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    三法并舉,破解立體幾何題

    2017-03-28 05:45:15福建黃清波
    教學考試(高考數學) 2017年1期
    關鍵詞:綜合法二面角四邊形

    福建 黃清波

    (作者單位:福建省南安市國光第二中學)

    三法并舉,破解立體幾何題

    解答立體幾何問題主要有三種方法:綜合法、坐標法和向量法.“三法”的準確定位應該是并舉!即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣,而應具體問題具體分析.本文以2016年高考全國新課標卷Ⅰ理科第18題第(Ⅱ)問的求值問題和2016年高考全國新課標卷Ⅲ理科第19題第(Ⅰ)問的證明為例展開,談談對“三法”的幾點認識,希望對大家今后在立體幾何學習、復習中能夠受到一定啟發(fā).

    【例1】(2016·新課標Ⅰ理·18)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

    (Ⅰ)證明平面ABEF⊥平面EFDC;

    (Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

    解法探究

    本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及二面角等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想,難度適中.對于第(Ⅰ)問由已知易知AF⊥FE,AF⊥FD,得AF⊥平面EFDC,且AF?平面ABEF,所以平面ABEF⊥平面EFDC.本文主要研究第(Ⅱ)問,運用所學知識,從三種不同的視角進行思考.

    1.綜合法

    【分析】根據題意,設法找出二面角的平面角,把問題轉化為常規(guī)二面角的求解.本題所求二面角是一個鈍角,不好直接找,可通過補形,易得該二面角的補角,從而求出該二面角的余弦值.

    【評注】在證明與指數式有關的不等式時,用二項式定理可將指數式轉化成多項式.

    【結語】在利用放縮法證明不等式時,要根據不等式兩邊的特點進行恰當放縮,任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗.

    (作者單位:福建省南安市國光第二中學)

    江西省贛南師范大學科技學院,山東省鄒平縣黃山中學)

    【解法1】由(Ⅰ)知∠DFE=∠CEF=60°,

    因為AB∥EF,AB?平面EFDC,EF?平面EFDC,

    所以AB∥平面EFDC,又AB?平面ABCD.

    又平面ABCD∩平面EFDC=CD,

    所以AB∥CD,所以CD∥EF.

    所以四邊形EFDC為等腰梯形.

    根據該幾何體的特征,將它嵌入以AB為邊長的正方體中,

    如圖,延長DC交正方體的棱于點M,連接BM,

    AB⊥平面BEM,又AB?平面ABCD,

    所以平面ABCD⊥平面BEM.

    又平面ABCD∩平面BEM=BM,

    過點E作EG⊥BM,垂足為G,則EG⊥平面ABDM.

    過點G作GH⊥BC,垂足為H,連接EH.

    ∵EG⊥平面ABCD,

    ∴EG⊥BC.

    ∴BC⊥平面EHG,

    ∴BC⊥EH,

    則∠EHG為所求二面角的補角.

    由△BGH∽△BCM,

    【點評】綜合法是以邏輯推理作為工具解決問題,解題過程中經常要引入輔助線,運用大量的幾何定理公理,對學生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高,在教學過程中,應引導學生優(yōu)先考慮用綜合法解題,嘗試著去處理圖形,即對圖形進行分割、補全、折疊、展開、添加輔助線等,借此不斷提高自己的空間想象能力.

    2.坐標法

    【分析】結合幾何體的特征,直接建立空間直角坐標系E-xyz.然后找出相應點的坐標,套用相關模式,可得以下解法.

    【解法2】由解法1知,四邊形EFDC為等腰梯形.

    以E為原點,如圖,建立空間直角坐標系E-xyz.

    設平面BEC的法向量為m=(x1,y1,z1).

    設平面ABC的法向量為n=(x2,y2,z2).

    設二面角E-BC-A的大小為θ.

    【點評】坐標方法主要是利用向量的相關知識及其運算來解決問題,即用代數的方法解決幾何問題,將數與形完美地結合起來,降低了立體幾何解題的思維難度,解題有一定的規(guī)律性,便于學生掌握.其步驟:①建系;②找點的坐標;③寫出向量坐標;④結合公式進行論證、計算;⑤下結論.不規(guī)則圖形的坐標系的建立較為靈活,但還是有“法”可依,平時教學過程中,應加強不規(guī)則的幾何體中建坐標系的訓練與練習,幫助學生消除心理障礙.另外,建立坐標系后,通常會增加某些點坐標表示的難度,除了作“射影”來求,大多是通過“算”來表示.同時,還應加強表示動點坐標的訓練,如引進參數來表示.

    3.向量法

    【解法3】由解法1知,四邊形EFDC為等腰梯形.

    在△ABC中,過點A作AN⊥BC,垂足N,

    設二面角E-BC-A的大小為θ.

    【點評】向量法是指非坐標向量法,較之坐標法,向量法不需要建系,且運算簡捷、可操作性強,更能體現向量的魅力.但就學生而言,由于向量運算畢竟屬于一種新的運算體系,形式化要求高,總感覺運用時不習慣、不順手.在教學過程中,應幫助學生突破過高形式化帶來的困難,從而讓學生充分感受向量法的優(yōu)美和力量.

    【例2】(2016·新課標Ⅲ理·19)如圖,四棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.

    證明:MN∥平面PAB.(節(jié)選)

    本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及線面角等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.難度適中.

    1.綜合法

    【分析】要證明線面平行,首先想到線面平行的判斷定理,由線線平行得出線面平行,題目出現中點,聯想到要利用中位線的性質,據此思路,可得下列解法.

    又AD∥BC,所以TN∥AM,TN=AM.

    所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN=AT.

    又AT?平面PAB,MN?平面PAB,

    所以MN∥平面PAB.

    【分析】利用面面平行的性質定理,也可得到線面平行,一樣是利用中位線的性質,有下列解法.

    【解法2】取BC的中點T,連接TM,TN,

    又BT=2,且AM∥BC,所以四邊形ABTM是平行四邊形,

    所以TM∥AB,又AB?平面PAB,TM?平面PAB,

    所以TM∥平面PAB.

    由TN∥PB(中位線性質),得TN∥平面PAB.

    所以平面TMN∥平面PAB.

    因為MN?平面TMN,所以MN∥平面PAB.

    2.坐標法

    【分析】結合幾何體的特征,直接建立空間直角坐標系A-xyz.然后找出相應點的坐標,根據問題套用相關模式,可得以下解法.

    【解法3】取BC的中點T,連接AT.

    又MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.

    【解法4】設n=(x,y,z)是平面PAB的一個法向量,

    所以DM∥平面PAB.

    3.向量法

    所以MN∥平面PAB.

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