基于博弈論-可拓云模型的隧道圍巖穩(wěn)定性評價

王建宗,鄭志學(xué),李長明,蘇 超,徐翠云

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院,北京 100083； 2.北京大學(xué)工學(xué)院,北京 100871； 3.中國石油華北油田分公司勘探開發(fā)研究院,河北任丘 062552)

1 概述

隧道圍巖是指受隧道工程開挖影響范圍內(nèi)的巖體，是圍巖穩(wěn)定性評價的研究對象，對隧道工程的安全性起著重要作用。隨著我國社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展，隧道工程的建設(shè)越來越傾向規(guī)模化，各種地質(zhì)災(zāi)害、安全隱患也隨之發(fā)生，嚴(yán)重影響著國民經(jīng)濟的發(fā)展。在這種背景下，對隧道圍巖穩(wěn)定性進行評價就顯得尤為重要。

目前在實際工程中用于隧道圍巖穩(wěn)定性評價的方法主要分為3類：理論解析法、數(shù)值模擬法和非線性理論應(yīng)用分析。朱大勇、錢七虎[1]應(yīng)用復(fù)變函數(shù)進行圍巖應(yīng)力與位移計算，得到彈性力學(xué)解析逼近解；羅偉[2]通過構(gòu)建斜坡地段淺埋隧道典型破壞模式，采用極限分析上限法，結(jié)合切線法非線形破壞準(zhǔn)則，推導(dǎo)得出隧道圍巖壓力計算公式，對隧道圍巖穩(wěn)定性進行了分析。閆春嶺等[3]，薛光橋[4]運用ANSYS和FLAC等多種數(shù)值模擬軟件，分析隧道圍巖的穩(wěn)定性并取得較好的成果。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，近年來非線性理論逐漸引起國內(nèi)外學(xué)者的高度重視，模糊層次分析法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[6]、灰色歸類模型[7，8]、云模型[9]、高斯過程機器學(xué)習(xí)法[10]、突變理論[11]、集對分析理論[12]、未確知測度理論[13]等取得一定進展。在若干種現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)計算方法中，可拓學(xué)是一種能夠綜合考慮圍巖總體質(zhì)量多指標(biāo)體系的方法，該方法可以將圍巖穩(wěn)定性評價的不確定信息考慮在內(nèi)，將巖體的力學(xué)、結(jié)構(gòu)、地質(zhì)等相關(guān)參數(shù)結(jié)合起來，建立定性與定量評價模型，進行隧道圍巖穩(wěn)定性評價[14]。

可拓學(xué)雖能綜合考慮多指標(biāo)與不相容性信息，但在處理過程中存在兩個較為突出的問題。一是基于物元理論的可拓評價方法將圍巖穩(wěn)定性作為一個確定的數(shù)學(xué)模型進行處理，沒有考慮分類界限值的模糊性與隨機性，使得評價結(jié)果存在一定偏差。李德毅院士提出的云模型是一種能夠兼顧指標(biāo)的模糊性與隨機性的集成評價方法，為可拓理論的改進與完善提供了良好的思路。二是如何合理確定各評價指標(biāo)權(quán)重。目前，國內(nèi)外確定指標(biāo)權(quán)重的方法有很多，主要歸納為主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法，如德爾菲法、G1法、層次分析法、專家調(diào)查法、功效系數(shù)法、熵權(quán)法、變權(quán)理論、標(biāo)準(zhǔn)離差法、變異系數(shù)法等。這些方法在指標(biāo)權(quán)重計算過程中發(fā)揮著重要作用，但仍然存在一些不足，如：主觀賦權(quán)法權(quán)重系數(shù)的準(zhǔn)確性主觀隨意性較強，完全依賴于專家知識和經(jīng)驗的積累；而客觀賦權(quán)法切斷了權(quán)重系數(shù)的主觀性來源，完全根據(jù)評價指標(biāo)原始數(shù)據(jù)，指標(biāo)權(quán)重系數(shù)具有絕對的客觀性。本文運用博弈理論將主觀賦權(quán)法中的G1法和客觀賦權(quán)法中的變權(quán)理論相結(jié)合進行組合賦權(quán)，克服了單一賦權(quán)法結(jié)果容易失真的缺點，在一定程度上既反映決策者主觀信息，又依據(jù)原始數(shù)據(jù)使權(quán)重系數(shù)具有客觀性，能夠使圍巖穩(wěn)定性評價中的指標(biāo)權(quán)重確定更加合理，并將可拓理論與云理論相結(jié)合，建立了隧道圍巖穩(wěn)定性評價的博弈論—可拓云模型。

2 云模型與可拓理論基本原理

2.1 云模型

云模型[15]是由我國學(xué)者李德毅院士在研究概念的模糊性與隨機性問題時提出的一種進行定性定量轉(zhuǎn)換的不確定性數(shù)學(xué)模型，其核心是構(gòu)建云發(fā)生器來實現(xiàn)定性與定量之間的映射，通過期望(Ex)、熵(En)和超熵(He)等數(shù)字特征來表示定量概念。

期望(Ex)，是最能代表概念的點，也是量化的最佳樣本點。

熵(En)，是對概念的不確定性上的量度，以及能被定性概念認(rèn)可的取值區(qū)間。

超熵(He)，是熵的熵，體現(xiàn)了云滴厚度的大小。

2.2 可拓理論

可拓理論是由我國學(xué)者蔡文教授于1983年創(chuàng)立，用形式化方法處理矛盾問題的研究方法，其目標(biāo)是利用計算機幫助人類處理各行各業(yè)的矛盾問題[16]。該方法以物元理論和可拓集合理論為框架，采用形式化工具，從定性和定量兩方面處理多指標(biāo)綜合性評價的不相容問題[17]。

在解決矛盾問題中，可拓理論引入物元的概念，將對象、特征和量值三者有機結(jié)合，記作

R=(M，C，V)

(1)

式中，M為研究對象；C為特征名；V為M關(guān)于C的量值。

同時設(shè)U為論域，u為U中任一元素，即u∈U。若對元素u總有一實數(shù)K(u)∈(-∞，+∞)與之相對應(yīng)，則稱A為U上的一個可拓集合。

A={(u，y)|u∈U，y=K(u)}

(2)

式中，y=K(u)為A的關(guān)聯(lián)函數(shù)；K(u)為u關(guān)于A的關(guān)聯(lián)度。

3 博弈論-可拓云模型計算理論

根據(jù)上述云模型與可拓理論的基本原理，結(jié)合博弈理論，建立基于博弈論組合賦權(quán)的隧道圍巖分級可拓云評價模型，基本流程如圖1所示。

圖1 基于博弈論組合賦權(quán)的隧道圍巖分級可拓云評價的流程

3.1 確定經(jīng)典域、節(jié)域和待評物元

經(jīng)典域的實質(zhì)是由研究對象的特征和量值組成的物元矩陣，記為Rj，在傳統(tǒng)的經(jīng)典域v表示各項指標(biāo)的界限值或測量值，并將其視為確定值，并未考慮其模糊性和隨機性。

本文結(jié)合云理論[15]處理不確定性問題的優(yōu)越性，將v用正態(tài)云(Ex，En，He)代替，則可拓云模型表示為

(3)

式中，Rj為一個物元；Mj為對象的第j個評價類別；Cj為第j個評價指標(biāo)；(Ex，En，He)表示M關(guān)于Cj所規(guī)定的量值區(qū)間。

節(jié)域指評價指標(biāo)的取值范圍，記為Rp，可表示為

(4)

式中，P為各個評價類別的全體；(Ex，En，He)為P關(guān)于Ci的量值區(qū)間，亦即P的節(jié)域。

對待評事物P，即隧道圍巖，將隧道圍巖的數(shù)據(jù)用物元R表示，即可得到待評物元，記為R，可表示為

(5)

式中，(Ex，En，He)為p關(guān)于Ci的量值。

3.2 各評價指標(biāo)關(guān)于各類別等級的正態(tài)云關(guān)聯(lián)度

將隧道圍巖的穩(wěn)定性分級界定為雙約束空間，再通過區(qū)間值與云模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系，計算出隧道圍巖穩(wěn)定性的等級云模型的期望(Ex)、熵(En)、超熵(He)

(6)

(7)

(8)

隧道圍巖穩(wěn)定性分級的正態(tài)云關(guān)聯(lián)度為

u=exp(-(xi-Ex)2/2(Eni′)2)

(9)

3.3 博弈論組合賦權(quán)方法

3.3.1 G1法主觀賦權(quán)

G1法[18]是由我國學(xué)者郭亞軍提出的通過對各指標(biāo)間的重要程度進行排序來確定權(quán)重的一種主觀賦權(quán)法，此方法是對層次分析法(AHP)的改進，無需構(gòu)造判斷矩陣，無需進行一致性檢驗。具體計算步驟參見文獻[18]。

本文確定的各個相鄰指標(biāo)間的權(quán)重標(biāo)度由表1中比例標(biāo)度及含義與評價標(biāo)度ri的對應(yīng)關(guān)系得到。

表1 比例標(biāo)度及含義

3.3.2 變權(quán)理論賦權(quán)

變權(quán)理論[19-20]遵循在決策過程中對每一個因素指標(biāo)權(quán)衡都要隨具體情況不同而不斷進行修改調(diào)整的思想原則，權(quán)重向量隨著因素向量的變化而變化，體現(xiàn)了各評價指標(biāo)的平等均衡性，即

(10)

式中，dimax=max{|vi-aip|，|bip-vi|}；

dimin=min{|vi-aip|，|bip-vi|}。

變權(quán)理論具體計算過程參見文獻[19-20]。

3.3.3 博弈論組合賦權(quán)

權(quán)重確定是決策者綜合主觀判斷和客觀信息的綜合考量，博弈論組合賦權(quán)法將主、客觀賦權(quán)法得到的權(quán)重進行優(yōu)化、融合，從而得到隧道圍巖穩(wěn)定性評價指標(biāo)的綜合權(quán)重，其基本原理為：對于多指標(biāo)評價系統(tǒng)，假設(shè)采用L種方法求得指標(biāo)的權(quán)重，記權(quán)重向量為

wk=(wk1，wk2，…，wkn)， (k=1，2，…，L)

(11)

由此可以得到一個權(quán)重集w，L種權(quán)重向量線性組合為

(12)

為了選擇出最滿意的權(quán)重向量w*，對線性組合系數(shù)αk進行優(yōu)化，同時w與每個wK的離差極小化，由此可得對策模型

(13)

根據(jù)矩陣微分性質(zhì)，可導(dǎo)出式(10)的最優(yōu)化一階導(dǎo)數(shù)條件為

(14)

進而可以求得(α1，α2，αL)，并對其進行歸一化處理，代入式(11)便可得到綜合權(quán)重向量w*。

(15)

(16)

3.4 隧道圍巖穩(wěn)定性等級的評定

Rk=w*×U

(17)

式中，Rk為圍巖穩(wěn)定性評價的綜合關(guān)聯(lián)度；R′為圍巖穩(wěn)定性的等級特征值；U為各指標(biāo)正態(tài)云關(guān)聯(lián)度矩陣；k為隧道圍巖穩(wěn)定性等級，k=1，2，3，4，5。

將R′與等級概念云模型圖對比得出評價結(jié)果，并通過云發(fā)生器計算各等級的概率。通過圍巖等級閾值及式(6)～式(8)可計算出正態(tài)云的數(shù)字特征，進而可得隧道圍巖穩(wěn)定性等級概念云模型圖，如圖2所示。

圖2 隧道圍巖穩(wěn)定性的等級概念云模型

4 實例驗證

4.1 圍巖穩(wěn)定性評價體系構(gòu)建

為驗證基于博弈論-可拓云模型評價方法的正確性和合理性，采用某隧道圍巖測量數(shù)據(jù)進行對比分析。選取實測巖體完整性、單軸抗壓強度、結(jié)構(gòu)面平均間距、結(jié)構(gòu)面狀態(tài)、地下水的發(fā)育程度、地應(yīng)力場大小6個因素作為評價指標(biāo)并采用5級分類，類別分為：極穩(wěn)固Ⅰ，穩(wěn)固Ⅱ，一般穩(wěn)固Ⅲ，不穩(wěn)固Ⅳ，極不穩(wěn)固Ⅴ，并為等級賦予相應(yīng)的閾值[21]。隧道圍巖評價指標(biāo)的實測數(shù)據(jù)和各指標(biāo)分類標(biāo)準(zhǔn)如表2和表3所示。

表2 樣本實測值

表3 隧道圍巖穩(wěn)定性的評價指標(biāo)分類標(biāo)準(zhǔn)

4.2 物元構(gòu)造

利用式(3)、式(4)、式(5)得到經(jīng)典域、節(jié)域和待評物元。

(1)圍巖經(jīng)典域物元

(2)圍巖節(jié)域物元

(3)圍巖待評物元

4.3 確定權(quán)重系數(shù)

運用G1法，依據(jù)相關(guān)資料和專家意見對指標(biāo)體系內(nèi)各指標(biāo)重要性得出關(guān)系u1>u6>u5>u2>u4>u3，進而確定出各指標(biāo)間的相對重要程度r2=1，r3=1.2，r4=1.2，r5=1.4，r6=1.2，根據(jù)博弈論基本原理，可以得出各個指標(biāo)的權(quán)重w1=(0.242，0.104，0.085，0.166，0.22，0.184)，運用變權(quán)理論可得，w21=(0.185，0.156，0.131，0.136，0.163，0.228)，w22=(0.113，0.156，0.197，0.241，0.197，0.095)，w23=(0.197，0.151，0.134，0.161，0.235，0.121)?；诓┺恼摻M合賦權(quán)法，由式(11)～式(16)求得組合權(quán)重為w1*=(0.241，0.101，0.086，0.165，0.219，0.185)，w2*=(0.242，0.104，0.085，0.166，0.220，0.184)，w3*=(0.242，0.103，0.084，0.166，0.219，0.185)。

4.4 樣本各指標(biāo)等級正態(tài)云關(guān)聯(lián)度

以樣本3為例，根據(jù)式(6)～式(9)計算圍巖各指標(biāo)等級正態(tài)云關(guān)聯(lián)度，其結(jié)果如表4所示。

表4 樣本3各指標(biāo)等級正態(tài)云關(guān)聯(lián)度

4.5 樣本圍巖等級綜合關(guān)聯(lián)度

結(jié)合待評指標(biāo)組合權(quán)重可得待評圍巖等級的綜合關(guān)聯(lián)度，結(jié)果如表5所示。

表5 圍巖等級綜合關(guān)聯(lián)度計算結(jié)果

4.6 樣本隧道圍巖穩(wěn)定性評價結(jié)果

根據(jù)式(17)計算樣本1～3圍巖穩(wěn)定性等級特征值，通過云發(fā)生器計算樣本1～3各等級概率，可得樣本圍巖穩(wěn)定性評價結(jié)果如表6所示。將本文建立的博弈論—可拓云評價模型與文獻[22]灰色歸類模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、模糊方法、Q系統(tǒng)法結(jié)果進行對比分析，如表6所示。由表6可知，本文方法的評價結(jié)果與其他方法所得結(jié)果一致，而且本文方法能夠計算評價等級特征值及不同等級的概率，而且還定量給出了所屬等級的概率值，避免了傳統(tǒng)最大隸屬度原則中圍巖始終隸屬于單一等級的弊端，實現(xiàn)了評價結(jié)果的定量化表征，評價結(jié)果更加科學(xué)合理，證明了模型的可靠性。

表6 樣本圍巖穩(wěn)定性評價結(jié)果

5 實例應(yīng)用

為進一步驗證博弈論-可拓云模型對隧道圍巖穩(wěn)定性評價的可行性和合理性，將京廣鐵路衡廣雙線段大瑤山隧道滑石排二號斜井試驗洞段[23](DK1999+100～DK2000+100)作為評價對象，以各評價指標(biāo)實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過博弈論—可拓云模型對其圍巖穩(wěn)定性進行評價。

5.1 工程區(qū)段圍巖概況

DK1999+100～DK2000+100區(qū)段內(nèi)圍巖屬震旦系淺變質(zhì)巖系，由中薄～厚層的中、細粒石英砂巖和中薄層板巖組成，兩者常呈互層狀產(chǎn)出。巖體節(jié)理裂隙中等發(fā)育，巖體Jv值分別為16條/m3(砂巖為主段)、25條/m3(板巖為主段)；RDQ值50%～80%；Kv值分別為0.8～0.9(砂巖段)、0.7～0.75(板巖段)。砂巖Rc=40.0～80.0 MPa。實測地應(yīng)力σ1=13.6 MPa，σ2=5.8 MPa，σ3=4.2 MPa，主應(yīng)力方向基本與主結(jié)構(gòu)面成大角度相交。本段主要結(jié)構(gòu)面為層面節(jié)理及層間錯動或順層發(fā)育的小斷層，其方位與隧道軸線交角50°～70°，傾角55°～80°；結(jié)構(gòu)面平整～波浪狀。砂巖及砂質(zhì)板巖呈潮濕至滴水狀；板巖段，巖體干燥無水，對穩(wěn)定有利。由此可得，各評價指標(biāo)實測數(shù)據(jù)向量為D=(0.41，60.0，0.45，7.40，8.50，11.8)。

5.2 評價結(jié)果

將該工程區(qū)段各指標(biāo)關(guān)聯(lián)度矩陣與各指標(biāo)組合權(quán)重相結(jié)合，可得該工程區(qū)段評價的綜合關(guān)聯(lián)度R=(0.083 8，0.076 9，0.141 8，0.282 2，0.216 3)。根據(jù)式(17)可得，該工程區(qū)段圍巖穩(wěn)定性的等級特征值R′=3.587，即大瑤山隧道工程DK1999+100～DK2000+100區(qū)段的圍巖穩(wěn)定性介于Ⅲ～Ⅳ級之間。并通過云發(fā)生器計算可得，該工程區(qū)段圍巖穩(wěn)定性屬于Ⅲ級的概率為0.38；屬于Ⅳ級的概率為0.62。故由此可得，大瑤山隧道工程DK1999+100～DK2000+100區(qū)段的圍巖穩(wěn)定性介于一般穩(wěn)固～不穩(wěn)固之間，并傾向于不穩(wěn)固。

5.3 結(jié)果分析

結(jié)合該工程區(qū)段圍巖概況及隧道圍巖等級系統(tǒng)特征可知，該區(qū)段圍巖的穩(wěn)定性基本滿足施工要求，圍巖體較為破碎；結(jié)構(gòu)面中等發(fā)育，但與隧道軸線交角較大，裂隙閉合或已充填；地應(yīng)力偏高，但小于巖體抗壓強度；地下水發(fā)育一般，部分巖體濕潤或滴水?？傮w而言，該工程區(qū)段具有一定的自穩(wěn)能力，但考慮到現(xiàn)場施工與管理對圍巖穩(wěn)定性的影響，應(yīng)按Ⅳ級標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的支護方案，對圍巖體采取相應(yīng)的支護措施。

由文獻[23]可知：“本區(qū)段圍巖施工過程中，一般除局部有小坍落外，自穩(wěn)性較好。板巖段由于干燥無水，巖層陡立，擠壓緊密，所以穩(wěn)定性尚好。此外，為防止陡傾斜的巖層發(fā)生傾倒，建議加強邊墻上部的錨桿支護?！辈⒔Y(jié)合該工程區(qū)段隧道圍巖質(zhì)量分級結(jié)果及現(xiàn)場圍巖穩(wěn)定性監(jiān)測情況，可知該模型應(yīng)用于具體的隧道工程圍巖穩(wěn)定性評價是可行的，評價結(jié)果客觀準(zhǔn)確，與工程實際相符。隧道圍巖穩(wěn)定性評價與比較如表7所示。

表7 隧道圍巖穩(wěn)定性評價與比較

6 結(jié)論

(1)可拓評價方法中各評價指標(biāo)的權(quán)重對隧道圍巖穩(wěn)定性評價結(jié)果影響很大，運用博弈論組合賦權(quán)法，克服了傳統(tǒng)賦權(quán)過程中主觀隨意性較強及完全依賴評價指標(biāo)原始數(shù)據(jù)而忽略指標(biāo)本身屬性等缺點，權(quán)重確定更加合理。

(2)傳統(tǒng)可拓評價方法沒有考慮分類界限值的模糊性與隨機性，將云模型與可拓理論相結(jié)合，不僅改進了可拓物元結(jié)構(gòu)，兼顧了指標(biāo)信息的模糊性與隨機性，而且在模型建立過程中避免了觀測數(shù)據(jù)進行歸一化處理造成的信息缺失，使得評價結(jié)果更加科學(xué)合理。

(3)將博弈論、可拓學(xué)、云模型等現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)理論方法應(yīng)用到隧道圍巖穩(wěn)定性評價中，構(gòu)建了隧道圍巖穩(wěn)定性評價模型，不僅得出了實際工程隧道圍巖穩(wěn)定性所屬類別，而且還定量給出了所屬等級的概率值，避免了傳統(tǒng)最大隸屬度原則中圍巖始終隸屬于單一等級的弊端，為隧道圍巖穩(wěn)定性評價提供了切實可行的參考方法。