一道三角形面積最值題的多解剖析

☉安徽省臨泉一中 張凱華

解三角形主要通過對任意三角形邊角關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡單三角形度量問題及一些與測量和計算有關的實際問題.該部分是每年高考中的基本考點之一，大都運算量大、公式應用多，這就要求我們不僅具有較高的運算水平、較強的運算能力和較大的記憶能力，還應善于審題，采用相應的策略，優(yōu)化過程.特別對于解三角形中的最值問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點題型.下面結合一道三角形面積的最值題加以多解剖析.

例題在△ABC中，若AB=1，tanB=2tanC，則△ABC面積的最大值是______.

分析：本題給出三角形的一邊AB=c=1，以及角B，C的正切值的三角關系式，解決問題的關鍵就是如何把關系式tanB=2tanC加以巧妙轉化，可以利用同角三角函數(shù)基本關系式、直角三角形中的邊角關系等加以轉化，轉化為涉及三角形的相關邊以及角的正弦值或余弦值，再代入三角形的面積公式，利用基本不等式法、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)法等來確定對應的最值即可，進而達到求解問題的目的.

結合題目條件tanB=2tanC轉化為正、余弦的關系式，結合正弦定理與余弦定理轉化為邊的關系式，得以確定再由條件和余弦定理求出cosB，由同角三角函數(shù)基本關系式可得sinB的值，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)a的關系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法1：由tanB=2tanC，可得則有sinBcosC=2cosBsinC.

而由余弦定理可得：

根據(jù)條件過A點作AD⊥BC交BC于點D，引入?yún)?shù)h=AD，把BD表示成h的關系式，同時利用條件把BC也表示成h的關系式，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)h的關系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法2：過A點作AD⊥BC交BC于點D，設AD=h，則知0＜h＜1.

根據(jù)條件過A點作AD⊥BC交BC于點D，把AD、BC表示成角B的三角關系式，同時利用條件把CD也表示成角B的三角關系式，代入三角形的面積公式，結合二倍角公式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最值即可.

解法3：如圖1，過A點作AD⊥BC交BC于點D.

而AB=c=1，

可得AD=sinB，BD=cosB.

根據(jù)條件過A點作AD⊥BC交BC于點D，引入?yún)?shù)x=BD，把AD表示成x的關系式，同時利用條件把CD也表示成x的關系式，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)x的關系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法4：如圖2，過A點作AD⊥BC交BC于點D，而AB=c=1，設BD=x，則知0＜x＜1.

結合題目條件tanB=2tanC轉化為正、余弦的關系式，結合兩角和的正弦公式加以合理轉化與應用，同時利用三角形的內(nèi)角和公式與誘導公式加以轉化得到sinA=3cosBsinC，結合正弦定理轉化為a=3cosB，代入三角形的面積公式，結合二倍角公式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最值即可.

解法5：由tanB=2tanC，可得

則有sinBcosC=2cosBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=3cosBsinC，

即sin（B+C）=3cosBsinC，亦即sinA=3cosBsinC，

結合正弦定理可得a=3ccosB=3cosB（c=AB=1）.

點評：在解決三角形問題中，比較常見的思維方法就是正弦定理與余弦定理，這也是解決此類問題的典型方法.而涉及三角形的面積的最值問題，關鍵是通過代數(shù)運算，將幾何模型代數(shù)化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關公式等來轉化與解題，利用基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等來確定最值問題.

通過從多個不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對數(shù)學知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學家蘇步青先生所言：“學習數(shù)學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”