基于雙層規(guī)劃定價(jià)模型的共享單車(chē)使用價(jià)格的確定

劉鑫 王權(quán) 喬通 周旭

摘要：隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，城市共享單車(chē)因其便捷、便宜和靈活的特點(diǎn)成為越來(lái)越多人的選擇。針對(duì)共享單車(chē)使用價(jià)格的問(wèn)題，首先分析了不同時(shí)空下共享單車(chē)的需求量，通過(guò)使用Logit模型、用戶(hù)平衡分配模型、隨機(jī)平衡分配模型，建立雙層規(guī)劃定價(jià)模型，上層規(guī)劃為共享單車(chē)租賃公司，下層規(guī)劃為出行者。它們?cè)谙嗷サ倪m應(yīng)中會(huì)生成一個(gè)平衡點(diǎn)，從而確定出合理的共享單車(chē)使用價(jià)格。

關(guān)鍵詞：雙層規(guī)劃模型；需求量；共享單車(chē)；平衡點(diǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)：F 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：

1不同時(shí)空下共享單車(chē)的需求量

首先在空間上統(tǒng)計(jì)了不同地域人們對(duì)于共享單車(chē)的租借數(shù)，以上海為例，調(diào)查了15天的共享單車(chē)的日租借數(shù)，由于居民的個(gè)人偏好、所在地的交通狀況等復(fù)雜因素，不同的地域人們對(duì)于共享單車(chē)的需求量不同，城市中心區(qū)共享單車(chē)的需求量[1]最大，郊區(qū)共享單車(chē)的需求量最小[2]。

2基于雙層規(guī)劃定價(jià)模型的共享單車(chē)使用價(jià)格的確定

在共享單車(chē)票價(jià)定價(jià)問(wèn)題中，共享單車(chē)公司的利益和出行者的出行方式是息息相關(guān)的，因此可以用雙層模型制定票價(jià)，其中上層規(guī)劃為共享單車(chē)租賃公司，下層規(guī)劃為出行者。共享單車(chē)租賃公司可以根據(jù)市場(chǎng)變化調(diào)節(jié)共享單車(chē)使用的價(jià)格，而共享單車(chē)使用的價(jià)格變化會(huì)影響出行者選擇出行工具。它們?cè)谙嗷サ倪m應(yīng)中會(huì)生成一個(gè)平衡點(diǎn)，即為城市共享單車(chē)的合理使用價(jià)格[3]。

為了建立雙層規(guī)劃模型，我們會(huì)用到Logit模型、用戶(hù)平衡分配模型以及隨機(jī)平衡分配模型[4]。

2.1 Logit模型具體如下

（1）

其中，Pijr表示選擇出行方式r的情況下從起點(diǎn)i到終點(diǎn)j所對(duì)應(yīng)的分擔(dān)率；η表示待定系數(shù)；Kijr表示選擇出行方式r的情況下從起點(diǎn)i到終點(diǎn)j所對(duì)應(yīng)的交通阻抗。

2.2 用戶(hù)平衡分配模型如下

當(dāng)用戶(hù)在出行時(shí)，會(huì)根據(jù)他們自己不同的需求選擇不同的出行方式，當(dāng)然每個(gè)出行者會(huì)選擇廣義費(fèi)用最小的出行方式。因此，本文假設(shè)每個(gè)出行者相應(yīng)的廣義出行費(fèi)用都是相等的，且不大于未被利用的交通方式的出行費(fèi)用。

本文綜合各種影響出行者選擇出行方式的因素，建立以下模型[4]：

（3）

其中，A（x）為目標(biāo)函數(shù)；xb表示路段b上的交通流量；Lb表示路段b的交通阻抗；Lb（Xb）表示路段b關(guān)于流量的阻抗函數(shù)；fopk表示從起點(diǎn)o到 p間的OD客流量；ξopb，k表示路段-路徑的0-1變量，即假設(shè)路段b為自起點(diǎn)o到終點(diǎn)p的OD間的第k條路徑，那么ξopb，k=1，負(fù)責(zé)ξopb，k=0。

2.3 隨機(jī)平衡分配模型如下

由于相應(yīng)路段的流量是隨著路段的阻抗的變化而變化。所以出行者會(huì)隨機(jī)的選擇對(duì)應(yīng)阻抗最小的路徑來(lái)出行。相應(yīng)的模型如下[5]：

其中 表示在各路段實(shí)際阻抗前提下的感知阻抗的數(shù)學(xué)期望；COP（X）表示（o，p）之間各條路徑的實(shí)際阻抗的向量；Copk表示 （o，p）之間第k條路徑的感知阻抗。

3雙層規(guī)劃模型的建立與求解

本文在出行者以及共享單車(chē)租賃公司的利益為前提下，共享單車(chē)相應(yīng)的票價(jià)收入Ir跟票價(jià)Cr和客流量Qr相關(guān)，具體關(guān)系如下：

（4）

根據(jù)上述Logit模型，對(duì)交通方式的選擇來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的離散選擇分析，具體如下：

（5）

其中，Cijr在交通方式v下從起點(diǎn)i到終點(diǎn)j的票價(jià)；λk為與交通方式v相關(guān)的特征參數(shù)；η是交通方式v下的安全、準(zhǔn)點(diǎn)、舒適等相關(guān)特征； r表示共享單車(chē)方式，v表示其他公共交通方式。

3.1上層規(guī)劃模型

共享單車(chē)租賃公司只考慮最大輸入作為目標(biāo)，具體模型如下：

（6）

其中，I（C）表示共享單車(chē)的收入；Cminr表示政府限制共享單車(chē)的最低票價(jià)；Cmaxr表示政府限制共享單車(chē)的最高票價(jià)；xijr表示共享單車(chē)從起點(diǎn) 到終點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的實(shí)際客流量。

3.2下層規(guī)劃模型

出行者考慮出現(xiàn)出行成本，建立模型如下：

其中， 表示以各路段實(shí)際阻抗為前提下的感知阻抗的相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望；Cop（x）表示（o，p）之間各條路徑的實(shí)際阻抗的向量； Copk表示（o，p）之間第k條路徑的感知阻抗；Lijr（Xijr）表示節(jié)點(diǎn)（i，j）間的流量為自變量的阻抗函數(shù)；fopk表示共享單車(chē)的出發(fā)點(diǎn)o到目的地p的OD間的第k條路徑上的流量；ξopo，b，k表示路段與路徑的相關(guān)變量。

3.3雙層規(guī)劃模型的求解算法

設(shè)定票價(jià)為相應(yīng)的擾動(dòng)參數(shù)，并假設(shè)客流量的相關(guān)影響因素維持恒定，就可以采用靈敏度分析的方法來(lái)進(jìn)行票價(jià)的求解。相關(guān)的用戶(hù)平衡分配模型的變分不等式如下[6]：

（7）

其中， 表示模型的均衡解， 表示阻抗函數(shù)。假設(shè)存在擾動(dòng)參數(shù)C，即 ，則可以轉(zhuǎn)化為：

（8）

在公式（7）中，對(duì)于任意 ，假設(shè)變分不等式（8）在C=C（0）時(shí)的解x*ijr（C（0））是唯一確定的。那么當(dāng)C=C（0）時(shí)，雙層規(guī)劃問(wèn)題的解的必要條件為：

（9）

其中，Cijr表示均衡模型中約束的拉格朗日乘子向量。假設(shè)y（C）=[xijr（C），Cijr（C）]r，用Jc（C）來(lái)代表上兩式對(duì)y（C）的雅可比矩陣，用Jc（C）來(lái)代表上兩式對(duì)C的雅可比矩陣，就可以獲得下式[7]：

（10）

設(shè)定初始單車(chē)使用價(jià)格為 ，假設(shè)i與j之間對(duì)應(yīng)的其他類(lèi)型共享單車(chē)的使用價(jià)格都不變，對(duì)下層規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解，可以得到i與j 的客流量 。然后運(yùn)用靈敏度分析法計(jì)算客流量的變化和單車(chē)使用價(jià)格的相應(yīng)關(guān)系 。因此反映函數(shù)泰勒展開(kāi)式近似表達(dá)式為[8]：

（11）

將公式（11）迭代進(jìn)上層規(guī)劃問(wèn)題中，可得上層規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，然后再求解下層規(guī)劃問(wèn)題，進(jìn)而得到最新的解，并能得到新的近似反應(yīng)函數(shù)。如此反復(fù)跌迭代，最終可得滿(mǎn)意解，具體步驟如下：

（1）假設(shè)共享單車(chē)使用價(jià)格初始值為Cijr（0），設(shè)定精度ξ以及客流量 的值，并令

（2）讓已知 迭代進(jìn)對(duì)應(yīng)的下層問(wèn)題中，并對(duì)下層的客流量分布求解，就能夠獲得一個(gè)均衡解xijr（p）。

（3）運(yùn)用靈敏度分析法獲取多種交通方式前提下的共享單車(chē)客流量對(duì)其使用價(jià)格相應(yīng)的倒數(shù)關(guān)系式，由此可以求出反應(yīng)函數(shù)的近似表達(dá)式。

（4）將步驟（3）中獲得的反應(yīng)函數(shù)的近似表達(dá)式迭代進(jìn)上層規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)并求解，由此可得一組新的共享單車(chē)的票價(jià)yijr（p）。

（5）求解 其中h為迭代步長(zhǎng)。

（6）當(dāng) 時(shí)迭代停止，否則令p=p+1，返回步驟2迭代求解。

4結(jié)論

首先以上海市為例，分析了不同時(shí)空下共享單車(chē)需求量。之后為了設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)的定價(jià)模型，建立了 模型、用戶(hù)平衡分配模型以及隨機(jī)平衡分配模型，從而建立雙層規(guī)劃模型并求解，得出了較為合理的共享單車(chē)使用價(jià)格。