淺談高中數(shù)學(xué)中的不等式問題

【摘要】：在整個高中數(shù)學(xué)知識的理論體系中，不等式是其重要組成部分，也是解題的有力工具，因此，每年的高考數(shù)學(xué)都將不等式問題作為重要考點之一，不僅邏輯性強、難度高，而且占分比重大。本文首先分析了不等式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位，接著針對不同類型的不等式問題的解法進行了分析和總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】：高中數(shù)學(xué) 不等式 高考數(shù)學(xué).

一、不等式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位

在高中數(shù)學(xué)理論體系中，不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要組成部分，而不等式問題則貫穿了整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，例如，不等式可以應(yīng)用在函數(shù)問題、三角函數(shù)問題、幾何問題、平面向量問題、數(shù)列問題等[1-2]，不等式問題的考查也集中在上述幾個方面的問題。不等式問題的分析和解答集抽象性、復(fù)雜性、邏輯性為一體，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中較難掌握、較為棘手的問題，通常也出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題當中。同時，在針對不等式問題分析和學(xué)習(xí)的過程中，同學(xué)們不僅可以熟悉不等式問題的基本概念，而且還能培養(yǎng)自身數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想，養(yǎng)成獨立思考的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。因此，熟練掌握高中數(shù)學(xué)各種類型的不等式問題的解法，不僅能夠提高高考數(shù)學(xué)成績，還能夠鍛煉同學(xué)們的動手計算能力和邏輯思考能力，意義重大。

二、高中數(shù)學(xué)不等式問題的類型與其對應(yīng)的解法探索

縱觀近十年的全國各個省份的高考數(shù)學(xué)題目，不難發(fā)現(xiàn)，不等式問題往往很少單獨命題，出題人常常將不等式問題與其他知識點（如：函數(shù)求導(dǎo)、解析幾何、數(shù)列等問題）相結(jié)合，以不等式為解題工具來求定義域、函數(shù)單調(diào)性、未知數(shù)的取值范圍、函數(shù)極值問題函數(shù)最值問題等內(nèi)容[3]。因此，高中數(shù)學(xué)不等式問題的出題方式和考查內(nèi)容主要為一下兩個方面：一是直接考場不等式的相關(guān)內(nèi)容，考查方式較為直接；二是引導(dǎo)學(xué)生以不等式作為工具，對其他重要知識點進行考查，這也是高考數(shù)學(xué)的重要考點。下面本文將列舉不同類型的不等式問題并進行解法探索。

1.不等式的性質(zhì)判斷與應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)主要有[4]：（1）對稱性；（2）傳遞性；（3）乘法單調(diào)性；（4）加法單調(diào)性；（5）同向不等式可加性；（6）同向正值不等式可乘性；（7）正值不等式可乘方；（8）正值不等式可開方；（9）倒數(shù)法則。考查的重要不等式主要有：（1）基本不等式；（2）柯西不等式；（3）絕對值不等式；（4）排序不等式；（5）貝努力利等式等。高考命題人往往將不等式的基本性質(zhì)和重要不等式與其他主干知識點相結(jié)合進行交匯考查。

例題1：下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（ ）.

（A） （B） （C） （D）

分析：此題出自2011年全國卷，主要考查不等式充要條件的判斷，在解題過程中還要運用好同向不等式可加性和正值不等式可乘方等不等式的性質(zhì)，通過逐項驗證可解的答案為（A）。

例題2：若，，則一定有（ ）.

（A） （B） （C） （D）

分析：此題出自2014年四川卷。此題是判斷不等式能否成立。主要考查高中數(shù)學(xué)不等式問題中同向同值不等式的可乘性，在解題過程中要注意同向和同正，因此通過對已知條件的分析，對已知條件進行同解變形，因為，所以，即。又因為，該條件既滿足同向又滿足同正，所以可以由同向同值不等式可得下式：，化簡得，即正確答案為（D）。

例題3：將離心率為的雙曲線的是半軸長和虛半軸長（）同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）

（A）對任意的，， （B）當時，；當時，

（C）對任意的，， （D）當時，；當時，

分析：此題出自2015年湖北省高考題。命題人將不等式的基本性質(zhì)與圓錐曲線相結(jié)合，要想解答這道題，答題者不僅要理解不等式的基本性質(zhì)和圓錐曲線的基本性質(zhì)，還要將兩個不同的知識點相聯(lián)系，是一道典型的不等式問題。

由雙曲線的離心率公式可得：，，因此，在選項中要比較和的大小，等

同于比較和的大小。

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，當時，可得；當時，. 結(jié)合四個選項，可

知正確答案為（D）。

（由解題過程可知，盡管這道高考題看起來非常抽象，同時將圓錐曲線與不等式問題相結(jié)合，增加了解題的復(fù)雜性，但是如果在審題和分析時明確命題人的出題思路，將兩個看似不相關(guān)的考點合理的聯(lián)系起來，解題難度就會大大下降。）

2.不等式的證明問題

在高考數(shù)學(xué)中，不等式的證明常常作為壓軸題出現(xiàn)，可見對學(xué)生的邏輯思考能力和判斷分析能力是個有效的考查。這就要求學(xué)生在解題過程中要學(xué)會通過條件分析問題，通過問題與條件的關(guān)系推導(dǎo)出兩者之間的橋梁，進而進一步求解。

例題4：設(shè)函數(shù)，其中，證明.

證明：由，有

所以.

（此題出自2011年安徽省高考題，是證明絕對值不等式問題，考綱要求學(xué)生要會用比較法、分析法、綜合法等證明絕對值不等式。）

例題5：設(shè)數(shù)列的前n項和為.已知，，.

①求的值；②求數(shù)列的通項公式；③證明：對一切正整數(shù)，有。

證明：①②的解題過程略。

③當時，.當時，. 當時， 而

綜上，對于一切正整數(shù)，有.

（此題為2014年全國高考題。解題方法是常用的縮放法，而這種方法經(jīng)常會運用不等式的性質(zhì)“”，“”或“”，“”對試題中的不等式進行放縮?？梢姡侠磉\用解題方法對提高解題效率幫助很大。）

三、總結(jié)

總之，通過以上幾個例題可以看出，考題的形式和內(nèi)容，以及知識點的考查方式都千變?nèi)f化，近年來不少創(chuàng)新題涌現(xiàn)，不同類型的知識點之間往往會相結(jié)合進行出題。但是，俗話說“萬變不離其宗”，所謂的“宗”，在高中數(shù)學(xué)就是指解題過程中的數(shù)學(xué)思想，雖說命題人出題形式變化莫測難以捉摸，但是其考查的數(shù)學(xué)思想確實亙古不變的，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)一個好的數(shù)學(xué)思想方法，有利于領(lǐng)悟題目所蘊含的數(shù)學(xué)思想，進而提高解題效率，得出分析問題的處理方法。

【參考文獻】

【1】張尹浩.高中數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用及學(xué)習(xí)策略[J].企業(yè)導(dǎo)報，2016（02）：137+3.

【2】張惠淑. 高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究[D].天津師范大學(xué)，2012.

【3】陳超. 高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2016.

【4】李嚴.高中數(shù)學(xué)不等式易錯題型及解題技巧[J].亞太教育，2015（22）：50.

作者簡介：姓名：歐陽昱燾 學(xué)校：長沙市長郡濱江中學(xué) 班級：1606 籍貫：湖南瀏陽 民族：漢 出生年月：2001.01