數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用

☉安徽省無(wú)為中學(xué) 丁福全

一、問(wèn)題的提出

例1函數(shù)y=（fx）的圖像上有一點(diǎn)P，y=g（x）的圖像上有一點(diǎn)Q，點(diǎn)P，Q之間的距離記作|PQ|，且能取到最小值d，那么將d稱為函數(shù)y=（fx）與y=g（x）之間的距離.按此定義，求函數(shù)之間的距離.

此題求解有兩個(gè)突破點(diǎn)：

（1）y=（fx）是一個(gè)冪函數(shù)，圖像即為拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線.

（2）點(diǎn)P到定圓上點(diǎn)Q的距離應(yīng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離.

事實(shí)上，解決例1時(shí)如果能夠聯(lián)想一類題目就會(huì)有一定的突破，如引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最小距離.

圓上的動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離可以借助圓心到該直線的距離的探究來(lái)實(shí)現(xiàn).利用圓的特征并因此實(shí)施“動(dòng)”到“定”的轉(zhuǎn)化，結(jié)合引例對(duì)例1展開分析，區(qū)別在于y=（fx）的圖像不是直線，又因?yàn)镻是動(dòng)點(diǎn)，因此應(yīng)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)并表示出點(diǎn)P到圓心的距離，最終借助函數(shù)使問(wèn)題得到解決.

由此我們可以觀察到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想在解題中所起的作用，因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與知識(shí)特征進(jìn)行理解與分析并使其積累、掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與模型，最終運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維使問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化，知識(shí)得以創(chuàng)新.

1.開展管理創(chuàng)新，提高管理效率。要積極穩(wěn)妥實(shí)施企業(yè)“壓減”工作，調(diào)整組織結(jié)構(gòu)，整合資源，做強(qiáng)、做專分公司。要制定分公司由生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)型轉(zhuǎn)變?yōu)樯a(chǎn)型的改革方案，調(diào)整公司與分公司兩級(jí)機(jī)構(gòu)設(shè)置和定編定員，對(duì)關(guān)鍵崗位上的業(yè)務(wù)人員要優(yōu)先培養(yǎng)和配置；要通過(guò)不斷推進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)、工序化生產(chǎn)和單工號(hào)管理，以提高創(chuàng)新思維、能力素養(yǎng)為重點(diǎn)，以強(qiáng)化管理人員業(yè)務(wù)素質(zhì)為根本，開展業(yè)務(wù)骨干大培訓(xùn)工程，逐步培養(yǎng)一批在產(chǎn)品設(shè)計(jì)、生產(chǎn)管理、成本管控等方面的急需人才，為企業(yè)管理上臺(tái)階提供人力資源支撐。

二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想

法國(guó)布爾巴基學(xué)派結(jié)合皮亞杰等發(fā)展起來(lái)的結(jié)構(gòu)思想這一現(xiàn)代教育理論建立了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想學(xué)說(shuō)，將數(shù)學(xué)的發(fā)展認(rèn)定為是各種結(jié)構(gòu)的建立與發(fā)展這一理論具體探討了諸多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間的統(tǒng)一性.

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常分為純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)兩大類，從宏觀角度來(lái)看的純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主要包含代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)等諸多內(nèi)容.在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)間聯(lián)系的這一條件下所提出的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是這里所指的一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這是為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能而強(qiáng)調(diào)的.方程或方程組的同解變換結(jié)構(gòu)、與數(shù)的知識(shí)有關(guān)的復(fù)數(shù)的分類結(jié)構(gòu)、解題或證明的程序結(jié)構(gòu)、各種數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)等都是一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)所包含的內(nèi)容.側(cè)重“結(jié)構(gòu)”這一核心的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)表面差異的研究上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與一致性、數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí)、探索與處理.

由此可見，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)建構(gòu)完整的結(jié)構(gòu)體系離不開數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的有力支撐，因此，教師在解題教學(xué)時(shí)應(yīng)積極滲透數(shù)學(xué)思想方法并因此促進(jìn)學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的大幅提升.

三、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用

1.運(yùn)用結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)想并因此實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的運(yùn)用對(duì)于學(xué)生整體性數(shù)學(xué)思維水平的提升來(lái)說(shuō)具有極大的意義.根據(jù)探索知識(shí)能力間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系這一思想內(nèi)涵開展解題教學(xué)能夠使學(xué)生更好地抓住問(wèn)題的本質(zhì).比如，教師在例1的解題教學(xué)中運(yùn)用引例并借助變式訓(xùn)練使學(xué)生能夠很快對(duì)已有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行提取，并因此使學(xué)生對(duì)知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系更加明確，學(xué)生在此基礎(chǔ)上很快對(duì)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了提升與轉(zhuǎn)化并因此實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)造性思維的生成繼而獲得解題的方法.

2.引導(dǎo)學(xué)生在結(jié)構(gòu)的感知中識(shí)別特征并因此建構(gòu)體系

學(xué)生良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立必須建立在對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的理解與掌握這一基礎(chǔ)之上，不同角度的考慮往往會(huì)令一道題目甚至一個(gè)已知條件產(chǎn)生新的理解與認(rèn)識(shí)，因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行體會(huì)與感悟，使得各種結(jié)構(gòu)所具備的知識(shí)特征得到更好的識(shí)別并產(chǎn)生最為合理的解題辦法.

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求∠C的取值范圍.

方法1：由“兩邊一對(duì)角”這一結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行體會(huì)與感悟并聯(lián)想“正弦定理判斷三角形解的數(shù)量”這一知識(shí)進(jìn)行解題，借助圖形有1≥2sinC，得到再結(jié)合C∈（0，π），得

方法2：由“兩邊一對(duì)角”這一結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行體會(huì)與感悟并聯(lián)想“余弦定理表示角”這一知識(shí)進(jìn)行解題，設(shè)AC=x，借助余弦定理得結(jié)合x的范圍并利用基本不等式可得再結(jié)合C∈（0，π），得

方法3：感知三角形中已知的邊AB∩BC=B這一結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想作三角形圖并觀察C的變化等知識(shí)先確定邊BC，然后再以B為圓心、1為半徑作圓并找出頂點(diǎn)A的軌跡，最終再確定∠C的變化并結(jié)合C∈（0，π），得

我們從此題的不同解法中不難窺見學(xué)生解題過(guò)程中的思維閃爍，因此，結(jié)構(gòu)思想指引下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)對(duì)學(xué)生的思想與見解不能隨意否定，學(xué)生在多種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的積累與深化中也能夠更加完善地構(gòu)建起系統(tǒng)的知識(shí)體系.

3.幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析結(jié)構(gòu)并因此順利歸納和推理

有些學(xué)生在解題時(shí)并不能較快地抓住題中的突破點(diǎn)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合情推理，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)并掌握特殊到一般的方法，使學(xué)生在掌握類比歸納等方法的前提下能夠分析題中的知識(shí)結(jié)構(gòu)并順利建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)化目標(biāo)，更快解題.

例3如圖1，青蛙第一步從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A起跳，它的每一次跳躍都跳向了相鄰的那個(gè)頂點(diǎn).

（1）跳三步跳到C1的概率P為多少？

圖1

（2）如果跳五步并將跳到過(guò)C1的次數(shù)用X來(lái)表示，那么隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（X）應(yīng)該是怎樣的呢？

分析：解決此題的關(guān)鍵在于從點(diǎn)A跳到其他各頂點(diǎn)至少需要的步數(shù).將A標(biāo)為0，A1，B，D標(biāo)為1，B1，C，D1標(biāo)為2，C1標(biāo)為3.

解：（1）三步共3×3×3種選擇，

四、結(jié)論

基于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的解題教學(xué)能夠借助變式、一題多解等多種教學(xué)方式幫助學(xué)生對(duì)各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行領(lǐng)悟與掌握，使學(xué)生在各種變式中更好地體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與模型并因此加深自己對(duì)所學(xué)公式、概念與定理的掌握，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)尋找知識(shí)間的聯(lián)系并進(jìn)行知識(shí)特征的識(shí)別與合情歸納推理，最終實(shí)現(xiàn)解題能力的突飛猛進(jìn).