選好例題 注重實(shí)效 解法自然

☉山東省乳山市第一中學(xué) 滕建峰

在近幾年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會碰到求解多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題，特別是雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，方法有時(shí)也多樣.下面結(jié)合一道雙變元代數(shù)式的最值問題來加以實(shí)例剖析，結(jié)合多維角度切入，達(dá)到殊途同歸.

例題 （2018屆江蘇省南師大附中、淮陰中學(xué)、海門中學(xué)、天一中學(xué)高三2月聯(lián)考·14）已知a>1，b>2，則的最小值為____.

分析：這是一道雙變元在已知條件下代數(shù)式的最值問題，這類問題一直受備命題者的青睞.涉及此類雙變元代數(shù)式在滿足限制條件下的取值范圍問題，可以通過換元思維、求導(dǎo)方法、待定系數(shù)法，以及幾何模型法等思維角度來處理，解決的關(guān)系如何轉(zhuǎn)化對應(yīng)代數(shù)式中的根式，加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，思維多樣，方法各異.通過認(rèn)真審視這道試卷，在不同視角下，得到了該題的不同解題思維與對應(yīng)的精彩解法.

角度1——換元法1

解法7：由于a>1，b>2，如圖2，構(gòu)造平面幾何模型，設(shè)AB⊥AC，AB⊥BD，且|AC|=1，|BD|=2，連接CD交AB于點(diǎn)F，設(shè)|CF|=a，|FD|=b，過C作CE⊥BD交DB的延長線于點(diǎn)E，設(shè)∠DCE=θ.

點(diǎn)評：解法1與解法2均是通過引入?yún)?shù)m，n，根據(jù)基本不等式或柯西不等式來轉(zhuǎn)化，進(jìn)而結(jié)合基本不等式來確定最小值問題；解法3與解法4均利用基本不等式加以轉(zhuǎn)化，再分別從求導(dǎo)法或待定系數(shù)法來確定相應(yīng)的關(guān)系式的最大值，從而得以確定雙變元代數(shù)式的最小值問題；解法5利用柯西不等式來轉(zhuǎn)化分母中的根式，再通過換元思維，結(jié)合基本不等式來確定雙變元代數(shù)式的最小值問題，回歸不等式本質(zhì)；而解法6與解法7利用不同的平面幾何概型的建立，通過兩個直角三角形的關(guān)系，結(jié)合三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的最值，可以達(dá)到“秒殺”的效果，只是對應(yīng)的不同的幾何模型的構(gòu)造具有非常大的想象力與創(chuàng)新力.

通過“一題多解”可以將主干知識進(jìn)行“串聯(lián)”，同時(shí)“并聯(lián)”起數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)，開拓學(xué)生的解題視野，有效促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的改善和創(chuàng)新發(fā)展能力的提升，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的樂趣，收獲成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.