基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)

王建林，郭永奇，魏青軒，孫 橋，胡紅波

(1.北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029；2.中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

在航空航天、機(jī)械電力、地質(zhì)探測(cè)、汽車(chē)工業(yè)等領(lǐng)域廣泛存在振動(dòng)與沖擊，加速度計(jì)作為測(cè)量振動(dòng)與沖擊的慣性傳感器，其動(dòng)態(tài)模型對(duì)研究與分析加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)特性及提高振動(dòng)與沖擊測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)測(cè)量精度具有重要作用。

加速度計(jì)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)是研究其動(dòng)態(tài)模型及動(dòng)態(tài)特性的重要方法，主要有正弦振動(dòng)激勵(lì)校準(zhǔn)和沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)，并已建立了相應(yīng)的國(guó)家基準(zhǔn)和校準(zhǔn)裝置[1-4]。

利用加速度計(jì)的正弦振動(dòng)激勵(lì)校準(zhǔn)和沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型，全面表征加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)特性。加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)以自回歸模型或頻率響應(yīng)函數(shù)為基礎(chǔ)，利用參數(shù)辯識(shí)方法在時(shí)域或頻域?qū)崿F(xiàn)參數(shù)辨識(shí)。俞阿龍[5]利用遺傳算法全局搜索的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了基于遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)，彌補(bǔ)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極值的不足，保留了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)局部搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)；楊子愷等[6]構(gòu)建加速度計(jì)的線(xiàn)性帶外生變量的自回歸滑動(dòng)平均模型，描述了加速度計(jì)的輸入輸出特性及噪聲，采用預(yù)測(cè)誤差法估計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，模型輸出與實(shí)測(cè)加速度計(jì)輸出曲線(xiàn)吻合良好；以上方法直接使用加速度計(jì)輸入輸出數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)參數(shù)辨識(shí)，均為加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)域辨識(shí)方法，這些方法存在參數(shù)辨識(shí)數(shù)據(jù)計(jì)算量大、模型階次較高、易受高頻噪聲干擾等缺點(diǎn)。參數(shù)頻域辨識(shí)方法具有辨識(shí)過(guò)程數(shù)據(jù)計(jì)算量小、不易受高頻噪聲影響等優(yōu)點(diǎn)，已在加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)中得到應(yīng)用。Link等[7]使用加速度計(jì)正弦振動(dòng)激勵(lì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用加權(quán)最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)在頻域辯識(shí)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，并采用Monte Carlo方法評(píng)定了加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)的不確定度；Link等[8]利用加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，采用最小二乘(Least Squares,LS)方法在頻域辨識(shí)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果與絕對(duì)法正弦振動(dòng)激勵(lì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)辨識(shí)結(jié)果比較，具有較好的一致性，該方法被廣泛應(yīng)用于加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)。胡紅波等[9]采用中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院的高g值和低g值的加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)裝置，在頻域應(yīng)用LS方法辯識(shí)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，取得了較好的效果。然而，加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)域或頻域辯識(shí)方法都是以加速度計(jì)二階線(xiàn)性模型為基礎(chǔ)進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，實(shí)際上，沖擊激勵(lì)加速度計(jì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明，由于加速度計(jì)存在的非線(xiàn)性，僅利用二階線(xiàn)性模型不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)沖擊加速度計(jì)的輸出[10]。在加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)中，加速度計(jì)的非線(xiàn)性導(dǎo)致加速度計(jì)二階線(xiàn)性模型參數(shù)為有偏估計(jì)[11]，尤其是當(dāng)加速度計(jì)的非線(xiàn)性較明顯時(shí)，其動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大誤差。支持向量機(jī)(Support Vector Machine,SVM)是由Vapnik等提出的以結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化為準(zhǔn)則的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，對(duì)于小樣本、非線(xiàn)性的建模問(wèn)題具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[12]，適合用于加速度計(jì)的非線(xiàn)性估計(jì)。

針對(duì)加速度計(jì)存在的非線(xiàn)性對(duì)其動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)精度的影響，本文通過(guò)引入非線(xiàn)性項(xiàng)，構(gòu)建加速度計(jì)二階非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型，描述其動(dòng)態(tài)特性；提出了一種基于WLS和SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法，采用WLS辨識(shí)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型中線(xiàn)性部分參數(shù)，并利用SVM估計(jì)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型中非線(xiàn)性特性，通過(guò)反復(fù)迭代，最小化頻域誤差準(zhǔn)則函數(shù)，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)的最優(yōu)辯識(shí)。

1 加速度計(jì)二階非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型

在線(xiàn)性動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)，加速度計(jì)可以簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度“質(zhì)量-彈簧-阻尼”系統(tǒng)，能夠用二階線(xiàn)性模型表征其動(dòng)態(tài)特性，如圖1所示。

彈簧和阻尼器與質(zhì)量塊相連固定于加速度計(jì)底座上，當(dāng)加速度計(jì)隨被測(cè)運(yùn)動(dòng)體發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量塊相對(duì)于加速度計(jì)底座發(fā)生位移，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程為

圖1 單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)Fig.1 The one degree of freedom spring-mass-damper system

(1)

式中：m為質(zhì)量塊質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，c為阻尼器的阻尼系數(shù)，R(t)為質(zhì)量塊相對(duì)于慣性坐標(biāo)系位移，S(t)為加速度計(jì)底座相對(duì)于慣性坐標(biāo)系位移。

(2)

對(duì)式(2)兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，得到加速度計(jì)傳遞函數(shù)

(3)

實(shí)際上加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性存在非線(xiàn)性，其動(dòng)態(tài)模型本質(zhì)上是非線(xiàn)性的，在加速度計(jì)的高精度應(yīng)用場(chǎng)合，加速度計(jì)存在的非線(xiàn)性影響其動(dòng)態(tài)性能。因此，為了準(zhǔn)確地表征加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性，不失一般性，加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型可用二階非線(xiàn)性模型描述，即在式(3)中引入非線(xiàn)性項(xiàng)Δρ(s)，以表征加速度計(jì)的非線(xiàn)性，加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型可以表示為

(4)

令HL和HNL分別表示加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型的線(xiàn)性部分與非線(xiàn)性部分，加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型為

H(s)=HL(s)+HNL(s)

(5)

2 基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)

2.1 加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型線(xiàn)性部分參數(shù)辯識(shí)

(8)

設(shè)加速度計(jì)輸入與輸出數(shù)據(jù)分別為a(n)和x(n)，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換分別為A(jω)和X(jω)，則直接由加速度計(jì)的輸入輸出數(shù)據(jù)，經(jīng)傅里葉變換得到的加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)為

(9)

在加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)中，沖擊激勵(lì)信號(hào)脈寬影響其帶寬，帶寬外的頻域數(shù)據(jù)不確定度較大，而應(yīng)用LS在頻域辯識(shí)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)方法中，頻域數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)值相等，使得模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果不確定度較大，精度較低，激勵(lì)信號(hào)帶寬越小，模型參數(shù)的不確定度越大，精度越低。因此，依據(jù)信噪比確定頻域數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)值，應(yīng)用WLS估計(jì)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型線(xiàn)性部分的參數(shù)，提高動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)精度。

記加速度計(jì)輸入與輸出數(shù)據(jù)的頻域信噪比分別為SNRA和SNRX，且滿(mǎn)足

(10)

定義頻域誤差準(zhǔn)則函數(shù)為

J(μ)=

(11)

2.2 加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型非線(xiàn)性估計(jì)

SVM能夠在高維空間構(gòu)建線(xiàn)性擬合，解決非線(xiàn)性估計(jì)問(wèn)題，本文采用SVM實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型非線(xiàn)性估計(jì)。

選取加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)的頻率區(qū)間[ω1,ωL]，令加速度計(jì)非線(xiàn)性的樣本集為{z,y}，其中

z=(Re(jω1)，…，Re(jωL),Im(jω1)，…，Im(jωL))

y=(Re(HNL(jω1))，…，Re(HNL(jωL)),

Im(HNL(jω1))，…，Im(HNL(jωL)))

(12)

通過(guò)非線(xiàn)性映射：z→φ(z)轉(zhuǎn)換到高維空間，非線(xiàn)性擬合問(wèn)題變換為線(xiàn)性擬合問(wèn)題，即

f(z)=aT·φ(z)+b

(13)

式中，·表示內(nèi)積，a的維數(shù)為高維空間的維數(shù)，b∈R為閾值。

引入松弛變量ξ，ξ≥0，根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問(wèn)題

(14)

其中，C為懲罰系數(shù)。

優(yōu)化問(wèn)題的約束條件為

(15)

式中，ε為精度，C越大表示對(duì)訓(xùn)練誤差大于精度ε的樣本的懲罰越大，ε越小，回歸函數(shù)與輸出的誤差越小，估計(jì)精度越高。

2.3 加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)

在頻域利用WLS實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型線(xiàn)性部分參數(shù)辨識(shí)，利用SVM估計(jì)加速度計(jì)非線(xiàn)性，通過(guò)多次迭代，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)最優(yōu)辨識(shí)。

基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)算法的流程圖如圖2所示。

圖2 基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)算法流程圖Fig.2 Flow chart of parameters identification algorithm of the accelerometer dynamic model using WLS-SVM

基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)算法步驟如下：

步驟1對(duì)加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)輸入與輸出數(shù)據(jù)作傅里葉變換，由式(9)求得加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)H1(jω)；

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB軟件仿真加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)的激勵(lì)與響應(yīng)信號(hào)，其中，沖擊激勵(lì)信號(hào)通過(guò)四階巴特沃斯濾波器產(chǎn)生，截止頻率為10 kHz，采樣頻率為10 MHz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為5×104，定義仿真加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型線(xiàn)性部分HL(s)的參數(shù)分別為δ=0.006 0，ωn=2.700×105rad/s以及ρ=3.200 0×105；根據(jù)加速度計(jì)(型號(hào):XK101S)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析其存在的非線(xiàn)性，令仿真模型的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性接近加速度計(jì)(型號(hào):XK101S)的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性，定義仿真加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型非線(xiàn)性部分為

Δρ(s)=(τs)-0.9

(16)

式中，τ=0.005。仿真的加速度計(jì)沖擊激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)時(shí)域波形如圖3所示，由式(9)求取的加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)如圖4所示。

選取頻率段0～50 kHz，應(yīng)用本文提出的基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法，通過(guò)迭代實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)，并與文獻(xiàn)[8]的方法進(jìn)行比較，文獻(xiàn)[8]中針對(duì)加速度計(jì)二階線(xiàn)性模型，采用雙線(xiàn)性變換得到模型的離散傳遞函數(shù)，進(jìn)而得到頻率響應(yīng)函數(shù)，在頻域利用LS辨識(shí)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，所得模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表1所示。由表1可知，應(yīng)用本文提出的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法所得加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果更接近設(shè)定值，相對(duì)誤差較小，相比于文獻(xiàn)[8]的方法，本文方法克服了非線(xiàn)性對(duì)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的影響，使得δ辨識(shí)精度提高了1.67%，ρ辨識(shí)精度提高了0.12%。

(a) 加速度計(jì)沖擊激勵(lì)信號(hào)

(b) 加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)

(a) 幅頻響應(yīng)

(b) 相頻頻響應(yīng)

表1 仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.1 Results of model parameter identification in simulation experiments

3.2 加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

采用中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院的加速度計(jì)絕對(duì)法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)裝置獲取加速度計(jì)沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。加速度計(jì)絕對(duì)法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)裝置如圖5所示。

(a) 裝置結(jié)構(gòu)圖

(b) 實(shí)物圖

該裝置由高壓倉(cāng)、彈丸、Hopkinson桿、激光干涉儀、PXI采集板卡等組成。加速度計(jì)通過(guò)螺栓固聯(lián)于Hopkinson桿的一端，當(dāng)彈丸以一定速度撞擊Hopkinson桿的另一端，會(huì)在此端面產(chǎn)生近似正弦波的應(yīng)力波，應(yīng)力波沿Hopkinson桿傳播到另一端面，通過(guò)多次反射產(chǎn)生沖擊加速度，利用激光干涉儀測(cè)量Hopkinson桿末端的位移信號(hào)，對(duì)位移信號(hào)作兩次微分處理得到被校加速度計(jì)的沖擊激勵(lì)信號(hào)。加速度計(jì)的輸出經(jīng)過(guò)放大器轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)，PXI采集板卡對(duì)激光干涉儀輸出與加速度計(jì)輸出信號(hào)同步采樣。

利用上述絕對(duì)法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)裝置對(duì)加速度計(jì)(型號(hào):XK101S)進(jìn)行六次絕對(duì)法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，并以100 MHz采樣頻率對(duì)激光干涉儀的輸出信號(hào)與加速度計(jì)輸出的電壓信號(hào)同步采樣，激光干涉儀的輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)解算轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的加速度信號(hào)。六次校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)中，加速度計(jì)輸入輸出信號(hào)前5個(gè)波峰和波谷值如表2所示，重復(fù)性良好。第一次實(shí)驗(yàn)采樣獲得的加速度計(jì)輸入與輸出信號(hào)時(shí)域波形如圖6所示，針對(duì)加速度計(jì)輸入與輸出數(shù)據(jù)，由式(9)求取加速度計(jì)頻率響應(yīng)函數(shù)，結(jié)果如圖7所示，由于受加速度計(jì)非線(xiàn)性影響，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)不符合二階線(xiàn)性模型的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

表2 加速度計(jì)輸入輸出信號(hào)波峰和波谷值Tab.2 Peak and trough data of accelerometer input and output signal

針對(duì)此六次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，分別應(yīng)用文獻(xiàn)[8]方法和本文提出的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法進(jìn)行加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)，辯識(shí)結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可知，對(duì)于固有頻率ωn，兩種方法所得參數(shù)辨識(shí)結(jié)果較為一致，這是由于被校加速度計(jì)非線(xiàn)性對(duì)固有頻率影響不大，而對(duì)于阻尼比δ和轉(zhuǎn)換系數(shù)ρ，兩種方法所得參數(shù)辨識(shí)結(jié)果雖在數(shù)量級(jí)上保持了一致，但由于受非線(xiàn)性的影響，利用文獻(xiàn)[8]方法所得參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差明顯偏大，而本文提出的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法所得參數(shù)辨識(shí)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差較小，具有較高的一致性，表明了基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法受非線(xiàn)性影響較小。

(a) 加速度計(jì)沖擊激勵(lì)信號(hào)

(b) 加速度計(jì)響應(yīng)信號(hào)

(a) 幅頻響應(yīng)

(b) 相頻頻響應(yīng)

表3 校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)辯識(shí)結(jié)果Tab.3 Model parameter of identification in calibration experiments

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于WLS-SVM的加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)方法，在加速度計(jì)線(xiàn)性二階動(dòng)態(tài)模型基礎(chǔ)上，為了準(zhǔn)確地表征加速度計(jì)動(dòng)態(tài)特性存在的非線(xiàn)性，通過(guò)引入非線(xiàn)性項(xiàng)，構(gòu)建加速度計(jì)二階非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)模型，描述其動(dòng)態(tài)特性；分別利用WLS和SVM迭代計(jì)算，在頻域?qū)崿F(xiàn)加速度計(jì)動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)，有效地減小了加速度計(jì)非線(xiàn)性對(duì)其動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辯識(shí)精度的影響，具有較強(qiáng)的抗非線(xiàn)性干擾能力，具有較高的模型參數(shù)辨識(shí)精度。