經(jīng)歷圖形研究 體悟概念生成

周海東

摘 要：概念教學(xué)需要以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各實例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，從而歸納形成數(shù)學(xué)概念.概念的建構(gòu)必須著眼于數(shù)學(xué)現(xiàn)實，概念的理解需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考，概念的應(yīng)用需要體悟數(shù)學(xué)抽象.

關(guān)鍵詞：圖形研究；數(shù)學(xué)思考；概念教學(xué)

筆者執(zhí)教蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級上冊《全等圖形》一課時，通過建構(gòu)操作活動，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過程，體悟概念生成，收到很好的教學(xué)效果，受到同行的一致好評.現(xiàn)將課堂實錄及感悟整理成文，與同行交流研討.

一、課堂實錄

（一）用數(shù)學(xué)的眼光看世界——對全等圖形的初次觸摸

師：德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾說過：“世界上沒有兩片完全相同的葉子.”

【解析】用數(shù)學(xué)的眼光來看這兩片葉子，我們不再關(guān)注它作為生物的一種特性，只關(guān)注它的數(shù)量關(guān)系和空間形式.

（演示課件）師：如果把這兩片葉子疊合到一起去，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

生：重合！

師：你能再舉點這樣的例子嗎？

生：比如黑板、教室的窗戶等.

師：這一類圖形有何特質(zhì)？

生：通過平移或旋轉(zhuǎn)后會重合.

師：能完全重合的圖形稱為“全等圖形”.

【解析】學(xué)生對現(xiàn)實世界中的全等現(xiàn)象是熟悉的，但對其數(shù)學(xué)屬性并不了解，因此，筆者設(shè)計了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，引導(dǎo)學(xué)生從一類圖形的共性特征中抽象出全等圖形的概念.

（二）用數(shù)學(xué)思維思考問題——對全等圖形的三度辨析

1.眼見未必為實——對圖形全等的首度辨析

探究活動1：觀察與驗證.

師：如圖1，觀察下列圖形，請找出其中的全等圖形并連線，再運用實驗材料進行驗證.

師：你是怎么找到的？

生：目測.

師：眼見未必為實，你有辦法來驗證嗎？

生：旋轉(zhuǎn)透明紙上的菱形，發(fā)現(xiàn)它們能夠重合.

師：非常好，請坐！要判斷兩個圖形是否全等，只要把它疊合到一起去，看是否完全重合.但是這個圖形是拿不出來的，利用透明紙把圖形“拿”出來比較，就可以判斷了.

【解析】紙上呈現(xiàn)的圖形是不可移動的，學(xué)生只能依靠“目測”來判斷，但這種“目測”并不嚴謹.因此，筆者通過提供和圖1完全一樣的透明材質(zhì)的操作材料，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗將圖形運動從不可操作轉(zhuǎn)化為可操作，真正讓學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過程.

2. 逆向亦或為真——對圖形全等的再度思考

師：如果把一個圖形平移（如圖2），平移后的圖形跟原圖形全等嗎？

生：是.

師：為什么？

生：因為平移時沒有改變圖形的形狀、大小.

師：如果旋轉(zhuǎn)后像圖3這樣全等嗎？

生：也是.

師：翻折后像圖4這樣呢？

生：也是.

【解析】從人的思維角度而言，既然判斷圖形是否全等可以借助平移、旋轉(zhuǎn)、翻折來驗證圖形是否重合，那么反過來呢？結(jié)論還成立嗎？

3.本質(zhì)越辨越明——對圖形全等的深度辨析

探究活動2：同一張底片沖印出來的1寸照片和2寸照片.

師：這兩張照片是全等圖形嗎？

生：不是，大小不同.

探究活動3 ：如圖5，下列兩個由三個邊長為1的小正方形組成的圖形全等嗎？

生：不是，因為它們形狀不一樣.

師：那么你有辦法讓它們變成一樣嗎？

（學(xué)生上臺操作，如圖6）

師：這個方法很好，有其他辦法嗎？

【解析】通過控制形狀和大小這兩個變量讓學(xué)生深度理解概念.

（三）用數(shù)學(xué)語言表達問題——對全等關(guān)系的深入研究

1.復(fù)雜中抽象基本，訓(xùn)練學(xué)生識圖技能

探究活動4： 操作與實踐.

師：如圖9，觀察圖形，你能找出圖中的全等圖形嗎？

（學(xué)生小組活動）

生：可以找一下對稱軸，依據(jù)對稱軸可以找出對稱圖形.比如說豎著的，橫著的也行.

師：怎樣才能不重復(fù)和遺漏呢？

生：我們對它進行分解或分類.

師：最小的三角形有幾個？

生：12個.

師：再找哪個？

生：邊長為3的三角形有6個，最大的三角形有2個.

師：三角形找完了，應(yīng)該找……

生：四邊形.

師：（邊演示邊說）還有梯形，還有更大的梯形，還有最大的梯形……還有不規(guī)則的圖形，同學(xué)們可以找出非常多的全等圖形，如圖10.

師：找全等圖形時需要把握什么樣的特征呢？

生：我認為是形狀相同，大小也要相等.

師：很好，你抓住了全等圖形的基本特征.

【解析】通過這樣的識圖訓(xùn)練，一方面可以讓學(xué)生在概念的形成過程中提升自己的思維能力，因為只有在思維過程中獲得的經(jīng)驗才更有價值；另一方面，可以讓學(xué)生進一步體悟分類討論的思想.

2.運動中感悟本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念

探究活動5：操作與實踐.

師：如圖11，圖中② 是由①經(jīng)過怎樣的運動得到的？

生：向右平移5個單位.

師：按照這樣的規(guī)律，你能在操作紙上畫出下一個圖形嗎？除了平移，再進行翻折又是怎么樣？

生：圖12中的③是由②繼續(xù)向右平移5個單位得到的.

生：圖13中的③是由②繼續(xù)向右平移3個單位，然后翻折過來得到的.

師：如果先翻折再平移是不是一樣的呢？

生：是.

師：那圖14呢？誰來說說？

生：由圖①先順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖②，再由圖②旋轉(zhuǎn)90°并翻折過來得到圖③.

師：你觀察得非常仔細.運動只是改變了圖形的位置、形狀和大小不變.今后我們將會經(jīng)常用運動的視角來研究圖形，運動前后的兩個圖形全等.

【解析】筆者設(shè)計了“描述圖形的運動和變化，并依據(jù)語言的描述來畫出圖形”這一操作活動，讓學(xué)生盡可能多地觀察、操作、類比，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

3. 變化中尋找不變，體悟數(shù)學(xué)抽象思維

小組討論：如圖15，你能用不同的方法，沿網(wǎng)格線將正方形分割成兩個全等的圖形嗎？

（學(xué)生小組合作，5分鐘后學(xué)生上臺演示，展示成果，如圖16）

師：說說看，你們是怎么找到這些分割線的？

生：我們是一條一條試出來的.

師：有沒有一般的方法呢？

（生沉默）

師：橫向與縱向其實是一樣的，因此，我們只要找到一個方向就可以了.我們不妨選擇橫向.大家仔細觀察一下，分割后兩個圖形是什么關(guān)系？

生：全等.

師：這些分割線都經(jīng)過一個什么點？

生：中心點.

師：你能想清楚為什么嗎？

生：因為分割后的兩個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)是能夠重合的.換句話說，這個分割線也一定被中心點分割成兩個全等圖形.

師：你的發(fā)現(xiàn)真妙！其實我們尋找分割線，就是要找從左側(cè)邊界上的點到中心點的連線就可以了.如圖17，這兩個點之間沿網(wǎng)格線有幾條可連的分割線呢？

生：四條.

師：還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：左側(cè)中間那個點與中心點之間也有兩條可連的分割線.

師：同學(xué)們再畫時，是不是就簡單了？只要畫出左半邊的分割線，根據(jù)全等圖形的特征，另外半邊就馬上可以補出來了.

【解析】引導(dǎo)學(xué)生在變化中尋找不變，由全等的概念展開聯(lián)想，從而抽象出兩個點之間的連線，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，從而提升學(xué)生的思維能力.

二、教學(xué)反思

本節(jié)課是《全等三角形》單元的起始課，又是學(xué)習(xí)平面圖形關(guān)系的引言課，隱含地指出平面幾何的研究對象是圖形的形狀和大小，把對稱、平移和旋轉(zhuǎn)作為研究平面幾何的基本工具，把圖形的分割與拼接作為研究平面幾何的基本方法.

（一）概念的建構(gòu)必須著眼于數(shù)學(xué)現(xiàn)實

概念教學(xué)的核心是概括，需要以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各實例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，從而歸納形成數(shù)學(xué)概念.對全等圖形數(shù)學(xué)特質(zhì)的描述是一個看似簡單、卻又有豐富內(nèi)涵的過程.教材將全等圖形的概念描述為“能夠完全重合的圖形稱之為全等圖形”，其特征為“形狀相同、大小相等”.那么，為什么不直接將全等圖形定義為“形狀相同、大小相等”呢？筆者認為，根源在于難于進行觀察和運算，用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的形狀、大小的難度要比“重合”要高.從這個意義上來說，圖形全等的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是“重合”.因此建構(gòu)“全等圖形”的概念必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光來觀察身邊的“重合”現(xiàn)象，從而提煉出這一類圖形的共性特征.

（二）概念的理解需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考

就教師而言，“全等圖形”無疑是一個非常簡單的概念，但這種“簡單”其實是我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中歷經(jīng)千辛萬苦、長期積累才得到的.由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，學(xué)生對貌似簡單的數(shù)學(xué)概念往往需要費很大周折才能真正理解.如果忽視這一點，就會造成教師以為學(xué)生很懂，而學(xué)生實質(zhì)“懵懂”的教學(xué)現(xiàn)象.因此，在教學(xué)中，教師必須要追溯概念本源，展現(xiàn)其形成過程，充分挖掘概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生理解全等圖形的特征.

本課例首先借助“數(shù)學(xué)實驗”幫助學(xué)生從感性上來體悟圖形的全等.由于缺少對圖形的數(shù)量關(guān)系的描述，學(xué)生對于兩個圖形是否“完全重合”的判斷只能依賴目測，猜想圖形“全等”.這種驗證方法并不可靠.顯然，印在紙上的平面圖形無法運動，但是，借助數(shù)學(xué)實驗材料——透明紙，就能實現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，從而判斷圖形是否全等.

其次利用“逆向思維”建構(gòu)認知沖突來思辨概念.既然可以用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來檢驗圖形是否重合，那么平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后的圖形是否和原圖形全等？這樣的想法自然產(chǎn)生，而通過對這個問題的說理思辨可以讓學(xué)生進一步加深對“完全重合”這一概念的理解.

最后通過控制“形狀”“大小”這兩個變量來挖掘概念的內(nèi)涵和外延.筆者先利用“同一底片”來控制形狀，再“利用3個邊長為1的正方形”來控制大小，讓學(xué)生感悟“完全重合”的特征就是“形狀、大小相同”，而形狀、大小是可以用數(shù)量關(guān)系來描述的，通過有趣且有效的數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生深度理解全等圖形的特征.

（三）概念的應(yīng)用需要體悟數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象要以基于感知和操作所得到的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過典型實例引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，充分討論、理解歸納共同屬性.本節(jié)課站在系統(tǒng)思維的高度引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過程，體悟概念生成的基本方法.一是通過從復(fù)雜圖形中抽象出基本的全等圖形，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，感悟分類討論的數(shù)學(xué)思想.二是根據(jù)圖形變換規(guī)律畫圖，讓學(xué)生在畫圖過程中描述圖形的運動和變化，并依據(jù)語言描述來畫出圖形，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.三是沿網(wǎng)格線分割正方形，借助一個有挑戰(zhàn)性的活動來積累圖形研究的經(jīng)驗，筆者在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生從他們所畫的圖形中尋找共性，進而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有的分割線均隱藏在三個特殊“點”之間的連線上.