淺析由母題構(gòu)建開放性設(shè)問對提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用

高麗

摘要：本文試圖根據(jù)近幾年開放性課堂提問的嘗試，探討提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的新途徑——由母題構(gòu)建開放性設(shè)問。開放性設(shè)問非常有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)、有利于數(shù)學(xué)精神的發(fā)揚、有利于數(shù)學(xué)語言的表達，是一種值得開發(fā)的教學(xué)方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；母題；開放性設(shè)問

中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）17-075-1

數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界[1]。本文試圖根據(jù)近幾年開放性課堂提問的嘗試，探討提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的新途徑——由母題構(gòu)建開放性設(shè)問。所謂“母題”，是指誘導(dǎo)一個問題串的主要問題；所謂“開放性問題”，就是沒有標(biāo)準(zhǔn)的過程、沒有標(biāo)準(zhǔn)的條件和結(jié)論的問題。這種問題有利于發(fā)動學(xué)生積極探究、體驗過程，有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)、有利于數(shù)學(xué)精神的發(fā)揚、有利于數(shù)學(xué)語言的表達，是一種值得開發(fā)的教學(xué)方式。

一、請學(xué)生擬小題

母題1.將asinα+bcosα寫為Asin（α+φ）（A>0）的形式。

公式asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）稱為“輔助角公式”。講完這個公式的推導(dǎo)后，不是讓學(xué)生訓(xùn)練一系列從左到右的套用公式，而是提出

問題1：“請每個同學(xué)幫老師擬三個小題目，要求是：選擇適當(dāng)?shù)囊粚崝?shù)a，b，使得y=asinx+bcosx能轉(zhuǎn)化成為y=Asin（x+φ）（A>0）的形式?！?/p>

問題2：“試在黑板上這些題目中選出至少6個并作從易到難的排序。”同時請三個同學(xué)一起上臺從易到難整理和篩選，得以下結(jié)果：

1）y=22sinx+22cosx，2）y=32sinx-12cosx，3）y=sinx-3cosx，

4）y=sinx+cosx，5）y=3sinx+4cosx，6）y=2sinx-3cosx。

問題3：“為什么要這樣排序？這幾個題目有什么特點？”

問題4：請大家“將上面的6個式子轉(zhuǎn)化一下?！薄?/p>

評析：通過這個擬小題的問題串，學(xué)生在構(gòu)建習(xí)題的活動中同時感受到了動手實踐、自主探索、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式。在尋題中發(fā)展了直觀想象素養(yǎng)，在整理中發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在表述中發(fā)展了數(shù)學(xué)表達能力，在最后的解題中發(fā)展了運算素養(yǎng)。學(xué)生感覺到在做教師做過的事，建立了自信，可謂一舉多得。

二、帶學(xué)生探命題

母題2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（1，3），O為坐標(biāo)原點，且OM=αOA+βOB（α+β=1），若N（1，0），求|MN|的最小值。

同學(xué)們幾乎都做了同一種方法：|MN|=|OM-ON|=（-2α+β-1）2+（3β）2

=32β2-2β+1，當(dāng)β=12時|MN|的最小值為322。

這時老師提出

問題1：“滿足OM=αOA+βOB（α+β=1）的M點的軌跡是什么？”

問題2：“點N到直線AB上的點的最短距離如何求出？”

問題3：“點N到線段AB上的點的最短距離如何求出？”

問題4：“設(shè)OM=αOA+βOB，則線段（而不是直線）AB上的點用向量如何表示？α+β>1和α+β<1表示M在什么位置？”

同學(xué)們表示了各自的猜想，但不能進行當(dāng)場證明。老師十分簡潔地給出分析總結(jié)，得到重要命題：“已知不在原點的兩點A，B，則平面上的任何點M的位置都可以表示為OM=αOA+βOB，α+β=1，α+β>1，α+β<1分別對應(yīng)點M在直線AB上，關(guān)于點O在AB的異側(cè)，關(guān)于點O在AB的同側(cè)?！?/p>

評析：帶學(xué)生探究本題，可以將數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮到極致，其中直觀形象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)也同時得到體現(xiàn)。本題發(fā)揮作用遠不在于題目本身，而在于探究過程，學(xué)生通過這個過程獲得了形式推理的體驗并得出一般結(jié)論，理解并表達了現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)與規(guī)律，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。

三、讓學(xué)生做評價

母題3.討論函數(shù)y=lnx-ax的零點個數(shù)。

教師先讓學(xué)生課外解題，次日課上請同學(xué)們討論

問題1：“本題有哪些解法？”

選出不同方法的學(xué)生上臺講題，不到位的方法由老師補充，得到多種方法。

問題2：“這些方法有什么聯(lián)系和區(qū)別？哪種方法最為便捷？”

問題3：“如何討論函數(shù)y=ax-ex的零點個數(shù)？”

同學(xué)們口頭描述出五種解法。

評析：讓學(xué)生思考一題多解是從不同角度對同一個問題的分析，特別是這種零點的討論，富含直線或曲線的運動過程，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維很有益處。而學(xué)生通過對方法的歸納總結(jié)，實質(zhì)是提高了數(shù)學(xué)策略的素養(yǎng)，也可視作數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

綜上所述，對一個數(shù)學(xué)母題進行多方位挖掘，是學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的重要方式，而數(shù)學(xué)活動是數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成的載體。在數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生經(jīng)歷和體驗了數(shù)學(xué)應(yīng)用，感悟了數(shù)學(xué)思想方法，就會形成一種綜合性特征，這種特征會在真實情境中表現(xiàn)出來，生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]。因此，母題的運用，既能提高學(xué)生的解題能力，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可謂一舉兩得、事半功倍。

[參考文獻]

[1]趙光禮.數(shù)學(xué)素養(yǎng)新思維：兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵發(fā)展與評價的研究[M].北京：光明日報出版社，2012.

[2]康世剛.數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成的教學(xué)研究[D].西南大學(xué)，2009.