基于統(tǒng)計(jì)能量分析原理的聲振耦合模型全局靈敏度分析

蔡延年，于洪亮,，閆 錦，廖建彬，俞萬能

(1.大連海事大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，遼寧 大連 116026；2.集美大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

統(tǒng)計(jì)能量分析法(Statistical Energy Analysis，SEA)是寬頻聲振響應(yīng)預(yù)測與分析的有力工具，廣泛應(yīng)用于船舶、飛機(jī)、汽車等領(lǐng)域。實(shí)際應(yīng)用中需確定模態(tài)密度，內(nèi)損耗因子，耦合損耗因子等SEA基本參數(shù)。這些參數(shù)分別反映子系統(tǒng)存儲(chǔ)能量的能力，子系統(tǒng)的能量耗散能力以及子系統(tǒng)間能量的損耗情況等統(tǒng)計(jì)能量模型特征，共同組成統(tǒng)計(jì)能量分析系統(tǒng)矩陣。其主要確定方式為理論/數(shù)值分析方法[1]、實(shí)驗(yàn)測量方法[2]及理論/數(shù)值/實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法[3]。但上述方法均是對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的近似和逼近，實(shí)現(xiàn)在10-2～10-4數(shù)量級(jí)上的內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子的精確測量十分困難。參數(shù)的測量及估算誤差逐步積累會(huì)擴(kuò)大名義設(shè)計(jì)值與其真實(shí)動(dòng)力學(xué)特性間的偏差，導(dǎo)致模型聲振響應(yīng)結(jié)果的不確定性，從而影響聲振響應(yīng)結(jié)果的精度與可靠性。不僅如此，材料試樣的制造缺陷、邊界條件的選擇等因素同樣會(huì)導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)能量參數(shù)存在一定不確定性。

參數(shù)靈敏度分析是研究模型不同輸入?yún)?shù)的不確定性對(duì)輸出參數(shù)不確定性影響程度的方法[4]。目的在于量化輸出不確定性的來源情況，為減小模型輸出不確定性的最經(jīng)濟(jì)方式提供參考。根據(jù)單獨(dú)或多個(gè)參數(shù)對(duì)模型輸出的影響分為局部靈敏度分析與全局靈敏度分析。前者用于評(píng)價(jià)單一參數(shù)變化引起的模型輸出的變化情況，適用于靈敏度微分方程易推導(dǎo)且影響因素較少的模型；后者在整個(gè)輸入變量的分布空間內(nèi)對(duì)輸入變量對(duì)輸出不確定性的影響進(jìn)行分析，用于評(píng)價(jià)輸入變量的相對(duì)重要程度。目前，國內(nèi)靈敏度分析在統(tǒng)計(jì)能量模型上的應(yīng)用均基于局部靈敏度分析法[5-7]，僅考察單個(gè)參數(shù)變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，考慮多輸入?yún)?shù)的實(shí)際概率分布及目標(biāo)函數(shù)隨整個(gè)參數(shù)空間同時(shí)變化的SEA模型全局靈敏度分析還鮮有見報(bào)。

本文將全局靈敏度分析中的傅里葉幅度靈敏度檢驗(yàn)法(Fourier Amplitude Sensitivity Test,FAST)應(yīng)用于聲腔-結(jié)構(gòu)-聲腔三子系統(tǒng)聲振模型，以噪聲降低量和傳聲損失為目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)靈敏度，量化參數(shù)不確定性對(duì)聲振響應(yīng)結(jié)果不確定性的影響程度，建立其貢獻(xiàn)程度的排序情況，探究不同頻段下影響聲振響應(yīng)的關(guān)鍵參數(shù)。

1 聲腔-結(jié)構(gòu)-聲腔三子系統(tǒng)SEA模型

在不計(jì)及側(cè)向傳聲影響下，以圖1所示的兩個(gè)聲腔被隔板(子系統(tǒng)2)分開的系統(tǒng)為研究對(duì)象。聲腔分為聲源室(子系統(tǒng)1)與接受室(子系統(tǒng)3)，聲源室內(nèi)聲源產(chǎn)生的聲波通過板件子系統(tǒng)傳遞給接收室。板件為鋼材，尺寸為1 m×1 m，聲腔尺寸1 m×1 m×1 m，其中介質(zhì)為空氣，其他模型參數(shù)見表1。考慮子系統(tǒng)2的共振模態(tài)群與非共振模態(tài)群共同作用，物理模型可簡化為圖2的SEA模型。

圖1 聲腔-結(jié)構(gòu)-聲腔模型Fig.1 Cavity-structure-cavity model

圖2 聲腔-結(jié)構(gòu)-聲腔統(tǒng)計(jì)能量分析模型Fig.2 Cavity-structure-cavity SEA model

表1 聲腔-結(jié)構(gòu)-聲腔模型基本參數(shù)Tab.1 Parameters of Cavity-structure-cavity Model

1.1 統(tǒng)計(jì)能量分析功率流平衡方程

統(tǒng)計(jì)能量分析法基于能量守恒原理，將研究對(duì)象分成若干獨(dú)立的子系統(tǒng)，考慮各子系統(tǒng)的功率輸入、能量損耗以及子系統(tǒng)間的耦合能量損耗，建立功率流平衡方程求解子系統(tǒng)的能量，利用其能量與狀態(tài)參數(shù)關(guān)系計(jì)算各子系統(tǒng)的聲振響應(yīng)[8]。如圖2所示的聲腔-結(jié)構(gòu)-聲腔三子系統(tǒng)SEA模型：子系統(tǒng)1接受外界激勵(lì)輸入P1，各子系統(tǒng)間通過耦合連接進(jìn)行能量流動(dòng)，在內(nèi)阻尼及耦合損耗阻尼作用下耗散能量。依據(jù)能量平衡原理建立三子系統(tǒng)功率流平衡方程

(1)

式中:ω=2πf，ηi為子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子，ni為子系統(tǒng)模態(tài)密度，ηij為子系統(tǒng)間的耦合損耗因子，Ei為子系統(tǒng)能量，i，j=1,2,3。

1.2 統(tǒng)計(jì)能量分析參數(shù)

利用統(tǒng)計(jì)能量分析法進(jìn)行聲振響應(yīng)計(jì)算，關(guān)鍵是明確研究對(duì)象的模態(tài)密度、內(nèi)損耗因子、耦合損耗等核心參數(shù)，建立準(zhǔn)確的SEA功率流平衡方程，獲取子系統(tǒng)的能量分布情況。

(1) 模態(tài)密度

模態(tài)密度是指某一頻段內(nèi)子系統(tǒng)單位頻率的模態(tài)數(shù)，表征結(jié)構(gòu)對(duì)于外界激勵(lì)產(chǎn)生共振響應(yīng)能力。聲腔子系統(tǒng)1和3的模態(tài)密度由下式給出[9]

(2)

式中:c為空氣中的聲速；V為聲腔體積；A為聲腔表面積；L為聲腔周長。

當(dāng)結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)2為各向同性均質(zhì)板時(shí)，其模態(tài)密度為[10]

(3)

式中：Ap為表面積；m為面密度；D為彎曲剛度，其表達(dá)式為D=Et3/[12(1-ν2)]，其中E為彈性模量，ν為泊松比。

(2) 臨界頻率

在三子系統(tǒng)SEA模型中，臨界頻率與子系統(tǒng)2的結(jié)構(gòu)聲輻射和隔聲性能聯(lián)系密切，影響最終聲振響應(yīng)結(jié)果。子系統(tǒng)2的臨界頻率為[11]

(4)

(3) 內(nèi)損耗因子

內(nèi)損耗因子是指單位頻率及單位時(shí)間內(nèi)子系統(tǒng)耗散的能量與其平均儲(chǔ)存能量的比值，表明其對(duì)振動(dòng)能量的耗散能力。各子系統(tǒng)內(nèi)損耗因子取值如圖3所示，其中子系統(tǒng)2的損耗因子的名義值由參考文獻(xiàn)[12]給出，聲腔損耗因子由混響時(shí)間求得[13]

(5)

式中:Tcav為混響時(shí)間。

圖3 板件與聲腔損耗因子Fig.3 Damping loss factor of panel and cavity

(4) 耦合損耗因子

耦合損耗因子表征子系統(tǒng)間的耦合程度，其數(shù)值反映子系統(tǒng)間能量流動(dòng)的能力。雖然從圖1直觀上看，聲源室和接收室沒有直接耦合連接，但子系統(tǒng)1通過子系統(tǒng)2的共振模態(tài)群與子系統(tǒng)3傳遞能量。除此之外，子系統(tǒng)1還通過子系統(tǒng)2的非共振模態(tài)群與子系統(tǒng)3建立聯(lián)系(圖2中虛線)。兩類耦合損耗因子取值如圖4所示，其中使用傳遞損耗求解非共振模態(tài)耦合損耗因子η13[14]

(6)

式中:TL13為均質(zhì)板的隔聲量。依據(jù)大量隔聲試驗(yàn)研究獲取無規(guī)則入射條件下隔聲量經(jīng)驗(yàn)公式如下[15]

TL13=18lg(m)+12lg(f)-25

(7)

接收室與聲源室的聲場介質(zhì)相同，板件與兩側(cè)聲腔的耦合損耗因子可由輻射效率求解，隔板與聲場的耦合損耗因子為

(8)

式中:M為板件質(zhì)量;σrad為輻射效率，其表達(dá)式為

(9)

式中:λc為板件臨界頻率下波長，P是板件周長。其中

(10)

(11)

圖4 非共振與共振耦合損耗因子Fig.4 Coupling loss factor of resonance and non-resonance transmission

1.3 目標(biāo)函數(shù)

引入兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，分別為噪聲降低量和傳聲損失。其中聲源室1與接收室3的噪聲級(jí)的差值為噪聲衰減量-NR(Noise Reduction)

(12)

基于雙房間法的隔板傳聲損失-TL(Transmission Loss)由下式給出

(13)

2 全局靈敏度分析

2.1 方差靈敏度分析法

方差靈敏度分析法由Sobol[16]提出，此類方法基于高維模型展開與方差分解，利用方差描述模型輸入變量以及輸出響應(yīng)的不確定性間的關(guān)系，將n維模型響應(yīng)函數(shù)的輸出方差分解成2n-1個(gè)偏方差項(xiàng)，量化每個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)總體方差的貢獻(xiàn)程度以實(shí)現(xiàn)全局靈敏度分析。將模型輸入?yún)?shù)和不同中心頻率分別記為向量x和f，從而SEA三子系統(tǒng)模型簡寫為

y=f(x,f)

(14)

(15)

在f0為常數(shù)、輸入變量相互獨(dú)立、函數(shù)f平方可積且展開式每項(xiàng)均值為0的條件下，展開式所有項(xiàng)每兩項(xiàng)相互正交，且可唯一確定

f0=E(Y)

(16)

fi=E(Y|Xi)-f0

(17)

fij=E(Y|Xi,Xj)-fi-fj-f0

(18)

對(duì)展開式兩邊取方差有

(19)

式中:一階偏方差Vi=Varxi(E-xi(Y|Xi))，-xi含義為除xi的其他所有變量；二階偏方差Vij=Varxij(E-xij(Y|Xi,Xj))-Vi-Vj。標(biāo)準(zhǔn)化即可得到一階靈敏度系數(shù)(主效應(yīng)指標(biāo))

(20)

2.2 傅里葉幅值靈敏度檢驗(yàn)法

傅里葉幅值靈敏度檢驗(yàn)法是全局靈敏度指標(biāo)計(jì)算的典型方法。其基本原理是利用搜索曲線在輸入?yún)?shù)多維空間內(nèi)搜索，將積分由多維轉(zhuǎn)為一維；引入獨(dú)立參數(shù)，對(duì)輸入?yún)?shù)給定單獨(dú)頻率，使目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)楠?dú)立參數(shù)的周期性函數(shù)；利用傅里葉分析獲取模型輸出的方差以及對(duì)應(yīng)輸入?yún)?shù)的主效應(yīng)等全局靈敏度分析衡量指標(biāo)[17]。對(duì)于SEA模型中的輸入?yún)?shù)x=[x1，x2,…,xL]T，歸一化輸入?yún)?shù)并引入獨(dú)立變量s，則輸入?yún)?shù)的變換函數(shù)為

x′(s)j=g|(sinωjs)

(21a)

式中:x′(s)j為輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)xj的歸一化標(biāo)準(zhǔn)量且為變量s的函數(shù)，gj為搜索曲線函數(shù)。ωj為輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)xj的對(duì)應(yīng)振蕩頻率。在gj函數(shù)下，當(dāng)變量s變化時(shí)，所有的輸入?yún)?shù)將在M維空間中沿著一條曲線同時(shí)變化。搜索函數(shù)選用Saltelli等[18]提出的

現(xiàn)在司乘人員只需用手機(jī)掃描二維碼，即可完成路政賠補(bǔ)償款支付，這不僅有效解決了司乘人員因現(xiàn)金零錢不足而不能支付的燃眉之急。同時(shí)也減少了基層工作人員辨別真?zhèn)魏椭脫Q零錢的工作量。節(jié)省了雙方時(shí)間，也大大提高了工作效率和工作質(zhì)量。

(21b)

其中，變量s在[-π,π]內(nèi)變化，φj為[0,2π]間的隨機(jī)相位。

(22)

由于y=f(s，f)是周期為2π的函數(shù)，展開成傅里葉級(jí)數(shù)形式

(23)

式中:b0,bm和cm為傅里葉系數(shù)。其中，E(y)=b0/2，bm和cm的表達(dá)式分別為

(24)

(25)

因此，模型輸出y的方差為

(26)

3 統(tǒng)計(jì)能量聲振模型全局靈敏度分析

3.1 模型參數(shù)

設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為63～8 000 Hz寬頻帶下噪聲降低量與傳聲損失，以聲腔損耗因子、板件損耗因子，共振模態(tài)耦合損耗因子、非共振模態(tài)耦合損耗因子為SEA模型輸入?yún)?shù)，利用FAST法進(jìn)行聲振響應(yīng)模型全局靈敏度分析。每個(gè)頻段下各參數(shù)的名義值由1.2節(jié)求解，不確定度為10%，概率分布為均勻分布，參數(shù)概率分布及不確定度取值情況如表2所示。

表2 SEA模型參數(shù)概率分布及不確定度取值情況表Tab.2 The probability distribution and uncertainty of SEA

3.2 結(jié)果分析

統(tǒng)計(jì)能量分析模型輸入?yún)?shù)的主效應(yīng)是該參數(shù)不確定性對(duì)模型輸出不確定性作用的量化指標(biāo)，表明各個(gè)輸入?yún)?shù)的不確定度傳遞給聲振響應(yīng)結(jié)果不確定度的能力，可用于明確各頻段下各參數(shù)不確定性的貢獻(xiàn)排名。三子系統(tǒng)SEA聲振響應(yīng)模型寬頻帶噪聲衰減量及傳聲損失的主效應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖5、6所示。提取噪聲衰減量的不同頻段下主效應(yīng)指標(biāo)，從圖7可以看出，最主要的參數(shù)為共振傳遞下的聲腔-板件耦合損耗因子，不同頻段下靈敏度值在0.40～0.65間浮動(dòng)，對(duì)聲振響應(yīng)的不確定性影響最大。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于三子系統(tǒng)模型中聲腔間的共振模態(tài)能量流動(dòng)起主導(dǎo)作用，能量耗散能力遠(yuǎn)大于板件損耗因子及非共振模態(tài)損耗阻尼的作用。雖然其數(shù)量級(jí)為10-3，但參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確程度對(duì)聲振響應(yīng)結(jié)果影響巨大。

圖5 噪聲衰減量主效應(yīng)指標(biāo)Fig.5 Main effect of noise reduction

圖6 傳聲損失主效應(yīng)指標(biāo)Fig.6 Main effect of transmission loss

板件內(nèi)損耗因子在63 Hz的低頻段靈敏度值達(dá)0.33，但隨著頻率的上升，其影響能力逐漸下降，并在500 Hz左右被聲腔損耗因子超過。但在臨界頻率2 000 Hz頻段下，x2和x1的靈敏度值出現(xiàn)突變，不再遵循其整體趨勢規(guī)律。原因在于臨界頻率下，“吻合效應(yīng)”使得板件的聲輻射能力大幅提高，板件自身阻尼損耗及共振傳遞耦合損耗對(duì)接收室聲壓級(jí)的影響降低，而子系統(tǒng)3聲腔損耗因子對(duì)聲振響應(yīng)的影響能力提升。

非共振傳遞下的耦合損耗因子僅在低頻段有較低的影響能力，且隨著頻率的升高，其靈敏度值趨于0。在減振降噪設(shè)計(jì)過程中，可忽略其對(duì)聲振響應(yīng)結(jié)果不確定性的影響，達(dá)到簡化設(shè)計(jì)流程，提高求解效率的目的。

(a) 63 Hz(b) 125 Hz

(c) 250 Hz(d) 500 Hz

(e) 1 000 Hz(f) 2 000 Hz

(g) 4 000 Hz(h) 8 000 Hz

圖7 寬頻帶統(tǒng)計(jì)能量模型噪聲衰減量主效應(yīng)指標(biāo)
Fig.7 Broadband main effect of SEA model on noise reduction

4 結(jié) 論

本文采用傅里葉幅值靈敏度檢驗(yàn)法對(duì)三子系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)能量聲振模型進(jìn)行寬頻全局靈敏度分析，得到一些對(duì)基于統(tǒng)計(jì)能量分析原理的聲振響應(yīng)計(jì)算與減振降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)有參考價(jià)值的結(jié)論：

(1) 寬頻帶內(nèi)共振傳遞下的耦合損耗因子對(duì)目標(biāo)函數(shù)的聲振響應(yīng)結(jié)果影響最大，是輸出函數(shù)不確定性的最重要影響參數(shù)。

(2) 非共振傳遞下的耦合損耗因子僅在低頻范圍內(nèi)存在一定影響能力，在減振降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，可忽略其不確定性對(duì)聲振響應(yīng)結(jié)果不確定性的影響。

(3) 吻合效應(yīng)改變臨界頻率下各參數(shù)的靈敏度指標(biāo)分布情況。板件自身阻尼損耗不確定性對(duì)聲振響應(yīng)結(jié)果不確定性的影響能力下降,而聲腔損耗因子的影響能力提升。