線性代數(shù)例題解析

朱韜

（安徽新華學(xué)院國際教育學(xué)院，安徽 合肥 230088）

一、《線性代數(shù)》常見計(jì)算題型及常用思路

二、n階行列式

（一）排列的逆序數(shù)及其奇偶性

逆序數(shù)：一個(gè)排列中全部逆序的總個(gè)數(shù)。

逆序數(shù)為奇數(shù)（偶數(shù)）的排列稱為奇（偶）排列應(yīng)用：1.直接計(jì)算：P4 1，

（二）行列式一般項(xiàng)的符號(hào)的計(jì)算

例1：P23.5

例2 : 6階行列式一般項(xiàng)a25a33a12a51a46a64前應(yīng)加上的符號(hào)是：（正，負(fù)）

（三）行列式的計(jì)算

利用定義計(jì)算行列式適用于低階（3階以內(nèi)）或非零元素分布稀疏的行列式

應(yīng)用：例：P23 2. 4

2、初等變換化為上三角行列式。（直豎造零）

行列式三種初等變換。注意三種變換對行列式值的影響

技巧：所有行（列）都加到第一行，逐行(列)相加(減)

應(yīng)用：一般行列式的計(jì)算 例：平時(shí)作業(yè)。解方程：P24 3

3、行列式的展開。

應(yīng)用：行列式中余子式和代數(shù)余子式代數(shù)和的計(jì)算 P17.例1.9 P20 3.

（1）先分清是代數(shù)余子式還是余子式，是行列式的哪一行或列

（2）如果是余子式，先化成代數(shù)余子式

（3）將代數(shù)余子式前面的系數(shù)取代原行列式里對應(yīng)的行或列，計(jì)算得到的新行列式的值。

注：行列式的計(jì)算，可以多種方法綜合運(yùn)用，比如可以先用初等變換將行列式化為某一行或列元素較少的形式，然后再利用行列式的展開等。

（四）矩陣及其運(yùn)算

幾個(gè)常用的矩陣的性質(zhì)：

矩陣性質(zhì)的應(yīng)用：

解矩陣方程（需要求逆的和不需要求逆的）

矩陣的計(jì)算。 ||,,,*1AAAA-之間的轉(zhuǎn)換計(jì)算。注意技巧，大部分情況可以通過矩陣的運(yùn)算性質(zhì)化簡，避免“死算”。

應(yīng)用：平時(shí)的作業(yè)題

已知矩陣求伴隨矩陣，或已知伴隨矩陣（二階），求原矩陣P65. 2. 3.

矩陣多項(xiàng)式。

應(yīng)用：

1、給定一個(gè)矩陣多項(xiàng)式方程，判斷另一個(gè)矩陣多項(xiàng)式可逆。（P41.例2.13，2.14）P43.10

2、 ,1 PPA Λ=-求 )(, AAnφ 矩陣的初等變換

（1）初等矩陣的定義：單位矩陣只經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（三種類型）

應(yīng)用: 會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否初等矩陣。 P65 4.

（2）m*n型矩陣A經(jīng)過一次初等行變換等于在A的左邊乘以對應(yīng)的m階初等矩陣。A經(jīng)過一次初等列變換所得的矩陣等于在A的右邊乘以對應(yīng)的n階初等矩陣。

（3）用初等變換求矩陣的逆。

3、矩陣的秩

（1）已知矩陣，利用初等變換求矩陣的秩。

化行階梯矩陣和行最簡矩陣 P57 1

（2）已知矩陣的秩，討論矩陣元素中參數(shù)的取值范圍。P57 2，3，4

4、向量組的線性相關(guān)性

向量組線性相關(guān)性的定義及判別。P69 例3.1

向量組之間的線性表示與線性相關(guān)性。

應(yīng)用：定理3.3，定理3.4給定向量組之間的線性表示關(guān)系，推斷被表示向量組的線性相關(guān)性。P75 例3.4 3.5

（1）寫出表出矩陣

（2）計(jì)算表出矩陣的秩

向量組的極大無關(guān)組與秩。

應(yīng)用：求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組與秩，并把其他向量用極大無關(guān)組表示出來。P80 3.