線性代數(shù)課程中的特征值與特征向量教學(xué)研究*

劉智慧 付麗華 李宏偉 李超群

(中國地質(zhì)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

特征值與特征向量是《線性代數(shù)》中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-8].“特征”一詞來自德語的eigen，翻譯為“自身的”“有特征的”“特定于……的”，強(qiáng)調(diào)了特征值與特征向量對(duì)特定矩陣的重要性. 由于特征值與特征向量涉及的概念、定理較為抽象，在一定程度上阻礙了學(xué)生對(duì)其理解與認(rèn)識(shí). 如果在特征值與特征向量教學(xué)中，融入幾何直觀并通過實(shí)際生活中的具體例子闡明特征值與特征向量的作用，將在一定程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使其更好地掌握特征值與特征向量. 本文借助MATLAB軟件從幾何直觀以及出租車調(diào)配和高維數(shù)據(jù)降維的具體實(shí)例說明特征值與特征向量，注重應(yīng)用特征值與特征向量解決實(shí)際中的相關(guān)問題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)特征值與特征向量的深入理解，領(lǐng)會(huì)特征值與特征向量的數(shù)學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值.

1 矩陣的特征值與特征向量

定義1[7, 9]設(shè)A為n階矩陣，x為非零向量，若存在數(shù)λ，使得

Ax=λx

成立，則稱λ為A的特征值，x為A的屬于λ的一個(gè)特征向量.

從定義1可知，特征向量為一些特定的向量，這些向量在方陣A的作用下保持方向不變，只進(jìn)行長度上的伸縮(當(dāng)λ<0時(shí)，伸縮值為負(fù)值；當(dāng)λ=0時(shí)，伸縮值為零). 若x為A的特征向量，則kx(k≠0)也是A的特征向量，所以特征向量不是一個(gè)向量而是一個(gè)向量族.

定理1特征值分解定理[7, 9]設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，則必存在一個(gè)正交矩陣P=[p1,p2,…,pn]，使得

A=PΛPT

其中，(·)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算，Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}，λi為A的特征值，pi為A的屬于λi的特征向量.

從定理1中可知，任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣總可以用它的特征值和特征向量完全描述.

通過一個(gè)具體的例子演示矩陣的特征值和特征向量.

利用MATLAB命令求出矩陣的特征值和特征向量，相應(yīng)的MATLAB程序?yàn)椋?/p>

A=[1 0;0 2];

[P,D]=eig(A);%求矩陣A的特征值和特征向量

eigshow(A);%演示矩陣A的特征值和特征向量

例1的MATLAB程序運(yùn)行結(jié)果如下：

P=

1 0

0 1

D=

1 0

0 2

圖1描述了藍(lán)色向量Ax隨綠色向量x的變換關(guān)系，x表示二維單位向量，當(dāng)用鼠標(biāo)拖動(dòng)x圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，Ax隨著x旋轉(zhuǎn)，向量x的軌跡是一個(gè)綠色單位圓，向量Ax的軌跡為一個(gè)藍(lán)色橢圓. 在圖1中，當(dāng)x旋轉(zhuǎn)到水平方向和豎直方向時(shí)(見圖1(c)(d))，Ax恰好與x重合，即Ax=λx，由定義1知，矩陣A的兩個(gè)特征值為橢圓的短軸和長軸，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為k1(1,0)，k2(0,1)，其中k1≠0,k2≠0. 例1說明，對(duì)所有二維向量，只有形如k1(1,0)和k2(0,1)的二維向量在二階對(duì)角矩陣A的作用下保持方向不變.

圖1 矩陣特征值和特征向量的圖形演示

2 特征值與特征向量的應(yīng)用

2.1 出租車的調(diào)配問題

假設(shè)一家出租車公司在甲地和乙地各有一家分支機(jī)構(gòu)，專門負(fù)責(zé)為旅游公司提供出租車. 由于甲地和乙地距離不遠(yuǎn)，出租車每天可以往返兩地. 根據(jù)公司統(tǒng)計(jì)的歷史數(shù)據(jù)，每天甲地的車輛有60%前往乙地后返回甲地，余下40%前往乙地并留在乙地分支機(jī)構(gòu)；而每天乙地的車輛有70%前往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支機(jī)構(gòu). 假設(shè)出租車公司出租車數(shù)量是固定不變的，問：當(dāng)經(jīng)過足夠長時(shí)間后，甲地和乙地出租車數(shù)量是否會(huì)越來越不平衡？如果甲乙兩地車輛數(shù)量不平衡，公司如何調(diào)配？

(1)

式(1)用矩陣表示為

?Axn.

(2)

利用MATLAB命令求出矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=0.3，對(duì)應(yīng)的特征向量為p1=[-0.600 0,-0.800 0]T，p2=[-0.707 1,0.707 1]T.

又pi為特征向量，故xn=Anx0=c1(λ1)np1+c2(λ2)np2. 若n→∞，則(λ2)n=(0.3)n→0. 于是，當(dāng)c1>0時(shí)，

xn≈c1(λ1)np1,

(3)

以及

xn+1≈c1(λ1)n+1p1=λ1c1(λ1)np1≈λ1xn.

(4)

式(3)表明，xn的2個(gè)分量之比(甲地和乙地出租車的數(shù)量之比)近似等于p1對(duì)應(yīng)分量之比，即甲乙兩地出租車的數(shù)量之比只與最大特征值λ1=1對(duì)應(yīng)的矩陣特征向量p1有關(guān)，而與甲乙兩地初始

出租車的數(shù)量x0無關(guān). 由于p1分量之比為一個(gè)常數(shù)，所以當(dāng)經(jīng)過足夠長時(shí)間后，甲地和乙地出租車數(shù)量之比趨于一個(gè)穩(wěn)定數(shù)，即甲乙兩地車輛數(shù)量趨于平衡. 式(4)表明，xn最終以近似λ1的倍數(shù)增長，故矩陣A的最大特征值λ1確定了最終增長率.

以上例子說明，利用矩陣的特征值和特征向量，選擇矩陣較大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量可以分析出租車的調(diào)配問題.

圖2 甲地和乙地出租車數(shù)量之比

矩陣A的特征值和特征向量及圖2(a)相應(yīng)的MATLAB程序?yàn)椋?/p>

A=[0.6 0.3;0.4 0.7];

x0=[2 000;5 000];

[P,D]=eig(A);

fori=1∶30

x(:,i)=A^i*x0;

end

plot(x(1,:)./x(2,:))；

xlabel(′n/天數(shù)′);

ylabel(‘甲地車輛與乙地車輛之比’);

2.2 高維數(shù)據(jù)的降維問題

現(xiàn)有m組數(shù)據(jù)，每一組數(shù)據(jù)為n維向量，在機(jī)器學(xué)習(xí)中，若對(duì)這n維m組數(shù)據(jù)點(diǎn)直接進(jìn)行分析和挖掘，那么算法的復(fù)雜度往往與維數(shù)n呈指數(shù)級(jí)關(guān)系. 能否將n維向量組降為k維向量組(k

將此數(shù)據(jù)看作n×m的矩陣Xn×m，欲使n維向量組降為k維向量組，即尋找矩陣Pk×n，使得Pk×nXn×m=Yk×m，則矩陣Yk×m為降維的k維向量組.

下面用簡單的例子說明基于矩陣特征值和特征向量的高維數(shù)據(jù)降維問題. 圖3(a)表示五個(gè)不同的二維數(shù)據(jù)點(diǎn)，若將此數(shù)據(jù)點(diǎn)向x軸投影，則右邊的兩個(gè)點(diǎn)會(huì)重疊在一起，中間的兩個(gè)點(diǎn)也會(huì)重疊在一起，于是五個(gè)不同的二維數(shù)據(jù)點(diǎn)投影后只剩下三個(gè)不同的投影值，這是一種嚴(yán)重的信息丟失. 同理，若將此數(shù)據(jù)點(diǎn)向y軸投影，則投影后也只有三個(gè)不同的投影值. 因此x軸和y軸不是數(shù)據(jù)點(diǎn)最好的投影方向. 但若將此數(shù)據(jù)點(diǎn)向通過第一象限和第三象限的斜線投影(見圖3(b))，則五個(gè)二維數(shù)據(jù)點(diǎn)投影后為五個(gè)不同的投影值，即數(shù)據(jù)點(diǎn)向該斜線投影后，二維數(shù)據(jù)點(diǎn)降為了一維數(shù)據(jù)點(diǎn)，同時(shí)保留了五個(gè)原始數(shù)據(jù)信息. 此例說明，將高維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，只需將數(shù)據(jù)點(diǎn)向某些方向進(jìn)行投影，使得在這些方向上的投影值盡可能分散，問：如何找到這些投影方向？

圖3 二維數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況

顯然，A為對(duì)角矩陣，A對(duì)角元表示二維向量的方差(刻畫分散程度)；A對(duì)角元外的元素表示維度間的協(xié)方差(刻畫維度間的不相關(guān)性). 對(duì)五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行降維，同時(shí)盡可能保留五個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，即滿足五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)投影后投影值盡可能分散(二維向量的方差盡可能大)，同時(shí)維度間盡可能不存在相關(guān)性(維度間的協(xié)方差盡可能小)，即使得協(xié)方差矩陣A對(duì)角化(對(duì)角元的元素從大到小排列，對(duì)角元外的元素為零).

(5)

=[-2.121 3,-0.707 1,0,0.707 1,2.121 3].

其中，y為降維后的五個(gè)一維數(shù)據(jù)點(diǎn)，p1為二維數(shù)據(jù)點(diǎn)的投影方向(見圖3(b)).

二維數(shù)據(jù)點(diǎn)降為一維數(shù)據(jù)點(diǎn)的相應(yīng)MATLAB程序?yàn)椋?/p>

X=[-2 0 0 1 1;-1 -1 0 0 2];

A=(1/5)*X*X′; %數(shù)據(jù)點(diǎn)的協(xié)方差矩陣A

[P,D]=eig(A);

y=P(:,1)′*X; %降維后的一維數(shù)據(jù)點(diǎn)

以上例子說明，矩陣較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量上包含了較多的信息量，利用矩陣前面部分較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可實(shí)現(xiàn)高維數(shù)據(jù)的降維.

3 小 結(jié)

本文對(duì)《線性代數(shù)》課程中特征值和特征向量兩個(gè)抽象的概念運(yùn)用MATLAB軟件，從幾何直觀演示、出租車的調(diào)配及高維數(shù)據(jù)降維等實(shí)際問題進(jìn)行了闡述，使得學(xué)生能更好地理解和認(rèn)識(shí)特征值與特征向量，同時(shí)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力的培養(yǎng)有一定的幫助.