非對(duì)稱類聲學(xué)超材料的低頻寬帶吸聲特性

牛嘉敏，吳九匯

(1.西安交通大學(xué) 理學(xué)院，西安 710049；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

劉正猷等[1]局域共振聲子結(jié)構(gòu)的概念，拉開(kāi)了聲子晶體的研究序幕。梅軍等[2-3]采用柔軟膜類和小質(zhì)量塊的結(jié)構(gòu)構(gòu)建了一種薄膜型聲學(xué)超材料，在100～1 000 Hz有著良好的隔聲量。Naify等[4]提出的膜類聲學(xué)超材料，在100～1 000 Hz打破了隔聲質(zhì)量定理的預(yù)測(cè)，而且可以通過(guò)調(diào)節(jié)共振質(zhì)量塊的大小來(lái)改變隔聲量峰值。 Yang等[5]也得到了相似的聲學(xué)超材料，在不同的薄膜厚度和面密度下均有較好隔聲量。以上研究?jī)H針對(duì)反射型膜類聲學(xué)超材料，并以隔聲量為衡量指標(biāo)，但沒(méi)有考慮膜類聲學(xué)超材料的吸聲特性。梅軍等[6]提出了“暗”聲學(xué)超材料，通過(guò)在薄膜上鑲嵌新的金屬片，可在低頻區(qū)域100～1 000 Hz有效地吸收低頻聲波，從而展開(kāi)了對(duì)吸收型膜類超材料的研究。Chen等[7]通過(guò)數(shù)值仿真和理論計(jì)算修正了吸收型膜類聲學(xué)超材料模型。吳九匯等[8-9]設(shè)計(jì)了新型螺旋局域共振單元聲學(xué)超材料，其在250 Hz以下的低頻范圍具有較寬的振動(dòng)帶隙，最低帶隙頻率能夠低至42 Hz，但此聲學(xué)超材料的應(yīng)用受重量的限制，而且在一些需要密封的場(chǎng)合不太適用。大量的理論和試驗(yàn)研究都說(shuō)明聲學(xué)超材料具有非常豐富的聲學(xué)特性，尤其膜類聲學(xué)超材料所具有的“負(fù)等效質(zhì)量密度”，使薄膜材料在吸聲方面具有潛在的應(yīng)用前景。而且薄膜材料具有便于清潔、防火、防銹蝕且可運(yùn)用于惡劣環(huán)境等優(yōu)勢(shì)，也可用于創(chuàng)造性的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，易于裝配。

但在處理低頻問(wèn)題時(shí)，膜類聲學(xué)超材料雖然有著良好的低頻特性，共振頻率的降低是以犧牲共振帶寬為代價(jià)的[10]，梅軍等提出的吸收型膜類聲學(xué)超材料在中頻段內(nèi)有一個(gè)寬頻吸聲，但低頻段只有一個(gè)較窄的帶寬。怎樣在保證低頻吸聲特性的同時(shí)，讓結(jié)構(gòu)也能具有一個(gè)寬頻的特性，是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。本文在參考相關(guān)學(xué)者的基礎(chǔ)上，以非對(duì)稱吸收型膜類聲學(xué)超材料為研究對(duì)象，研究其非對(duì)稱性對(duì)整體吸聲性能的影響，并從膜類聲學(xué)超材料的等效質(zhì)量密度和彈性應(yīng)變能兩方面詳細(xì)探討其吸聲機(jī)理，找出非對(duì)稱性對(duì)吸聲系數(shù)的影響規(guī)律，以此設(shè)計(jì)了一種寬頻的吸聲結(jié)構(gòu)，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到低頻、寬頻的吸聲效果。

1 比較非對(duì)稱和對(duì)稱膜類聲學(xué)超材料的吸聲性能

參考梅軍等對(duì)于膜類(暗)聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)的研究，采用有限元軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行吸聲性能數(shù)值計(jì)算。本次數(shù)值仿真的結(jié)構(gòu)單元為一塊厚度h=0.2 mm、長(zhǎng)Lx=31 mm、寬Ly=15 mm的硅膠薄膜：密度ρ1=980 kg/m3、泊松比μ=0.48、楊氏模量E=1.9×106+iω(7.89×102) Pa，其中實(shí)部E1為薄膜的儲(chǔ)能模量，它與儲(chǔ)存在薄膜中的彈性勢(shì)能有關(guān)，虛部E2為損耗模量，與耗散在材料中的能量有關(guān)，該彈性模量可以表示為復(fù)模量的形式

E(iω)=E1(ω)+iE2(ω)=E1(ω)(1+iβ(ω))

(1)

其中β(ω)=4.2×10-4s。附著在薄膜表面的兩塊半圓鐵片，四周為固定約束，上下兩側(cè)均定義為空氣介質(zhì)：ρ2=1.225 kg/m3，c=340 m/s。薄膜的初始預(yù)應(yīng)力為σx=σy=2.2×105Pa。該結(jié)構(gòu)吸聲系數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖1的黑色曲線所示。這和Chen等仿真的結(jié)果是一致的，校驗(yàn)了數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性。從圖1(a)可知，該結(jié)構(gòu)第一個(gè)吸聲峰值頻率a處對(duì)應(yīng)的振型為質(zhì)量塊帶動(dòng)薄膜的上下振動(dòng)，大量的能量消耗在質(zhì)量塊的外邊緣處，第二個(gè)吸聲峰值頻率b對(duì)應(yīng)的振型為質(zhì)量塊的扭振，第三個(gè)峰值頻率d對(duì)應(yīng)中間薄膜的振動(dòng)，能量消耗在質(zhì)量塊的內(nèi)邊緣和固定邊界處。三個(gè)共振模態(tài)的存在導(dǎo)致了該類型吸聲材料擁有著良好的低頻吸聲特性，但可以看出僅在峰值頻率處才存在著良好吸聲性能，其他頻率會(huì)出現(xiàn)低谷，導(dǎo)致噪聲很難完全吸收。在此基礎(chǔ)上開(kāi)展非對(duì)稱膜類聲學(xué)超材料的寬頻吸聲性能研究。

對(duì)稱結(jié)構(gòu)的吸聲帶寬較窄，針對(duì)該類型的膜類聲學(xué)超材料，重新分布兩個(gè)共振塊的質(zhì)量。如圖1(c)的單元結(jié)構(gòu)f所示，其中一塊質(zhì)量塊密度為鐵片密度ρⅠ=7 870 kg/m3，另一塊鎂合金的密度ρⅡ=1 000 kg/m3。在COMSOL吸聲系數(shù)模塊下其計(jì)算結(jié)果如圖1所示。圖1(c)中：a，b，c，d，e分別代表每一吸聲峰值頻率處的振動(dòng)模式。

(a) 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的振型圖

(b) 兩種結(jié)構(gòu)吸聲系數(shù)對(duì)比圖

(c) 非對(duì)稱結(jié)構(gòu)振型圖

從圖1(b)可知，對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在頻率的激勵(lì)下只能產(chǎn)生左右相互對(duì)稱的振型，吸聲峰值僅對(duì)應(yīng)于a,b,d三個(gè)頻率處；而對(duì)于非對(duì)稱結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，其整體吸聲性能相比對(duì)稱機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)整體提高了。本次仿真中，采取模型為在原來(lái)基礎(chǔ)上，改變其左右兩塊質(zhì)量塊的對(duì)稱性而得?？梢钥闯觯菍?duì)稱結(jié)構(gòu)的整體吸聲性能相比于對(duì)稱結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)整體提高了，在保留對(duì)稱結(jié)構(gòu)中頻率a,b和d對(duì)應(yīng)的吸聲性能外，還增加了頻率c和e對(duì)應(yīng)的吸聲峰值。從相應(yīng)的振型可以看出，d模式對(duì)應(yīng)的吸聲系數(shù)主要是由中間薄膜的振動(dòng)引起的，只和膜振動(dòng)的面積大小有關(guān)，因此對(duì)稱和不對(duì)稱結(jié)構(gòu)在這個(gè)頻率處非常相似，而此時(shí)非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的峰值高于對(duì)稱結(jié)構(gòu)是因?yàn)榍罢咴谡駝?dòng)中還夾雜了質(zhì)量塊Ⅱ的Z方向振動(dòng)，吸收了部分聲能。頻率a和b對(duì)應(yīng)質(zhì)量塊Ⅰ的Z向振動(dòng)和扭振；頻率c和e對(duì)應(yīng)質(zhì)量塊Ⅱ的Z向振動(dòng)和扭振。在非對(duì)稱模式下，結(jié)構(gòu)整體的吸聲性能得到了極大的提高，吸聲帶寬從原來(lái)的窄頻帶擴(kuò)大為寬頻帶。

2 非對(duì)稱膜類聲學(xué)超材料的吸聲原理

2.1 非對(duì)稱超材料的等效質(zhì)量密度

首先來(lái)看該膜類聲學(xué)超材料的等效質(zhì)量密度。對(duì)于該類型的膜類聲學(xué)超材料，可以等效為簡(jiǎn)單的彈簧振子系統(tǒng)，其等效質(zhì)量可以表示為

(2)

整個(gè)薄膜質(zhì)量塊系統(tǒng)的有效質(zhì)量密度ρeff可以通過(guò)COMSOL計(jì)算出來(lái)，根據(jù)文獻(xiàn)[2]有效質(zhì)量密度定義為整個(gè)薄膜和質(zhì)量塊系統(tǒng)的平均壓力除以整個(gè)域的平均加速度(兩者都是Z方向的)。從圖2可知，在非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的第一個(gè)吸聲峰值處，其有效質(zhì)量密度為零，這時(shí)當(dāng)結(jié)構(gòu)受力時(shí)，必然會(huì)產(chǎn)生一個(gè)很大的加速度，此時(shí)薄膜質(zhì)量塊處于共振狀態(tài)，邊界處的彈性應(yīng)變能比較大，能量的耗散必然也大，因此會(huì)出現(xiàn)吸聲峰值。在第一個(gè)峰值右邊，出現(xiàn)了有效質(zhì)量密度由正無(wú)窮大突變?yōu)樨?fù)無(wú)窮大的情況，從動(dòng)力學(xué)的響應(yīng)來(lái)說(shuō)，一個(gè)質(zhì)量為無(wú)窮大的物體在一個(gè)力的作用下，其加速度必然無(wú)限趨近于零，此時(shí)結(jié)構(gòu)本身在諧振子的作用下會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相反方向的作用力，最終使得結(jié)構(gòu)基本保持靜止，彈性能較小，所以吸聲峰值必然很低?？梢钥闯?，等效質(zhì)量密度曲線每次經(jīng)過(guò)零點(diǎn)的頻率(共有5個(gè)零點(diǎn)頻率)都對(duì)應(yīng)于吸聲系數(shù)的峰值(共有5個(gè)峰值)。

圖2 非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度Fig.2 Equivalent mass density of the asymmetric structure

2.2 非對(duì)稱超材料的彈性應(yīng)變能

從應(yīng)變能的角度來(lái)進(jìn)一步探討該非對(duì)稱結(jié)構(gòu)聲學(xué)超材料的能量耗散過(guò)程。根據(jù)薄板彎曲的直線法假設(shè)，平面薄板彎曲時(shí)的應(yīng)變能為

Qε=1/2 ?(σxεx+σyεy+τxyγxy)dxdydz

(3)

考慮到薄膜是一種柔性材料，在外力下會(huì)產(chǎn)生有限的變形，此時(shí)薄膜的位移分量和其偏導(dǎo)數(shù)不能忽略，可以采用拉格朗日法來(lái)具體描述物體的變形問(wèn)題[11]，相應(yīng)的應(yīng)變位移關(guān)系和應(yīng)力應(yīng)變?nèi)缡?4)和式(5)所示，其中εz=γyz=γxz=0。

(4)

(5)

根據(jù)薄板彎曲的應(yīng)變能表達(dá)式Qε，并將坐標(biāo)z從-h/2到h/2進(jìn)行積分可以得到

(6)

對(duì)于四周固定的矩形薄板，利用斯托克斯公式推導(dǎo)可以得到

(7)

將式(7)代入式(6)，即得

(8)

從式(8)可知，在預(yù)應(yīng)力的作用下，薄膜的等效彎曲剛度調(diào)整為

(9)

梅軍等指出，該膜類聲學(xué)超材料的w一階導(dǎo)數(shù)在鐵片邊界處不連續(xù)，從而導(dǎo)致了在這些邊界處Qε的數(shù)值會(huì)很大，彈性薄膜的耗散能量與薄膜整體的彈性應(yīng)變能成正比，因此在每一處彈性應(yīng)變能峰值處都對(duì)應(yīng)吸聲系數(shù)的峰值，從圖3可知，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的吸聲系數(shù)峰值頻率和彈性應(yīng)變能的峰值頻率一一對(duì)應(yīng)。利用COMSOL軟件可以直接提取計(jì)算結(jié)果中薄膜質(zhì)量塊系統(tǒng)的整體彈性應(yīng)變能，如圖3所示。相較于對(duì)稱結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，非對(duì)稱相對(duì)對(duì)稱聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能整體數(shù)值<340 Hz時(shí)它們基本吻合，在>340 Hz時(shí)有較大地提高。

圖3 非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能和吸聲曲線Fig.3 Elastic strain energy and absorption curve of asymmetric structure

由圖3可知，圖示兩種結(jié)構(gòu)的第一個(gè)峰值和第二個(gè)峰值，不管是應(yīng)變能的幅值還是峰值頻率，它們的差異都非常小，即對(duì)稱結(jié)構(gòu)和非對(duì)稱結(jié)構(gòu)在這兩個(gè)頻率處的總彈性應(yīng)變能是基本相同的，從上一節(jié)也可以看出雖然兩者前兩階振型不一樣，但也依舊具有相同的吸聲系數(shù)，也說(shuō)明了前兩個(gè)吸聲峰值主要受質(zhì)量塊Ⅰ的調(diào)控，另一方面，從對(duì)稱結(jié)構(gòu)的一階振型可以看出雖然兩質(zhì)量塊都在振動(dòng)，但由于振動(dòng)的對(duì)稱性也帶動(dòng)了中間薄膜跟隨運(yùn)動(dòng)，應(yīng)變能大部分分布在半圓鐵片的外邊緣，內(nèi)邊緣基本沒(méi)有應(yīng)變，而非對(duì)稱結(jié)構(gòu)雖然只有質(zhì)量塊Ⅰ在振動(dòng)，質(zhì)量塊Ⅱ卻基本靜止，此時(shí)大部分的應(yīng)變能就分布在質(zhì)量塊Ⅰ的外邊緣與內(nèi)邊緣處，因此對(duì)稱結(jié)構(gòu)和非對(duì)稱結(jié)構(gòu)在此頻率處具有相似的應(yīng)變能和吸聲系數(shù)；隨著頻率的升高，質(zhì)量塊Ⅱ在聲波的激勵(lì)下達(dá)到其共振頻率，在第3個(gè)峰值頻率處產(chǎn)生了較大的應(yīng)變能，因此吸聲系數(shù)也在這個(gè)頻率處達(dá)到了峰值，同樣第5個(gè)應(yīng)變能峰值也對(duì)應(yīng)著質(zhì)量塊Ⅱ的扭振；第4個(gè)峰值處，對(duì)稱結(jié)構(gòu)和非對(duì)稱結(jié)構(gòu)在峰值頻率上相差不大，只是幅值產(chǎn)生了變化，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能峰值大于對(duì)稱結(jié)構(gòu)的，這從振型圖中也可以解釋，振型d在對(duì)稱結(jié)構(gòu)下只是中間膜的振動(dòng)，相應(yīng)的應(yīng)變能集中在質(zhì)量塊的內(nèi)邊緣，在非對(duì)稱結(jié)構(gòu)下振型即包括中間薄膜的振動(dòng)，也包括質(zhì)量塊Ⅱ的伴隨振動(dòng)，應(yīng)變能除了分布在兩質(zhì)量塊的內(nèi)邊緣之外，也分布在質(zhì)量塊Ⅱ的外邊緣，因此在此頻率處，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)變能是高于對(duì)稱結(jié)構(gòu)的。整體來(lái)說(shuō)在非對(duì)稱模式的影響下，結(jié)構(gòu)的總彈性應(yīng)變能在全頻段內(nèi)高于對(duì)稱模式的應(yīng)變能，這也吸聲系數(shù)差異比較明顯的原因之一。

3 非對(duì)稱性聲學(xué)超結(jié)構(gòu)的寬頻吸聲影響規(guī)律

3.1 膜類聲學(xué)超材料非對(duì)稱性的影響規(guī)律

研究膜類聲學(xué)超材料左右不對(duì)稱的程度對(duì)其吸聲系數(shù)的影響規(guī)律，先定義一個(gè)變量密度比例因子μ=ρ2/ρ1，其中ρ1為第一塊即左邊質(zhì)量塊，ρ2為第二塊即右邊質(zhì)量塊密度。在COMSOL軟件中可以計(jì)算出，隨著密度比μ的改變吸聲系數(shù)的變化趨勢(shì)，如圖4所示。選取了具有代表性的μ=0.1，0.3，0.5和1.5作為參考。可以看出，隨著密度比的改變，其中有三個(gè)峰值頻率處是不改變的，分別是對(duì)稱結(jié)構(gòu)下的三個(gè)峰值頻率處a，b和d，這說(shuō)明前兩個(gè)峰值主要受第一塊質(zhì)量塊調(diào)節(jié)；其余兩個(gè)峰值頻率隨著密度比改變而改變，并表現(xiàn)為一定的規(guī)律，如圖5所示。質(zhì)量塊Ⅱ的一階和二階峰值頻率擬合后基本呈現(xiàn)式(10)的規(guī)律。

(10)

式中：M為第二塊質(zhì)量塊的質(zhì)量；這也說(shuō)明了這兩個(gè)峰值主要受第二塊質(zhì)量塊的調(diào)節(jié)。我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)不對(duì)稱比例來(lái)達(dá)到相應(yīng)的低頻、寬頻要求。

圖4 密度比μ改變對(duì)吸聲系數(shù)的影響Fig.4 The influence of density ratio μ change on the sound absorption coefficient

圖5 一、二階峰值頻率隨密度比μ的變化規(guī)律Fig.5 First and second order peak frequency changing with the density ratio μ

非對(duì)稱性對(duì)于膜類聲學(xué)超材料的吸聲系數(shù)有著比較大的提高，但在實(shí)踐中密度比μ的改變很難實(shí)現(xiàn)。質(zhì)量m=ρV，我們可以通過(guò)質(zhì)量塊的厚度改變質(zhì)量塊體積，從而達(dá)到改變質(zhì)量的目的，圖6所示為質(zhì)量塊Ⅱ的一、二階吸聲峰值隨厚度比γ的變化規(guī)律，和圖5的密度比改變具有相似的變化趨勢(shì)，通過(guò)調(diào)節(jié)質(zhì)量塊厚度可以實(shí)現(xiàn)整體吸聲系數(shù)的調(diào)節(jié)。

圖6 質(zhì)量塊Ⅱ的一階和二階峰值頻率隨厚度比μ的變化規(guī)律Fig.6 First and second order peak frequency of mass block Ⅱ changing with the thickness ratio μ

3.2 非對(duì)稱型超材料的低頻寬帶吸聲

根據(jù)上一節(jié)質(zhì)量塊Ⅱ的一階和二階峰值頻率隨密度比μ的變化規(guī)律，我們?cè)O(shè)計(jì)了以下的結(jié)構(gòu)，如圖7所示。該結(jié)構(gòu)由四個(gè)相同大小的單元組成，每個(gè)單元有兩個(gè)不同的質(zhì)量塊，其中ρⅠ=7 870 kg/m3；ρⅡ=7 000 kg/m3；ρⅢ=6 000 kg/m3；ρⅣ=5 000 kg/m3；ρⅤ=4 000 kg/m3；ρⅥ=3 000 kg/m3；ρⅦ=2 000 kg/m3；ρⅧ=1 000 kg/m3。

圖7 寬頻吸聲結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7 The diagram of broadband acoustic structure

本次仿真中改變密度來(lái)實(shí)現(xiàn)寬頻吸聲，實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)改變質(zhì)量塊厚度來(lái)實(shí)現(xiàn)。模型中每個(gè)單元四周都采用固定約束的方式，營(yíng)造一個(gè)完全封閉的系統(tǒng)，實(shí)際中采用絕對(duì)硬邊界，邊框及中間位置采用玻璃鋼等較硬材料實(shí)現(xiàn)，以保證質(zhì)量塊共振時(shí)互不影響。

該類型寬頻結(jié)構(gòu)的吸聲性能如圖8所示，并對(duì)比圖1的對(duì)稱結(jié)構(gòu)吸聲性能?？梢钥闯鰞H僅采用0.2 mm厚的薄膜和8塊質(zhì)量互不相等不同材料的質(zhì)量塊，就能實(shí)現(xiàn)用小尺寸結(jié)構(gòu)達(dá)到低頻段的吸聲特性，根據(jù)物理結(jié)構(gòu)，每個(gè)質(zhì)量塊的不同頻率性質(zhì)，實(shí)際中每個(gè)質(zhì)量塊是并聯(lián)的。并且更重要的是在整個(gè)低頻段內(nèi)(195～700 Hz)都具有一個(gè)很高的吸聲系數(shù)。即實(shí)現(xiàn)了低頻的需求，也解決了寬頻的難點(diǎn)問(wèn)題，一舉兩得。該類型非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的聲學(xué)超材料利用其不對(duì)稱性造成的多個(gè)共振模式，從而拓寬了低頻段內(nèi)的吸聲效果。

圖8 非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的寬頻吸聲性能Fig.8 The broadband sound absorption performance of asymmetric structure

4 結(jié) 論

在參考相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，以吸收型膜類聲學(xué)超材料為研究對(duì)象，研究了共振質(zhì)量塊的非對(duì)稱性對(duì)結(jié)構(gòu)低頻、寬頻吸聲性能的影響，并得出了以下結(jié)論：

(1) 首先從通過(guò)COMSOL的聲固耦合模塊對(duì)非對(duì)稱聲學(xué)超材料進(jìn)行了吸聲系數(shù)的數(shù)值計(jì)算，在非對(duì)稱模式下，結(jié)構(gòu)整體的吸聲性能得到了極大的提高，吸聲帶寬從原來(lái)的窄頻擴(kuò)大為寬頻。

(2) 針對(duì)非對(duì)稱聲學(xué)超材料，從等效質(zhì)量密度和整體的彈性應(yīng)變能兩方面分析了結(jié)構(gòu)的吸聲原理。等效質(zhì)量密度為無(wú)窮大的頻率點(diǎn)處對(duì)應(yīng)吸聲系數(shù)的谷值，經(jīng)過(guò)零點(diǎn)的頻率(共有5個(gè)零點(diǎn)頻率)都對(duì)應(yīng)于吸聲系數(shù)的峰值；整體來(lái)說(shuō)在非對(duì)稱模式的影響下，結(jié)構(gòu)的總彈性應(yīng)變能在全頻段內(nèi)高于對(duì)稱模式的應(yīng)變能。