移動(dòng)諧振荷載作用下曲線軌道鋼軌動(dòng)力響應(yīng)求解方法研究

杜林林，劉維寧，劉衛(wèi)豐，馬龍祥

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

曲線軌道能夠適應(yīng)地形、地物、地質(zhì)等條件的約束，滿足城市軌道交通線路的規(guī)劃設(shè)計(jì)要求[1]。然而列車通過曲線軌道時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)問題卻不容忽視，以北京地鐵為例，曲線軌道處出現(xiàn)了大量的異常波磨，影響車輛運(yùn)行甚至危及行車安全[2]，曲線段列車運(yùn)行引起的地表振動(dòng)響應(yīng)較大[3]。不同于直線軌道，列車在曲線軌道運(yùn)行時(shí)會(huì)引起曲線軌道的平面內(nèi)振動(dòng)以及平面外振動(dòng)，對(duì)于列車運(yùn)行時(shí)的垂向荷載來說，平面外振動(dòng)占主要成分[4-5]，為研究列車通過曲線軌道過程中的輪軌相互作用關(guān)系，應(yīng)首先明確移動(dòng)荷載作用下曲線軌道的動(dòng)力響應(yīng)特性，因此本文首先開展移動(dòng)簡諧荷載作用下曲線軌道彎扭耦合振動(dòng)特性的研究。

針對(duì)曲線梁振動(dòng)特性的研究，姚玲森[6]根據(jù)Vlasov[7]曲線梁平衡方程，采用傅里葉級(jí)數(shù)法求解簡支曲線梁內(nèi)力，通過求解兩個(gè)聯(lián)立的四階微分方程得到曲梁的內(nèi)力和變形。單德山[8]應(yīng)用積分變換法，求解了移動(dòng)荷載作用下簡支曲線梁彎扭耦合振動(dòng)的解析解，并進(jìn)一步研究了高速鐵路曲線梁橋車橋耦合振動(dòng)。宋郁民等[9]運(yùn)用模態(tài)疊加法，通過考慮列車曲線的通過特點(diǎn)及輪軌非線性相互作用，建立了空間列車-橋梁的耦合方程。Yang等[10]通過模態(tài)疊加法，研究了水平曲線簡支梁在豎向力和水平力的共同作用下，曲線梁的彎扭耦合振動(dòng)響應(yīng)。劉維寧等[11]根據(jù)曲線梁的傳遞矩陣，以Duhamel積分為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了移動(dòng)荷載作用下周期性離散支承的曲線Timoshenko梁平面外振動(dòng)響應(yīng)的解析解?？傮w來說，針對(duì)曲線梁振動(dòng)特性的研究相對(duì)較少，而對(duì)于移動(dòng)荷載作用下周期性離散支承的曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)問題仍需作進(jìn)一步的研究。

考慮到軌道結(jié)構(gòu)離散支承的周期性特點(diǎn)，部分學(xué)者采用周期性結(jié)構(gòu)理論對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行分析，如馬龍祥等[12]在Belotserkovskiy[13]的基礎(chǔ)上，采用周期性結(jié)構(gòu)理論給出了直線軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的頻域解析求解方法，具有求解高頻響應(yīng)效率高的優(yōu)勢(shì)。但以往采用此方法的研究多是集中于直線軌道，本文將采用周期性結(jié)構(gòu)理論對(duì)曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的求解方法進(jìn)行研究。

本文利用軌道結(jié)構(gòu)周期性條件，在一個(gè)基本元內(nèi)對(duì)曲線軌道鋼軌動(dòng)力響應(yīng)問題開展研究。通過引入單位移動(dòng)諧振荷載作用下曲線軌道鋼軌的數(shù)學(xué)模態(tài)，得出了曲線軌道鋼軌頻域響應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)。在頻域內(nèi)采用模態(tài)疊加法表示鋼軌的彎曲及扭轉(zhuǎn)變形，進(jìn)而求解得出鋼軌的頻域動(dòng)力響應(yīng)，得到了移動(dòng)荷載作用下曲線軌道平面外彎扭耦合振動(dòng)的響應(yīng)特性。不同于曲線輪-軌動(dòng)態(tài)耦合研究，曲線超高、輪軌間橫向相互作用力及軌底坡等對(duì)輪軌動(dòng)態(tài)相互作用影響較大，本文主要研究移動(dòng)簡諧荷載作用下曲線軌道的振動(dòng)響應(yīng)問題，可以忽略超高、橫向輪軌力、軌底坡等因素的影響，將曲線軌道簡化為周期性離散支承的平面曲線梁。最終，本文將給出移動(dòng)諧振荷載作用下曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的求解方法，該方法具有力學(xué)概念清晰、沒有截?cái)嗾`差、求解效率高等優(yōu)點(diǎn)?；谠摲椒?，本文將對(duì)曲線軌道的動(dòng)力響應(yīng)特性進(jìn)行分析。

1 移動(dòng)諧振荷載作用下周期性結(jié)構(gòu)響應(yīng)特點(diǎn)

周期結(jié)構(gòu)是指在空間上具有周期性的結(jié)構(gòu)，且任意周期范圍可稱作結(jié)構(gòu)的基本元。由于振動(dòng)波在周期結(jié)構(gòu)內(nèi)具有特殊的性質(zhì)，研究人員提出了周期-無限結(jié)構(gòu)理論。無限-周期軌道結(jié)構(gòu)在豎向移動(dòng)諧振荷載作用下，當(dāng)荷載激勵(lì)點(diǎn)移動(dòng)一個(gè)周期長度后，無限-周期軌道結(jié)構(gòu)的受力情況只是荷載隨著時(shí)間的變化增加了一個(gè)相位。本文將曲線軌道映射至圓形軌道結(jié)構(gòu)中，根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的性質(zhì)對(duì)曲線軌道的動(dòng)力特性進(jìn)行分析，如圖1所示。通過求解移動(dòng)諧振荷載沿圓周作用下軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，可得列車在曲線軌道上運(yùn)行引起的軌道彎扭耦合動(dòng)力響應(yīng)[14-15]。

圖1 曲線軌道周期性Fig.1 Periodic property of curved track

1.1 移動(dòng)荷載作用下曲線軌道的周期性

如圖1所示，曲線軌道半徑為R，扣件間距為L，荷載移動(dòng)速度為v，由結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性可知

h(z1,z2,t)=h(z1+L,z2+L,t)

(1)

式中:h(z1,z2,t)為結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，即在z2位置作用豎向的單位脈沖荷載，引起z1處時(shí)刻t的豎向位移響應(yīng)；L為結(jié)構(gòu)的周期長度。

根據(jù)Duhamel定理，曲線軌道任意拾振點(diǎn)z處的豎向位移響應(yīng)為

(2)

(3)

根據(jù)式(1)和式(3)有

u(z+L,t+L/v)=

eiωFL/v·u(z,t)

(4)

至此，可以發(fā)現(xiàn)無限-周期軌道結(jié)構(gòu)在豎向移動(dòng)諧振荷載FeiωFt作用下，當(dāng)荷載激勵(lì)點(diǎn)z=vt(v為荷載移動(dòng)角速度)移動(dòng)一個(gè)周期長度L后，無限-周期軌道結(jié)構(gòu)的受力情況將與時(shí)刻t時(shí)的相仿，只是荷載隨著時(shí)間的變化增加了一個(gè)相位ωFL/v。

對(duì)式(4)關(guān)于時(shí)間t作傅里葉變換，可得周期-無限結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)系在頻域里的表達(dá)

(5)

式中:ω為角頻率；符號(hào)“∧”代表頻域內(nèi)的物理量。

1.2 曲線軌道鋼軌頻域響應(yīng)的模態(tài)疊加法

移動(dòng)諧振荷載作用下鋼軌動(dòng)力響應(yīng)具有如下周期性性質(zhì)

(6)

(7)

結(jié)合式(6)與式(7)，有：

(8)

(9)

式中:Cn(ω,ωF)是傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)；ξn=2πn/L。

(10)

記

(11)

(12)

(13)

式中：Un(ω,ωF)、Φn(ω,ωF)分別為頻域內(nèi)豎向位移、扭轉(zhuǎn)變形各模態(tài)所對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

(14)

(15)

式中:納入考慮的鋼軌模態(tài)數(shù)為2N+1，將其記為NMR，即NMR=2N+1。

根據(jù)周期-無限結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，采用頻域內(nèi)曲線鋼軌的數(shù)學(xué)模態(tài)疊加法，對(duì)移動(dòng)諧振荷載作用下的曲線軌道鋼軌動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行求解。

2 曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)分析

2.1 圓弧曲梁振動(dòng)微分方程推導(dǎo)

在推導(dǎo)曲線梁振動(dòng)微分方程時(shí)，假定曲線梁為等截面的勻質(zhì)梁且曲率半徑為常數(shù)，橫截面具有豎直的對(duì)稱軸；曲線梁形心與剪切中心重合；曲率半徑遠(yuǎn)大于橫截面、梁長和梁寬的尺寸。曲線梁的坐標(biāo)系按照右手螺旋法則規(guī)定，如圖2所示。

圖2 曲線梁坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate of curved beam

自由振動(dòng)下，忽略高階微量，曲線梁的軸向、徑向、垂向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為[18-20]

(16)

(17)

(18)

(19)

式中:ux,uy,uz分別為x,y,z方向上的位移；φz為繞z軸的扭轉(zhuǎn)變形；m為單位長度質(zhì)量；ρ為密度；A為截面面積；Id為截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)；I0為截面極慣性矩；E,G分別為彈性模量和剪切模量；Ix,Iy分別為繞x,y軸的截面慣性矩；Iω為截面扭轉(zhuǎn)翹曲常數(shù)；R為曲線半徑。

由式(16)～(19)可知，式(16)和(17)表示曲梁的軸向及徑向，即平面內(nèi)振動(dòng)微分方程，式(18)和(19)表示曲梁的垂向及扭轉(zhuǎn)，即平面外振動(dòng)微分方程。觀察式(16)～(19)可知，曲線梁平面內(nèi)振動(dòng)與平面外振動(dòng)相互獨(dú)立，且曲梁平面內(nèi)振動(dòng)對(duì)平面外振動(dòng)影響很小，因此，移動(dòng)垂向荷載作用下曲線梁的動(dòng)力響應(yīng)僅考慮平面外振動(dòng)情況。

考慮到曲線軌道半徑遠(yuǎn)大于鋼軌截面尺寸，鋼軌動(dòng)力變形中忽略翹曲Iω=0，移動(dòng)荷載作用下曲線梁彎扭耦合振動(dòng)響應(yīng)為

(20)

(21)

2.2 曲線鋼軌動(dòng)力學(xué)控制方程

將鋼軌簡化為曲線Euler-Bernoulli梁，將扣件簡化為彈簧阻尼支點(diǎn)，此時(shí)軌道簡化為等間距離散點(diǎn)支承的軌道模型，令速度為v、角頻率為ωF的單位諧振荷載eiωFt作用在曲線鋼軌上，如圖3所示。

圖3 移動(dòng)簡諧荷載作用下曲線軌道力學(xué)模型Fig.3 Mechanics model of curved track subjected to harmonic moving loads

此時(shí)鋼軌的控制方程可以寫為

(22)

(23)

對(duì)式(22)、式(23)進(jìn)行傅里葉變換

(24)

(25)

圖4 鋼軌變形及約束示意圖Fig.4 Schematic of constraint of rail

(26)

(27)

對(duì)式(26)、(27)進(jìn)行數(shù)學(xué)整理，則有

Gu=P

(28)

式中:u={U-N,…,U+N,Φ-N,…,Φ+N}T；G為NMR×2階方陣；P為(NMR+NMR)×1階向量，滿足

(29)

在任一角頻率下，解式(28)可得鋼軌的各模態(tài)坐標(biāo)，代入式(14)、(15)即可求得曲線軌道鋼軌基本元內(nèi)任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率的位移響應(yīng)。對(duì)于曲線軌道鋼軌上其它點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)，根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的特性，利用式(5)擴(kuò)展得到，有：

(30)

(31)

3 模型驗(yàn)證及曲線軌道振動(dòng)特性分析

3.1 模型驗(yàn)證

文獻(xiàn)[23]中給出了移動(dòng)諧振荷載作用下離散支承的曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)，并與本文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，以驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性。文獻(xiàn)[23]中的軌道參數(shù)如下：軌道模型長90 m，曲線軌道半徑為20 m，單位長度鋼軌質(zhì)量為60.21 kg/m，鋼軌橫截面面積為7.672×10-3m2，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，截面豎向抗彎慣性矩為3 038.3×10-8m4，截面自由扭轉(zhuǎn)慣性矩，極慣性矩為3 550.6×10-8m4，鋼軌材料損耗因子為0.01?？奂С虚g距為0.6 m，剛度為20 MN/m，阻尼為2×104N·s/m。荷載移動(dòng)速度為20 m/s，荷載幅值為1 N。

由圖5可知，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[23]中的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文計(jì)算模型的正確性。

3.2 曲線軌道振動(dòng)特性分析

為了研究移動(dòng)諧振荷載作用下曲線軌道的動(dòng)力響應(yīng)特性，本節(jié)以地鐵普通整體道床DTVI2扣件軌道為例，研究曲線半徑及荷載移動(dòng)速度對(duì)曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的影響。圖6給出了曲線軌道半徑與扣件間距比值對(duì)垂向、扭轉(zhuǎn)位移響應(yīng)幅值的影響；圖7給出了荷載移動(dòng)速度分別為30 km/h、60 km/h、90 km/h、120 km/h時(shí)的曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)程及頻譜特點(diǎn)。為了對(duì)比采用曲梁模型模擬鋼軌與采用直梁模型模擬曲線鋼軌間的區(qū)別，圖8給出了移動(dòng)速度60 km/h時(shí)，半徑為300的曲梁軌道模型與直梁軌道模型所得動(dòng)力響應(yīng)的對(duì)比結(jié)果。

DTVI2扣件及T60鋼軌參數(shù)見表1，計(jì)算模態(tài)數(shù)取為81。荷載初始位置為0，荷載幅值為1 N，頻率為250 Hz，拾振點(diǎn)在45 m處，曲線半徑為300 m。

(a)激振頻率為0 Hz時(shí)拾振點(diǎn)處位移響應(yīng)

(b)激振頻率為20 Hz時(shí)拾振點(diǎn)處位移響應(yīng)

(a)垂向位移

(b)扭轉(zhuǎn)角位移

(a)時(shí)程

(b)頻譜

(a)垂向位移響應(yīng)

(b)垂向加速度響應(yīng)

圖8 移動(dòng)諧振荷載下曲梁、直梁模擬曲線軌道鋼軌動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比
Fig.8 Comparison of dynamic response of curved track simulated by curved beam and straight beam

表1 DTVI2扣件軌道及T60鋼軌參數(shù)Tab.1 Parameters of track with DTVI2 fasteners and T60 rail

由以上計(jì)算結(jié)果可知：

(1)由圖6可知，垂向單位諧振移動(dòng)荷載作用下，采用曲線梁模型模擬軌道時(shí)，鋼軌垂向位移響應(yīng)幅值隨曲線半徑的增大而變小，當(dāng)半徑與扣件支點(diǎn)間距比值在10以內(nèi)時(shí)，半徑對(duì)鋼軌位移響應(yīng)影響較大，當(dāng)曲線半徑較大時(shí)半徑對(duì)鋼軌位移響應(yīng)的影響較??；鋼軌扭轉(zhuǎn)響應(yīng)幅值隨曲線半徑的增大而變小，曲線半徑對(duì)鋼軌扭轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)的影響較大；

(2)由圖7可知在移動(dòng)諧振荷載作用下，軌道響應(yīng)顯著的頻段位于荷載激勵(lì)頻率附近；由于離散支承的影響，響應(yīng)頻譜在荷載頻率兩側(cè)出現(xiàn)彼此間距為v/L的參數(shù)激勵(lì)；隨著荷載移動(dòng)速度的增加，荷載激勵(lì)頻率附近一個(gè)很窄頻段內(nèi)的位移響應(yīng)將有所減小，但其它大部分頻段內(nèi)的位移響應(yīng)將顯著增大，參數(shù)激勵(lì)受荷載速度變化影響顯著；

(3)隨著荷載移動(dòng)速度的增加，移動(dòng)諧振荷載引起軌道響應(yīng)在時(shí)程上的最大峰值變化不大，但響應(yīng)顯著的持續(xù)時(shí)間將變短。

(4)由圖8可知，曲線軌道半徑為300 m時(shí)，豎向移動(dòng)諧振荷載作用下的鋼軌垂向動(dòng)力響應(yīng)特性與直梁模型基本一致。

4 結(jié) 論

(1)本文將曲線軌道視作周期性軌道結(jié)構(gòu)，在一個(gè)基本元內(nèi)對(duì)鋼軌動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究，通過引入單位移動(dòng)諧振荷載作用時(shí)鋼軌的數(shù)學(xué)模態(tài)，給出了離散支承曲線軌道鋼軌平面外振動(dòng)響應(yīng)的頻域求解方法，該方法具有力學(xué)概念清晰準(zhǔn)確、沒有截?cái)嗾`差、求解高頻響應(yīng)效率高等優(yōu)點(diǎn)。

(2)移動(dòng)諧振荷載作用下，曲線軌道鋼軌動(dòng)力響應(yīng)顯著的頻段位于荷載激勵(lì)頻率附近；隨著速度的增加，荷載頻率附近一個(gè)很窄頻段內(nèi)的位移響應(yīng)有所減小，其它大部分頻段內(nèi)的位移響應(yīng)顯著增大。

(3)隨著速度的增加，荷載引起的鋼軌響應(yīng)時(shí)程峰值變化不大，但響應(yīng)時(shí)間顯著變短；頻域內(nèi)由鋼軌離散支承引起的參數(shù)激勵(lì)受荷載速度變化影響顯著。

(4)對(duì)于普通地鐵曲線軌道來說，采用曲線梁模型模擬曲線軌道鋼軌垂向動(dòng)力響應(yīng)所得結(jié)果與采用直梁模型所得結(jié)果基本一致，可以采用直梁模型近似研究曲線軌道垂向動(dòng)力響應(yīng)；考慮到曲線半徑對(duì)曲線鋼軌扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)有一定程度的影響，對(duì)軌道進(jìn)行精細(xì)化建模分析時(shí)，需采用曲梁模型研究曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)。