多角度剖析三角形中值的取舍問(wèn)題

戈晨曦

[摘要] 已知三角函數(shù)值和角的范圍，可以求出其他三角函數(shù)的值，但是有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多解問(wèn)題，這時(shí)就需要我們用學(xué)過(guò)的一些知識(shí)去對(duì)所得解進(jìn)行有效取舍，判斷的手段很多，根據(jù)不同的問(wèn)題可以有不同的取舍方法。

[關(guān)鍵詞] 多角度;三角函數(shù);多解;取舍

三角形中的求值是高考考查的重點(diǎn)，而三角求值中多解的取舍問(wèn)題又是三角函數(shù)中的難點(diǎn)。增解的產(chǎn)生，很多時(shí)候是由于我們對(duì)于條件挖掘不夠，或者由于我們忽視了一些已有的結(jié)論，導(dǎo)致答案出現(xiàn)了增解現(xiàn)象。我們知道，三角函數(shù)值的確定一般需要通過(guò)角的范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)。盡管我們這里研究的是在三角形中的求值，已經(jīng)對(duì)角有了一定的范圍，但可能仍然不足以幫我們確定某些三角函數(shù)值的正負(fù)，這時(shí)我們就需要借助題目條件本身所蘊(yùn)含的知識(shí)去判斷、去取舍。在這里，我們就針對(duì)這種情況舉例，剖析增解產(chǎn)生的原因以及如何能夠舍去增解。

一、三角形中的兩個(gè)角的三角函數(shù)值確定了三角形的固有形狀

[問(wèn)題1]在△ABC中，A，B為三角形的兩個(gè)內(nèi)角，已知sinA -5/13，cosB=4/5，求cos（A+B）的值。

分析：cos（A+ B）= cosAcosB-sinAsin B。由題意已知cosB=4/5，又因?yàn)椤鰽BC中，0

上面的分析對(duì)嗎？如何確定結(jié)果的正負(fù)是擺在我們面前的一個(gè)問(wèn)題，我們可以試著從以下方面來(lái)進(jìn)行判斷：

解法1：分類討論，根據(jù)答案有效取舍

既然不能取舍正負(fù)，那么就分類討論：

這種方法主要是根據(jù)現(xiàn)有的三角函數(shù)值和特殊角的三角函數(shù)值作比較，從而得出角的范圍，再結(jié)合三角形的兩個(gè)內(nèi)角和小于180度，有效地舍去了另外一個(gè)解。在這里需要和大家強(qiáng)調(diào)的是，給定了一個(gè)角的三角函數(shù)值，如果是特殊值，當(dāng)然可以確定角的具體值，如sinA=1/2，為三角形的內(nèi)角，則易得A=π/6或A=5π/6。如果給定的值不是特殊值，如sinA=5/13，為三角形的內(nèi)角，這時(shí)我們雖然不能具體指出A的具體角度，但是角A是確定的一個(gè)或兩個(gè)固定的值。所以在三角函數(shù)中，我們知道了三角函數(shù)的值，再加上這個(gè)角度的范圍，某種程度上就認(rèn)為知道這個(gè)角是已知角，只不過(guò)這個(gè)角不是特殊的罷了。

解法3：利用三角函數(shù)的圖像

sinA=5/13π矛盾，故舍去。

這種方法和上面的解法1有異曲同工之處，但是結(jié)合了三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性，讓人有更加直觀的感覺(jué)。

解法4：利用三角形中的一些定理

由sinB=3/5>sinA=5/13結(jié)合正弦定理可知b>a，又由大邊對(duì)大角可知B>A。所以A必然是銳角，所以cosA=12/13。

此方法巧妙地利用了邊和角之間的轉(zhuǎn)化，把角的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊的長(zhǎng)短問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角的正弦的大小問(wèn)題，非常巧妙。

從上面的四種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題1分析中的錯(cuò)誤主要是由以下幾個(gè)方面造成的：

（1）忽視了三角形中的一些角有度數(shù)的限制，從而忽視了三角形中的三角函數(shù)值也有了一定的限制。如三角形兩角和不超過(guò)180°。

（2）對(duì)于一些三角函數(shù)值在一定范圍內(nèi)的正負(fù)不是非常明確。如正弦值在三角形內(nèi)恒正。

（3）缺乏手段對(duì)三角函數(shù)值的大小和角的大小之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化。如sinB>sinA§b>a§B>A。