不斷的“嘗試”，不斷的“思辨”，學(xué)生逐步明確了解決問題的方案.

二、聯(lián)系已有經(jīng)驗，“思辨”論證方向

建構(gòu)主義認為，知識不能簡單地由教師進行“復(fù)制”再“粘貼”到學(xué)生的頭腦中，而只能是每個學(xué)生依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗主動地加以建構(gòu)的過程.學(xué)生已有的經(jīng)驗是課堂教學(xué)的“出發(fā)點”，也是知識的“生長點”，這在立體幾何“公理化”的論證思想中體現(xiàn)的淋漓盡致.所謂“公理”是“人們普遍認為正確的結(jié)論”，毫無疑問，公理依賴于“經(jīng)驗”，從公理出發(fā)通過演繹證明從而獲得新的定理、性質(zhì)、推論.其論證思想也可以直接理解為從“已有的經(jīng)驗”出發(fā)獲得更多的“新的經(jīng)驗”.

師：剛才有同學(xué)提出“‘平面外’的一條直線有三個點到平面的距離相等，則直線與平面平行”.這個結(jié)論正確嗎？

生：正確，三點到平面距離相等就可以得到直線上的每一點到平面的距離都相等.

師：這個判定方法在實際操作中方便嗎？

生：需要測量三個點的距離，不好操作.

師：在空間中，作出點到面的距離并不是件容易的事，因此這個判定方法需要進一步改進.大家回憶一下，在初中我們是如何判斷線線平行的？

生8：利用角度關(guān)系，比如內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補等.

生9：利用平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形對邊平行.

師：這說明判斷平行的思路有很多，可以借助角的關(guān)系，也可以借助線的關(guān)系.那么，剛才我們是利用“距離關(guān)系”判定線面平行，能否換一個幾何關(guān)系？

生10：可以利用線線平行來判定線面平行.我發(fā)現(xiàn)日光燈與它在地面上的影子是平行的，從中可以得到如果能夠在平面內(nèi)找到一條直線與平面外的直線平行，那么這條直線就與平面平行.

師：觀察的很細致，大家認為這個結(jié)論正確嗎？

生：正確.

師：為什么？

生11：如果平面外一條直線平行與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線上的每一點到平面的距離都相等，這和我們借助“距離”的判定方法是等價的.

隨著立體幾何學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生會獲得越來越多的“經(jīng)驗”.有三大經(jīng)驗貫穿立體幾何學(xué)習(xí)的全過程，一是“降維的經(jīng)驗”，將空間問題平面化，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；二是“化無限為有限的經(jīng)驗”，在判斷線面空間位置關(guān)系中，往往把“任意一條直線”轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”；三是“引進第三個幾何元素作為中介來刻畫兩個幾何對象的關(guān)系的經(jīng)驗”，比如，利用線線平行來刻畫線面平行、借助線面垂直來刻畫面面垂直等.因此，聯(lián)系已有的經(jīng)驗，通過“思辨”，有助于更快地明確幾何論證的方向.

三、構(gòu)造模型對比，“思辨”結(jié)論的完備性

立體幾何模型是對立體幾何知識的集中概括，是凝結(jié)在學(xué)生頭腦中的一系列的加工和認識對象，學(xué)習(xí)立體幾何就是學(xué)習(xí)各種各樣的幾何模型“打交道”.在立體幾何教學(xué)中借助模型進行“思辨”不僅能夠使學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)蘊藏在圖形內(nèi)部的定理與性質(zhì)，而且有助于學(xué)生精準地用數(shù)學(xué)語言把這些定理與性質(zhì)表述出來.

師：通過對原先方法的改進，我們得到判定線面平行，只需要判定線線平行.在生活中有這樣的例子嗎？

生12：開門、關(guān)門時，門框線始終與墻面平行，因為門框線與門軸平行，而門軸在墻面上.

生13：翻開書本中的某一頁時，這頁的邊始終與書本保持平行，它的原理與開門、關(guān)門類似.

師：那么這個判定方法一定正確嗎？

生：感覺是正確的，但無法證明.

師：我們可以借助模型加以理解，如圖1所示，兩平行線AC、BD分別交平面α于A、B兩點，可以把這兩條平行線想象成“滑竿”，現(xiàn)將平面α內(nèi)的直線AB順著這兩根“滑竿”滑到平面α外MN處，如果MN始終與AB保持平行，那么MN與平面α平行嗎？

意圖：借助“滑竿”模型進行“思辨”有助于學(xué)生把平面外的直線與平面內(nèi)的直線聯(lián)系起來，有利于學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中更好地掌握和運用“線面平行”的判定定理.

生：一定平行.

師：我們可以這樣理解，平面α可以看成由直線AB平移中形成的軌跡，也就是說無數(shù)條與AB平行的直線構(gòu)成了平面α，如果MN與AB平行，那么MN就與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，且不會有交點，那么直線MN就一定與平面α平行.

師：如果MN不與AB平行，那么直線MN會與平面α平行嗎？

生14：不平行，如果MN不與AB平行，則MN一定與AB相交，那么MN就會與平面α有交點

圖2

師：我們再換個模型，若直線AC、BD是兩條異面直線（如圖2），其余條件不變，則直線MN與直線AB還有可能平行嗎？直線MN與平面α還有可能平行嗎？為什么？

意圖：對線面平行判定進行更為深入的“思辨”：平面外的直線與平面內(nèi)的某一條直線不平行，并不代表它和平面內(nèi)的其余直線都不平行，因此不能判定直線與平面一定不平行，平面內(nèi)符合定理要求的直線“存在”即可，這也是應(yīng)用定理的關(guān)鍵

生15：直線MN與AB不平行，如果平行的話，MN與AB就共面，即直線AC、BD共面，這就與題目條件矛盾.

生16：MN可以與平面α平行，只要能夠在平面α內(nèi)找到一條直線與MN平行就可以了.

師：經(jīng)過上述分析，你能準確描述線面平行的判定定理嗎？

……

四、拓展應(yīng)用，“思辨”解題的套路

圖1

“線面平行的判定”可以說是立體幾何的“起始課”，因為，從這一課開始學(xué)生正式經(jīng)歷用幾何論證的方法研究空間中點、線、面之間的位置關(guān)系.掌握線面平行的判定方法只是其中一方面，更為重要的是通過這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解研究空間中幾何對象之間位置關(guān)系的一般“套路”，而這種套路的掌握對于后續(xù)面面平行、線面垂直、面面垂直的判定具有重要的借鑒意義.因此，以典型例題為載體，探究判定定理的應(yīng)用技巧，引導(dǎo)學(xué)生“思辨”解題的套路，促進學(xué)生的幾何論證思維趨向嚴密.

題目如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為線段PD和BC的中點，求證：CE∥平面PAF.

意圖：通過探究，對線面平行問題的解題套路進行深入的“思辨”.首先是考慮怎么證明線面平行？接下去考慮判定定理怎么用？需要什么條件？最后考慮有幾種不同的實現(xiàn)路徑.

線面平行的判定，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與已知直線平行的直線.一般有兩種方法：一是利用中位線的性質(zhì)找平行線；二是構(gòu)造平行四邊形找平行線.這兩種方法對于本題都適用，分別如圖4、5所示.

圖3

對本題的解題方法的“思辨”最終使學(xué)生掌握解決線面平行證明的一般套路，如圖6所示.

圖6

“思辨”本質(zhì)上是對問題的一種理性的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開“思辨”.空間中的幾何位置關(guān)系錯綜復(fù)雜，通過“思辨”撥開重重“迷霧”找到問題的真相，從而促進思維趨向嚴密，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).