轉(zhuǎn)子導(dǎo)程及偏心率對面團(tuán)混合器混合流場及效率影響分析

朱向哲，高 鶴，劉 儉

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轉(zhuǎn)子導(dǎo)程及偏心率對面團(tuán)混合器混合流場及效率影響分析

朱向哲，高 鶴，劉 儉

（遼寧石油化工大學(xué)機械工程學(xué)院，撫順 113001）

為了探究偏心螺旋轉(zhuǎn)子擾動下面團(tuán)混合器的混沌混合機制，明確偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的關(guān)鍵幾何參數(shù)對混沌混合機制的影響，從三維Lagrangian的新視角，利用有限時間Lyapunov指數(shù)（finite-time lyapunov exponent, FTLE）和拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（lagrangian coherent structure, LCS），結(jié)合經(jīng)典Poincaré截面，對面團(tuán)混合器的流體輸運和混合機理進(jìn)行了深入研究。利用LCS的準(zhǔn)邊界特性，分析了混合器的混沌和非混沌區(qū)域分布規(guī)律；研究了轉(zhuǎn)子偏心率對混沌尺度和非混沌區(qū)粒子運動特性的影響規(guī)律。利用剪切速率、對數(shù)拉伸、瞬時混合效率和平均時間混合效率等，分析了轉(zhuǎn)子導(dǎo)程和偏心率對混合器混合效率的影響。結(jié)果表明，雙曲LCS將混合器流域劃分為兩個不同動力學(xué)特性的區(qū)域：內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)和外螺旋區(qū)。隨著轉(zhuǎn)子偏心率逐漸增大，外螺旋區(qū)流體的混沌混合強度增大，內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)混合強度逐漸較低，當(dāng)偏心率較小時，流體混合以內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)運動為主；由于轉(zhuǎn)子擾動減小，減小了混合器的軸向物質(zhì)輸運。從拉伸流動混合效率角度可知，當(dāng)導(dǎo)程=120 mm、偏心率=0.67時，混合器的具有相對較高的拉伸混合效率；當(dāng)導(dǎo)程=60 mm、偏心率=0.33時，混合器的拉伸混合效率相對最低，但其剪切混合效率相對最高。該文為食品及其它混合設(shè)備的設(shè)計和優(yōu)化提供了新的研究思路和理論依據(jù)。

混合器；食品加工；流場；偏心螺旋轉(zhuǎn)子；有限時間Lyapunov指數(shù)；拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)；Poincaré截面

0 引 言

混合是食品連續(xù)加工過程中的重要環(huán)節(jié)，其均勻性是影響產(chǎn)品品質(zhì)的主要因素之一。近年來，隨著對高品質(zhì)食品需求的日益增加，提高了對食品混合、特別是面團(tuán)混合質(zhì)量的要求[1-2]。面團(tuán)等食品具有復(fù)雜的流變性和高黏度特性，面團(tuán)中的脂質(zhì)、蛋白質(zhì)、面筋等含量對于其流變性以及對產(chǎn)品品質(zhì)的具有一定的影響[3-4]；同時，面團(tuán)中氣泡的數(shù)量和氣泡尺寸影響面團(tuán)的氧化過程[5]，最終影響到產(chǎn)品的品質(zhì)，并且面團(tuán)混合過程的時間也不宜太長。因此，要想獲得預(yù)期的混合質(zhì)量，對食品的混合加工設(shè)備也提出了更高的設(shè)計要求。

高效食品混合器設(shè)計和優(yōu)化的核心是對混合設(shè)備中的面團(tuán)等食品流體混合機制的深入理解。Connelly等[6-7]采用數(shù)值模擬，利用速度場剪切應(yīng)力、混合指數(shù)和分離指數(shù)等參數(shù)表征了單螺桿和雙螺桿擠出機二維流場面團(tuán)流體的混合機制，研究表明，二維螺桿流場內(nèi)物料主要的混合方式為線性剪切、流動拉伸，分布混合以及分散混合。林江嬌等[8]建立了雙螺桿擠壓膨化機中玉米物料的非等溫、非牛頓流體的模型，分析了雙螺桿擠壓膨化機內(nèi)流體的溫度變化過程及規(guī)律，并進(jìn)行了試驗驗證。孫智慧等[9]采用ANSYS軟件對食品雙螺桿擠出機中流體的速度場、壓力場進(jìn)行了仿真研究。通過后處理，得到了多種工況下的比能耗，并對仿真結(jié)果進(jìn)行了試驗修正。朱向哲等[10]采用三維流-熱耦合模型對三螺桿擠壓機流場、溫度場、壓力場和粘性生熱分布進(jìn)行了研究；分析了螺桿轉(zhuǎn)速、螺紋頭數(shù)、壓力差和擠出量等參數(shù)對三螺桿擠壓機擠出功耗和比能產(chǎn)量的影響。Chella等[11]分析了面團(tuán)流體在偏心轉(zhuǎn)子周期性運動規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)面團(tuán)流體在偏心轉(zhuǎn)子的周期性擾動下，雖然不能依賴湍流擾動使流體混合的均勻，但產(chǎn)生混沌混合機制。Chien等[12]又對有周期性邊界變化的空腔流動進(jìn)行了試驗和數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)了混沌特性依賴于邊界的周期變化規(guī)律，并伴有分岔現(xiàn)象。混沌對流顯著提高了流體層流的混合效率，成為強化高粘度流體混合的重要的手段。

最近，Hosseinalipour等[13-14]利用混沌混合理論，研發(fā)了具有螺旋式偏心轉(zhuǎn)子的面團(tuán)混沌混合器；利用粒子追蹤、Lyapunov指數(shù)、混合指數(shù)等對混沌混合器的混合機理進(jìn)行了理論和實驗研究。研究表明，該混合器利用混沌對流顯著提高了設(shè)備的混合效率；同時，也克服了螺桿擠壓機等傳統(tǒng)混合設(shè)備的高剪切應(yīng)力對長分子鏈流體的剪切破壞。然而，上述采用傳統(tǒng)的歐拉方法研究混沌流場不能有效識別流場的物質(zhì)輸運邊界，難以刻畫出混合系統(tǒng)的潛在幾何學(xué)和動力學(xué)特性[15-17]；對于深刻理解混合設(shè)備的流動和混合機理具有一定的局限性。

近年來，在傳統(tǒng)歐拉體系流動分析的基礎(chǔ)上，提出了拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（Lagrangian coherent structure, LCS）分析方法?；谟邢迺r間李雅普諾夫指數(shù)（Finite-time Lyapunov exponent, FTLE），得到了系統(tǒng)的LCS，為研究不穩(wěn)定流體的運輸行為提供了有利工具[18-20]。目前，F(xiàn)TLE和LCS作為分析流體動力學(xué)行為的主要方法，廣泛應(yīng)用于大氣、海洋流動、湍流和微流體混合等不同領(lǐng)域[21-26]，但該方法應(yīng)用于食品加工設(shè)備的研究還十分有限，未見相關(guān)研究報道。本文從三維拉格朗日全新思路出發(fā)，利用FTLE和LCS，結(jié)合經(jīng)典Poincaré截面，對螺旋式偏心轉(zhuǎn)子食品混沌混合器的流體輸運和混合機理進(jìn)行了深入研究。利用LCS的準(zhǔn)邊界特性，分析了面團(tuán)混合器的混沌和非混沌區(qū)域分布規(guī)律；研究了轉(zhuǎn)子的偏心率對混沌尺度以及非混沌區(qū)流體動力學(xué)特性的影響，給出了混沌尺度對于混沌混合器的對數(shù)拉伸、混合效率和混合時間的影響規(guī)律；為食品加工設(shè)備的設(shè)計、優(yōu)化和研發(fā)提供了新的理論依據(jù)，也為其它混合設(shè)備的設(shè)計提供了新思路。

1 數(shù)學(xué)模型

本文對混沌混合器內(nèi)加工小麥面團(tuán)流體的流動過程進(jìn)行數(shù)值模擬，采用如下基本假設(shè)：1）混合為等溫過程，流場各點溫度一致；2）流體充滿整個流域且流體不可壓縮；3）小麥面團(tuán)流體為高粘度流體，流動為層流，忽略慣性力的影響；4）邊界無滑移；5）體積力忽略不計。

混沌混合器內(nèi)小麥面團(tuán)流體運動的連續(xù)性方程、動量方程和本構(gòu)方程分別為[6]

小麥面團(tuán)流體具有非線性和粘彈性等，可以采用Bird-Carreau模型描述小麥面團(tuán)的復(fù)雜流變行為[27-28]，其本構(gòu)模型為

2 計算方法

2.1 FTLE和LCS

Poincaré截面和Lyapunov指數(shù)分析流場動力學(xué)特性的重要工具，它們可描述動力系統(tǒng)的長期行為。然而，在實際工程或?qū)嶒炇已芯恐?，長時間追蹤粒子軌跡難以實現(xiàn)，尤其是在運動范圍有限的情況下，需要一種對動力系統(tǒng)短時間狀態(tài)的刻畫參數(shù)。FTLE是一種能夠有效刻畫動力系統(tǒng)短時間狀態(tài)的參數(shù)[19]?；诹鲌鰞?nèi)流體單元產(chǎn)生的最大拉伸率來代表各個位置的變形狀態(tài)，從而得到流場的FTLE數(shù)值，其計算公式為[20]

將FTLE與流場坐標(biāo)結(jié)合，獲得空間中的一個代表拉伸強弱的曲面。若存在某一范圍內(nèi)的突出點，則為流場內(nèi)局部最大拉伸位置，若這些點連成峰，構(gòu)成FTLE中的脊，即LCS。由正向時間積分所得的LCS表明流體的分離特征，稱為排斥的LCS；相反，由負(fù)向時間積分所得的LCS表明流體的聚集特征，稱為吸引的LCS。由于LCS穩(wěn)定性較強，在較大的速度場誤差下仍可保持其穩(wěn)定性，可獲得相對準(zhǔn)確的LCS[20]，這為流場中混沌結(jié)構(gòu)的識別提供了一種較為可靠的研究方法。

2.2 LCS計算方法

由于混合器的幾何結(jié)構(gòu)具有周期性，因此采用分步式計算混合器流場的LCS分布，即通過對速度場的向前時間積分獲得排斥的LCS，對速度場的向后時間積分獲得吸引的LCS，積分時間選取轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期的整數(shù)倍（本文所提及的1個周期為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周的時間），以保證排斥和吸引的LCS處于同一動力系統(tǒng)中。

對于LCS的計算一般基于有限時間內(nèi)最大拉伸率FTLE的結(jié)果。假設(shè)混合器內(nèi)流體的三維速度場可描述為

3 物理模型

面團(tuán)混沌混合器幾何模型如圖1所示。其中，螺旋式偏心轉(zhuǎn)子是混沌混合器的核心部件，轉(zhuǎn)子繞中軸線勻速轉(zhuǎn)動。在混合器的不同軸截面，由于偏心量的存在引起流體脫離流線，引發(fā)了流場的混沌特征。轉(zhuǎn)子及機筒的主要幾何參數(shù)如下：螺旋轉(zhuǎn)子截面圓半徑r= 25 mm，流域半徑r=40 mm，導(dǎo)程=120 mm，為偏心距。為了定性描述轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)，引入無量綱參數(shù)：間隙率和偏心率分別為

根據(jù)混合器試驗樣機具體設(shè)計工況，選取間隙率=0.6，偏心率分別選取為0.97、0.67、0.33。對比研究不同轉(zhuǎn)子偏心率對混合器流體輸運和混合動力學(xué)特征的影響。

注：ri螺旋轉(zhuǎn)子截面圓半徑，mm，ro為流域半徑，mm，ε為偏心距，mm，O1，O2為圓心。

采用Gambit軟件進(jìn)行幾何建模，利用Polyflow軟件的網(wǎng)格疊加技術(shù)（MST）進(jìn)行網(wǎng)格劃分[29]，混合器轉(zhuǎn)子和流域均采用六面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。為捕捉流場中轉(zhuǎn)子與筒壁間隙中流體的運動，轉(zhuǎn)子和筒壁采用4 層邊界層網(wǎng)格。為了縮短計算時間，轉(zhuǎn)子采用空心結(jié)構(gòu)，以便減少網(wǎng)格和節(jié)點的數(shù)量?；旌掀髁饔蚺c轉(zhuǎn)子的網(wǎng)格劃分方法如圖2所示。其中，轉(zhuǎn)子的網(wǎng)格數(shù)為1 115 856個，流域（流道）的網(wǎng)格數(shù)為561 392個。采用Polyflow軟件求解控制方程，收斂精度為1×10-4。

圖2 混合器流域與轉(zhuǎn)子的網(wǎng)格劃分

4 結(jié)果與討論

4.1 試驗驗證

注：每幅圖左側(cè)為試驗結(jié)果，右側(cè)為數(shù)值模擬結(jié)果

注：每幅圖從左到右依次為t=T，t=2T，t=3T。

需要說明的是，數(shù)值模擬粒子軌跡的長度大于試驗樣本面團(tuán)的擴散長度，這主要是因為實驗面團(tuán)示蹤劑可視化截面的截取方法略有不同：文獻(xiàn)[14]采用在混合器出口安裝了一段30 cm長的實驗圓管，通過截取不同時刻圓管端面的擠出樣本，獲取實驗流體隨時間變化的混合形態(tài)。而本文數(shù)值模擬粒子可視化追蹤，直接把不同時刻流體粒子映射到流道出口截面，獲得粒子可視化結(jié)果。

4.2 積分時間的選取

FTLE表示積分時間內(nèi)流體的分離程度，積分時間影響LCS結(jié)構(gòu)的清晰程度。積分時間過短，LCS結(jié)構(gòu)不清晰；積分時間過長，LCS結(jié)構(gòu)混亂難以識別。本文分別計算了3組不同偏心率轉(zhuǎn)子混合器在積分時間分別為、2和3時間向前的FTLE分布，如圖4所示。從圖4中可以看到，隨著積分時間的增加，具有較大FTLE值的紅色“脊線”逐漸增加。當(dāng)積分時間為2時，“脊線”結(jié)構(gòu)趨于完整。當(dāng)積分時間為3時，已難以分辨出3組模型“脊線”的主次。通過對三組模型不同積分時間向前的FTLE對比，本文選取2作為混合系統(tǒng)的積分時間。

4.3 LCS分布規(guī)律

LCS作為FTLE中的“脊”，代表了沿積分時間流場中分離程度較強的區(qū)域。在實際流動中，排斥的LCS代表拉伸效率較高的區(qū)域，而吸引的LCS則刻畫了粒子的流動趨勢。由于LCS具有物質(zhì)的連續(xù)性，兩側(cè)的粒子在LCS上的交換微小，使得LCS成為流場中潛在的邊界，即準(zhǔn)邊界[15]。選取轉(zhuǎn)子螺旋導(dǎo)程長度的20%、40%、60%、80%所在軸截面，即分別為24、48、72和96 mm，其中轉(zhuǎn)子沿方向每移動20%導(dǎo)程長度，轉(zhuǎn)子端面逆時針轉(zhuǎn)動72°。通過分析混合器不同軸截面的FTLE和LCS分布，研究混沌流場的幾何學(xué)和動力學(xué)特性。

圖5所示為積分時間為2時，混合器不同軸截面的時間向前FTLE分布。從圖5可以看到，隨著轉(zhuǎn)子偏心率的減小，流域中流體受到拉伸的區(qū)域逐漸增大。在=0.97時，排斥的LCS緊貼在轉(zhuǎn)子壁面以及混合筒內(nèi)壁面，流域中心由于缺少LCS而整體呈弱拉伸狀態(tài)。隨著的減小，筒壁面排斥的LCS逐漸脫離壁面，向流域中心靠近，在=0.67時，排斥的LCS與筒壁產(chǎn)生一定的距離，一定程度上增加了中心區(qū)域流體的拉伸程度，弱化了對筒壁附近流體的影響，但在轉(zhuǎn)子前進(jìn)方向一端，排斥的LCS依然貼近轉(zhuǎn)子壁面。當(dāng)=0.33時，排斥的LCS占據(jù)流域中心，整體呈強拉伸狀態(tài)；流域的弱拉伸區(qū)夾在排斥的LCS之間，此時靠近轉(zhuǎn)子壁面排斥的LCS被弱化。

注：每幅圖從左到右依次為Z=24 mm、Z=48 mm、Z=72 mm、Z=96 mm。

圖6所示為積分時間為2時，混合器軸向2D剖面的時間向后FTLE分布。時間向后FTLE場中的“脊”為吸引的LCS，暗示粒子潛在的運動趨勢。由圖6可以看到，吸引的LCS將混合器內(nèi)流域劃分為兩個具有不同粒子運動特性的區(qū)域，即：在吸引的LCS與筒壁之間的區(qū)域，粒子繞整個流域旋轉(zhuǎn)，稱為外螺旋區(qū)；在吸引的LCS與轉(zhuǎn)子壁面所夾區(qū)域，粒子沿轉(zhuǎn)子壁面旋轉(zhuǎn)，形成內(nèi)回旋區(qū)。由于LCS的準(zhǔn)邊界作用，外螺旋區(qū)和內(nèi)回旋區(qū)之間很難進(jìn)行物質(zhì)交換。

圖6 混合器軸向2D剖面的時間向后FTLE分布

在一定條件下，排斥的LCS對應(yīng)穩(wěn)定流形，吸引的LCS對應(yīng)不穩(wěn)定流形；穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的交點，即雙曲不動點與同宿或異宿點。為清晰地揭示流域的流形結(jié)構(gòu)，將排斥與吸引的LCS合并于同一圖中，并標(biāo)識出LCS方向，以便確定流域中的流形結(jié)構(gòu)。圖7所示為排斥與吸引的LCS的合并圖。從圖7a可以看出，在偏心率為0.97時，筒壁處排斥與吸引的LCS重合，且具有相同的流動方向，均為順時針。而靠近轉(zhuǎn)子壁面的LCS則具有逆時針流向，LCS在轉(zhuǎn)子與壁面的狹縫中方向發(fā)生改變，說明在狹縫中的LCS交點是雙曲平衡點，此時，經(jīng)過平衡點的排斥和吸引的LCS稱為雙曲LCS，而其余交點為同宿點；雙曲點與同宿點為流場系統(tǒng)帶來了混沌效應(yīng)。但LCS分布較為集中，產(chǎn)生的混沌區(qū)域僅為轉(zhuǎn)子壁面附近與筒壁附近的區(qū)域，中心流域則在LCS的影響下做月牙形運動。

注：紅色為吸引的LCS，藍(lán)色為排斥的LCS；箭頭代表流向。

當(dāng)偏心率減小到0.67時，如圖7b所示，LCS向流域中心縮小，同時排斥與吸引的LCS之間的交點增加，LCS流向與偏心率為0.97時相同，即環(huán)繞整個流域的LCS為順時針流向，貼近轉(zhuǎn)子壁面的LCS為逆時針流向，說明在轉(zhuǎn)子與筒壁較小間隙處依然存在雙曲平衡點。在LCS分布的區(qū)域，受到雙曲點的影響，形成了混沌區(qū)。而流域中心缺少LCS的區(qū)域則在LCS的影響下做有規(guī)律的運動。隨著偏心率的繼續(xù)減小，當(dāng)=0.33時，如圖7c所示，排斥與吸引的LCS整體位于流域中心，但此時LCS的流動方向均為順時針，無方向改變，因此整個流域在LCS的影響下繞中心軸進(jìn)行螺旋運動，流場系統(tǒng)中雖有LCS，但不存在雙曲LCS，導(dǎo)致流域內(nèi)的月牙運動區(qū)域消失，同時由雙曲平衡點引發(fā)的流體折疊作用也隨之消失，降低了混沌混合效率。為進(jìn)一步研究流域內(nèi)沒有LCS區(qū)域的運動形式和混合機制，將采用Poincaré截面對此部分進(jìn)行分析。

4.4 Poincaré 截面分析

為了計算混合器內(nèi)的Poincaré截面，取Z=96mm處的軸截面作為釋放初始追蹤粒子的平面，均勻覆蓋整個截面。通過4階Rung-Kutta積分法，選取適合的時間步長計算粒子的運動軌跡。記錄粒子長期運動過程[12]。圖8所示為追蹤496個流體質(zhì)點時，記錄200個周期時不同轉(zhuǎn)子偏心率的混合器Poincaré截面。從圖8中可以看到，當(dāng)偏心率=0.97時，筒壁與轉(zhuǎn)子壁面粒子分布較為雜亂，形成混沌特征。而流域其他位置的粒子具有清晰的月牙狀結(jié)構(gòu)，與LCS所包圍的區(qū)域相同。當(dāng)偏心率減小到0.67時，月牙狀結(jié)構(gòu)縮小，并且在流域中出現(xiàn)明顯的邊界；此時混沌區(qū)的分布發(fā)生了顯著改變，主要分布在靠近筒壁的環(huán)形區(qū)域內(nèi)，在緊貼筒壁的流域內(nèi)則為環(huán)形運動，且不與混沌區(qū)內(nèi)的流體發(fā)生混合，在混沌區(qū)與轉(zhuǎn)子壁面之間的區(qū)域內(nèi)，流體粒子呈環(huán)形運動，被混沌區(qū)隔離。當(dāng)偏心率進(jìn)一步減小為0.33時，月牙形區(qū)域消失，流域整體呈彌散狀，流體粒子整體沿筒壁的呈環(huán)形結(jié)構(gòu)運動，雖然不同區(qū)域內(nèi)的粒子做無規(guī)則運動，但不同區(qū)域之間的粒子交換甚少。

圖8 混合器不同區(qū)域Poincaré截面

通過對不同周期月牙形區(qū)域的觀察可以發(fā)現(xiàn)，月牙形區(qū)域內(nèi)的粒子所形成的結(jié)構(gòu)并非閉合的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，也并非是準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，而是螺旋源結(jié)構(gòu)，并且具有一定的周期性：在偏心率為0.97時，為周期3，而在偏心率為0.67時，為周期6。周期越多則表明運動回歸到初始位置附近區(qū)域相隔的周期越多，即粒子運動速度越慢，混合效率越低。此外，相比于二維偏心轉(zhuǎn)子模型的研究結(jié)果[12]可知，在三維模型中，混合系統(tǒng)的流域內(nèi)不存在被隔離的封閉環(huán)形結(jié)構(gòu)，取而代之的是螺旋源結(jié)構(gòu)，主要是由于三維流場的軸向擾動破壞了規(guī)則區(qū)內(nèi)的結(jié)構(gòu)，一定程度上使得非混沌區(qū)內(nèi)物質(zhì)交換更加頻繁。

4.5 粒子可視化追蹤

注：每幅圖從上到下依次為t=0、t=T、t=2T、t=3T、t=4T、t=5T、t=10T和t=15T。

4.6 轉(zhuǎn)子導(dǎo)程和偏心率對混合效率的影響

偏心螺旋轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和偏心率是影響流場混合效率的重要參數(shù)。上述分析表明，轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和偏心率對混合器的軸向和徑向混合具有復(fù)雜的影響規(guī)律。為了分析轉(zhuǎn)子導(dǎo)程和偏心率對混合效率的影響，分別選取轉(zhuǎn)子導(dǎo)程=60、120和240 mm，偏心率分別為=0.97、=0.67和=0.33；采用剪切速率、對數(shù)拉伸、瞬時混合效率和平均時間混合效率等參數(shù)評價分散和分布混合特性[30]。初始時刻，在流域入口均勻釋放20 000個虛擬流體質(zhì)點，統(tǒng)計計算上述混合評價參數(shù)。

導(dǎo)程為60、120、240 mm不同偏心率混合器流體平均對數(shù)拉伸對比如圖11所示，此時拉伸分布規(guī)律較為復(fù)雜。當(dāng)導(dǎo)程為60 mm時，偏心率=0.97混合器流體的對數(shù)拉伸值最大，而偏心率為0.33混合器流體的對數(shù)拉伸值最小；這說明小導(dǎo)程偏心轉(zhuǎn)子軸向拉伸較弱，主要依靠軸截面的徑向拉伸作用，因此，增加偏心率可以增強材料的拉伸混合，提高混沌混合強度。當(dāng)導(dǎo)程為120和240 mm時，偏心率為0.67混合器流體的對數(shù)拉伸值最大，此時流域中心的大部分流體處于拉伸狀態(tài)，整體拉伸效果較好；而偏心率為0.33混合器流體的對數(shù)拉伸值最小，非混沌混合則占主導(dǎo)地位，主要依靠非混沌內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)進(jìn)行流體混合。

圖11 不同導(dǎo)程和偏心率對平均對數(shù)拉伸的影響

瞬時混合效率即為局部某時刻的混合效率，可表述為[7]

式中為瞬時混合效率。瞬時混合效率與局部能量耗散相關(guān)，其值范圍[?1, 1]。

平均時間混合效率用來描述分布混合，平均時間混合效率隨著混合時間的增加而下降，其表達(dá)式為[6]

圖12和圖13分別為導(dǎo)程為60、120、240 mm時，螺旋轉(zhuǎn)子偏心率對混合器內(nèi)瞬時混合效率和時間平均混合效率的影響。從圖12中可以看到，當(dāng)導(dǎo)程為60 mm時，=0.97混合器流體的瞬時混合效率略大于=0.67和=0.33種情況。當(dāng)導(dǎo)程為60和120 mm時，=0.97混合器流體的瞬時混合效率略小于=0.33情況，而=0.67的瞬時混合效率相對最大。且隨著導(dǎo)程的增加，=0.97混合器瞬時混合效率的波動性增強，不穩(wěn)定性增大。從圖13中可以看到，當(dāng)導(dǎo)程為60 mm時，=0.97混合器的時間平均混合效率略大于=0.67和=0.332種情況；當(dāng)導(dǎo)程為60和120 mm時，=0.33混合器的時間平均混合最大，其次是=0.67，而=0.97混合器的時間平均混合最小，且隨著導(dǎo)程的增加，三者相差逐漸增大。

從上述分析可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和偏心率對混合器的混合效率的影響規(guī)律較為復(fù)雜，難以直接確定混合性能相對較佳的導(dǎo)程和偏心率組合。對于本文研究的偏心轉(zhuǎn)子食品混沌混合器，需要考慮高剪切應(yīng)力對長分子鏈流體的剪切破壞作用，因此，更加側(cè)重于拉伸流動以及拉伸混合效率。從拉伸流動角度來說，當(dāng)導(dǎo)程=120 mm、偏心率=0.67時，混合器的具有相對較高的拉伸混合效率；當(dāng)導(dǎo)程=60 mm、偏心率=0.33時，混合器的拉伸混合效率相對最低，但其剪切混合效率相對最高。當(dāng)偏心率=0.33時，增加導(dǎo)程增加了混合器的軸向拉伸作用，可以提升混合效率；當(dāng)偏心率=0.97時，增加導(dǎo)程卻降低了混合器的混合效率。

圖12 不同導(dǎo)程和偏心率對瞬時混合效率的影響

圖13 不同導(dǎo)程和偏心率對時間平均混合效率的影響

5 結(jié) 論

從拉格朗日的新視角，利用FTLE和LCS，結(jié)合Poincaré截面，對螺旋式偏心轉(zhuǎn)子面團(tuán)混沌混合器的流體輸運和混合機理進(jìn)行了深入研究。利用LCS的準(zhǔn)邊界特性，分析了混沌混合器的混沌和非混沌區(qū)域分布規(guī)律；研究了螺旋式偏心轉(zhuǎn)子的偏心率對混沌尺度以及非混沌區(qū)粒子運動特性的影響規(guī)律。

1）雙曲LCS將混合器內(nèi)流域劃分為2個具有不同粒子運動特性的區(qū)域，即：沿筒壁做圓周運動的外螺旋區(qū)和在筒壁和轉(zhuǎn)子之間較寬流域內(nèi)做月牙狀回轉(zhuǎn)運動的內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)。外螺旋區(qū)代表混合器流場的混沌區(qū)域，內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)代表混合器流場的非混沌區(qū)域。

2）轉(zhuǎn)子的偏心率對混合器流場的內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)和外螺旋區(qū)分布具有重要的影響。由FTLE和Poincaré截面分析可知：偏心率較大時，外螺旋區(qū)的流體具有較強的混沌混合，隨著偏心率的減小，外螺旋區(qū)的流體混沌混合逐漸減弱。另一方面，轉(zhuǎn)子的偏心率較大時，混合器流場的內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)混合強度較低，隨著偏心率的減小，內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)混合強度逐漸增加。

3）轉(zhuǎn)子的偏心率對混合器流場的軸向速度也具有重要的影響。結(jié)合Poincaré截面和粒子可視化追蹤可知：偏心率較大時，流場主要以外螺旋區(qū)的螺旋前進(jìn)為主，軸向度較大。偏心率較小時，以內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)運動為主，由于混合系統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)子擾動減小，軸向前進(jìn)速度顯著降低，但增強了混合器內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)的徑向混合。

通過對偏心螺轉(zhuǎn)子混合器的剪切速率、對數(shù)拉伸、瞬時混合效率和平均時間混合效率的綜合評價可知，從拉伸流動角度來說，當(dāng)導(dǎo)程=120 mm、偏心率=0.67時，混合器的具有相對較高的拉伸混合效率；當(dāng)導(dǎo)程=60 mm、偏心率=0.33時，混合器的拉伸混合效率相對最低，但其剪切混合效率相對最高。

[1] Song Y, Zheng Q. Dynamic rheological properties of wheat flour dough and proteins[J]. Trends in Food Science & Technology, 2007, 18(3): 132－138.

[2] 張金闖，劉麗，劉紅芝，等. 食品擠壓技術(shù)裝備及工藝機理研究進(jìn)展[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2017，33(14)：275－283.

Zhang Jinchuang, Liu Li, Liu Hongzhi, et al. Research advances on food extrusion equipment, technology and its mechanism[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(14): 275－283. (in Chinese with English abstract)

[3] Sudha M, Vetrimani R, Leelavathi K. Influence of fibre from different cereals on the rheological characteristics of wheat flour dough and on biscuit quality[J]. Food Chemistry, 2007, 100(4): 1365－1370.

[4] Zheng H, Morgenstern M, Campanella O, et al. Rheological properties of dough during mechanical dough development[J]. Journal of Cereal Science, 2000, 32(2): 293－306.

[5] Bellido G G, Scanlon M G, Page J H, et al. The bubble size distribution in wheat flour dough[J]. Food Research International, 2006, 39(10): 1058－1066.

[6] Connelly R K, Kokini J L. The effect of shear thinning and differential viscoelasticity on mixing in a model 2D mixer as determined using FEM with particle tracking[J]. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2004, 123(1): 1－17.

[7] Connelly R K, Kokini J L. Examination of the mixing ability of single and twin screw mixers using 2D finite element method simulation with particle tracking[J]. Journal of Food Engineering, 2007, 79(3): 956－969.

[8] 林江嬌，趙春芳，朱立學(xué). 雙螺桿擠壓膨化機溫升特性的仿真分析與試驗[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2012，28(16)：47－53.

Lin Jiangjiao, Zhao Chunfang, Zhu Lixue. Simulation analysis and experiment of temperature rising characteristics in twin-screw extruder[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2012, 28(16): 47－53. (in Chinese with English abstract)

[9] 孫智慧，徐克非，楊綺云，等. 食品雙螺桿擠出機比能耗定量化研究[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2010，41(增刊)：225—228.

Sun Zhihui, Xu Kefei, Yang Qiyun, et al. Quantitative study on the specific energy consumption of food twin-screw extruder[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2010, 41(Supp.1): 225－228. (in Chinese with English abstract)

[10] 朱向哲，奚文. 三螺桿擠壓機熔體輸送段功耗特性的數(shù)值分析[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2009，40(5)：119－123.

Zhu Xiangzhe, Xi Wen. Simulation of power consumption characteristics in conveying element in triple screw extruder[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2009, 40(5): 119－123. (in Chinese with English abstract)

[11] Chella R, Ottino J M. Fluid mechanics of mixing in a single-screw extruder[J]. Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals, 1985, 24(2): 170－180.

[12] ChienW L, Rising H, Ottino J. Laminar mixing and chaotic mixing in several cavity flows[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1986, 170(9): 355－377.

[13] Hosseinalipour S M, Tohidi A, Shokrpour M, et al. Introduction of a chaotic dough mixer, part A: Mathematical modeling and numerical simulation[J]. Journal of Mechanical Science & Technology, 2013, 27(5): 1329－1339.

[14] Hosseinalipour S M, Tohidi A, Shokrpour M, et al. Experimental investigation of mixing in a novel continuous chaotic mixer[J]. Korean Journal of Chemical Engineering, 2014, 31(10): 1757—1765.

[15] Tian G, Wang M, Wang X, et al. Flow between eccentric cylinders: A shear-extensional controllable flow[J]. Korea-Australia Rheology Journal, 2016, 28(2): 139－148.

[16] Zambaux J A, Harion J L, Russeil S, et al. Combining two orthogonal secondary flows to enhance the mixing in an annular duct[J]. Chemical Engineering Research & Design, 2015, 94: 702－713.

[17] 宋海潮，徐幼林，鄭加強，等. 脂溶性農(nóng)藥旋動射流混藥器結(jié)構(gòu)分析與混合均勻性試驗[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2016，32(23)：86－92.

Song Haichao, Xu Youlin, Zheng Jiaqiang, et al. Structural analysis and mixing uniformity experiments of swirling jet mixer for applying fat-soluble pesticides[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(23): 86—92. (in Chinese with English abstract)

[18] Haller G. Lagrangian coherent structures[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2015, 47: 137－162.

[19] Haller G. Lagrangian structures and the rate of strain in a partition of two-dimensional turbulence[J]. Physics of Fluids, 2001, 13(1): 3365－3385.

[20] Shadden S C, Lekien F, Marsden J E. Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic flows[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005, 212(3/4): 271－304.

[21] Robinson M J, Cleary P W. The influence of cam geometry and operating conditions on chaotic mixing of viscous fluids in a twin cam mixer[J]. AIChE Journal, 2011, 57(3): 581—598.

[22] Santitissadeekorn N, Bohl D, Bollt E M. Analysis and modeling of an experimental device by finite-time Lyapunov exponent method[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2009, 19(3): 993－1006.

[23] Miron P, Vétel J, Garon A. On the use of the finite-time Lyapunov exponent to reveal complex flow physics in the wake of a mechanical valve[J]. Experiments in Fluids, 2014, 55(9): 1－15.

[24] Bozorgmagham A E, Ross S D. Atmospheric lagrangian coherent structures considering unresolved turbulence and forecast uncertainty[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2015, 22: 964－979.

[25] Prant S V. Chaotic lagrangian transport and mixing in the ocean[J]. The European Physical Journal-Special Topics, 2015, 223: 2723－2743.

[26] Green M A, Rowley C W, Smits A J. Using hyperbolic lagrangian coherent structures to investigate vortices in bioinspired fluid flows[J]. Chaos, 2010, 20: 017510.

[27] 趙學(xué)偉，魏益民，杜雙奎. 擠壓引起食品特性變化的數(shù)學(xué)模型研究綜述[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2008，24(10)：301－307.

Zhao Xuewei, Wei Yimin, Du Shuangkui. Review on mathematical models of food property changes induced by extrusion[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2008, 24(10): 301—307. (in Chinese with English abstract)

[28] Wang C F, Kokini J L. Prediction of the nonlinear viscoelastic properties of gluten doughs[J]. Journal of Food Engineering, 1995, 25(3): 297－309.

[29] Avalosse T. Numerical simulation of distributive mixing in 3-D flows[J]. Macromolecular Symposia, 1996, 112(1): 91－98.

[30] Salahudeen S A, Alothman O, Elleithy R H, et al. Optimization of rotor speed based on stretching, efficiency, and viscous heating in nonintermeshing internal batch mixer: simulation and experimental verification[J]. Journal of Applied Polymer Science, 2013, 127(4): 2739—2748.

Analysis on influence of rotor lead and eccentricity on mixing flow field and efficiency of dough mixer

Zhu Xiangzhe, Gao He, Liu Jian

(,,113001,)

The chaotic food mixer with an eccentric spiral rotor is a new type of food processing device, in which the food fluids with long molecular chains can not be damaged by high shear stresses, such as traditional twin screw extruders. In fact, the previous researches had demonstrated that the food melt with high viscosity flowing in the food mixer has the nature of chaotic mixing. However, as a dynamic system of flow, the traditional Euler methods is difficult to distinguish the chaotic manifolds, which is a barrier for better understanding the mixing mechanism in the internal mixer. From a new viewpoint of 3D Lagrangian, the objective of our study is to explore the chaotic mixing mechanism in this new kind of food mixer under the disturbance of eccentric spiral rotor, to visually locate the poor and well mixing regions in the mixer and optimize the key geometric parameters of the eccentric spiral rotors. Firstly, a numerical simulation of the three-dimensional flow field in the food mixer is carried out using the mesh superposition technique (MST) and CFD code of Polyflow without considering the re-meshing for the periodical geometric changes. The Carreau-Yasuda constitutive model was used to describe the rheological behavior of the food material. Based on the transient velocity distributions, the finite time Lyapunov exponent (FTLE), Lagrangian coherent structure (LCS) and Poincaré section were calculated to analyze the fluid transport and mixing in the new chaotic food mixer with helical eccentric rotors. The LCS from the ridges of FTLE as a boundary was adopted to reveal the chaotic and regular zones in the mixer. And the particle tracking was used to illustrate the different fluid motions in the flow dynamic system based on the fourth-order Runge-Kutta scheme. Then the effects of rotor eccentric ratio on the chaos scale and particles motions in the regular of the mixer were studied, respectively. Moreover, based on the quantitative mixing measures, such as mixing shear rate, logarithmic of stretching, instantaneous mixing efficiency and average time mixing efficiency, the rotor lead and eccentricity rate were optimized to increase the mixing inefficiency of the chaotic food mixer. The results show that the hyperbolic LCSs divide into two regions with different particle motion characteristics for the food mixer, such as the inner rotary zone and the outer spiral zone. With the increase of rotor eccentric ratio, the strength of chaotic mixing in the outer spiral zone increases and that in the inner rotary zone decreases. When the rotor has little eccentric ratio, the mixing mainly depends on the fluid transport in the inner rotary zone. Then the axial velocity of fluid decreases significantly, but the mixing at radial direction of the inner rotary zone increases. Through optimization of the eccentricity and the lead distance of the eccentric rotor, it can be found that the mixer has relatively higher overall mixing efficiency with the lead of 120 mm and the eccentricity of 0.67, following is the lead of 60 mm and the eccentricity of 0.97, and the mixer has relatively poorer overall mixing efficiency with the lead of 60 mm and the eccentricity of 0.33. This paper has shown that the Lagrangian fresh perspective is more feasible than traditional Euler method in numerically investigate the evolution of two-dimensional mixing performance within a novel mixer. FTLE and LCS are useful tools for analyzing chaotic mixing flow in the mixer. This method provides new research ideas and theoretical basis for the design and optimization of food and other mixed equipment, which provides a better understanding the mixing mechanisms in a flow dynamic system.

mixer; food processing; flow fields; helical eccentric rotor; FTLE; lagrangian coherent structures; Poincaré section

10.11975/j.issn.1002-6819.2018.20.038

S224.23; TS203

A

1002-6819(2018)-20-0305-10

2018-05-17

2018-08-31

國家自然科學(xué)基金項目（51473073; 50903042）；遼寧省高等學(xué)校創(chuàng)新人才支持計劃項目（LR2016022）

朱向哲，教授，博士，主要從事計算流體力學(xué)、非線性動力學(xué)以及流體力學(xué)非線性問題等領(lǐng)域研究。Email：xzzhu@126.com

朱向哲，高 鶴，劉 儉.轉(zhuǎn)子導(dǎo)程及偏心率對面團(tuán)混合器混合流場及效率影響分析[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2018，34(20)：305－314. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.20.038 http://www.tcsae.org

Zhu Xiangzhe, Gao He, Liu Jian. Analysis on influence of rotor lead and eccentricity on mixing flow field and efficiency of dough mixer[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(20): 305－314. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.20.038 http://www.tcsae.org