一類脈沖系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)構(gòu)造方法及其應(yīng)用

牛玉俊，胡雙年，吳宏鍔

(南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 南陽 473004)

0 引言

脈沖系統(tǒng)廣泛存在于生產(chǎn)生活和科學(xué)研究中，例如脈沖給藥、定時(shí)捕撈、激光脈沖系統(tǒng)以及脈沖控制等，近年來引起了眾多學(xué)者的注意[1-10].脈沖現(xiàn)象的存在會導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突然改變，從而致使系統(tǒng)的向量場不再光滑，因此常用的光滑非線性系統(tǒng)的分析方法不能直接應(yīng)用到脈沖系統(tǒng)[11]，其中非線性系統(tǒng)研究中重要的Melnikov方法，在脈沖系統(tǒng)中尚未得到系統(tǒng)地研究.

由于脈沖系統(tǒng)是一種特殊碰撞系統(tǒng)，因此碰撞系統(tǒng)的研究方法對脈沖系統(tǒng)的研究具有重要的借鑒意義.在碰撞系統(tǒng)的研究中，XU等[11]研究了一類碰撞系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并將該方法應(yīng)用到雙邊碰撞Duffing系統(tǒng)的混沌預(yù)測中去. TIAN等[12-15]研究了幾個(gè)多碰撞系統(tǒng)Melnikov函數(shù)，并給出了數(shù)值模擬，取得了較好的效果.

本文將在文獻(xiàn)[11-15]的基礎(chǔ)上，考察定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)Melnikov函數(shù)的構(gòu)造方法，給出一種定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)Menikov函數(shù)的解析表達(dá)式，并將函數(shù)應(yīng)用到脈沖信號作用下Duffing系統(tǒng)的混沌預(yù)測中去，得到了該類型脈沖系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的解析條件，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性及有效性.

1 定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)的Melnikov方法

定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)可表示為如下形式：

(1)

其中：x0為脈沖發(fā)生的位置；y-、y+分別表示脈沖發(fā)生前、后y的狀態(tài)；X=(x,y)T，F(xiàn)(X)=(y,f(X))T；G(X,t)=(0,g(X,t))T.系統(tǒng)(1)的示意圖如圖1所示.

當(dāng)ε=0時(shí)，可得未擾系統(tǒng)(2)：

(2)

設(shè)Xh(t)=(xh(t),yh(t))T是未擾系統(tǒng)(2)的同宿軌，擾動(dòng)系統(tǒng)(1)的非光滑同宿軌為

Tε,h,±=Th,±+εTh,1,±+o(ε2),

(3)

(4)

G(Xh(t),t+t0).

圖1 系統(tǒng)(1)示意圖Fig. 1 Diagrammatic sketch of system (1)

類似于光滑系統(tǒng)的推導(dǎo)，考慮如下式子:

其中算符Λ定義為：

aΛb=a1b2-a2b1,a=(a1,a2)T,b=(b1,b2)T.

類似于光滑系統(tǒng)的推導(dǎo)，對任意的t≠Tε,h,-，有

則穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形之間的距離為

(5)

由著名的光滑系統(tǒng)的Melnikov方法[11]，可得

(6)

(7)

(8)

首先，由式(3)和式(4)可知，

(9)

代入式(9)得

(10)

且由

可知

(11)

(12)

同樣的方法可得，

(13)

同時(shí)

F(Xh(Th,+))ΛXh(Th,+)-

F(Xh(Th,-))ΛXh(Th,-)+

(14)

其中

F(Xh(Th,+))ΛXh(Th,+)-F(Xh(Th,-))ΛXh(Th,-)=

(yh(Th,+))2-Xh(Th,+)f(Xh(Th,+))-

(yh(Th,-))2+Xh(Th,-)f(Xh(Th,-))=0.

結(jié)合式(12)和式(13)，有

(15)

且由系統(tǒng)(1)中的脈沖條件可知

(16)

(17)

其中

yh(Tε,h,+)=yh(Th,++εTh,1,++o(ε2))=

yh(Th,+)+εTh,1,+f(Xh(Th,+))+o(ε2),

(18)

(19)

將式(18)和(19)代入式(17)得

εTh,+f(Xh(Th,+))+o(ε2) .

(20)

同理可得

εTh,-f(Xh(Th,-))+o(ε2) .

(21)

由式(15)可得

-εα(yh(Th,-))2+o(ε2).

(22)

當(dāng)t=Th,-時(shí)，Xh(t)=x0，且有

dXh(t)=yh(t)dt，dyh(t)=f(Xh(t))dt,

故有

2f(Xh(t))dXh(t)，

從而

(23)

由式(22)知道

(24)

從而由式(5)-(8)及式(24)可知

(25)

取

(26)

基于上述分析，給出系統(tǒng)(1)的Melnikov定理如下：

定理對系統(tǒng)(1)及充分小的ε，系統(tǒng)(1)的一階Melnikov函數(shù)為式(26).若式(26)出現(xiàn)簡單零點(diǎn)，即若存t0使得M(t0)=0，M′(t0)=0，則系統(tǒng)(1)可能出現(xiàn)Smale馬蹄意義下的混沌.

2 定點(diǎn)脈沖信號作用下Duffing系統(tǒng)的混沌預(yù)測

為驗(yàn)證上面得到的Melnikov函數(shù)的有效性，考察如下定點(diǎn)脈沖系統(tǒng):

(27)

其中

X=(x,y)T，F(xiàn)(X)=(y,bx-cx3)T，

G(X,t)=(0,-ay+rcos(ωt))T.

當(dāng)ε=0時(shí)，該系統(tǒng)是一個(gè)未擾系統(tǒng)，可表示為如下形式：

(28)

其中

系統(tǒng)(28)為一個(gè)Hamilton系統(tǒng)，對應(yīng)的Hamilton函數(shù)為

其中

設(shè)Th,+=-Th,-=T0，則

對未擾系統(tǒng)(28)，當(dāng)參數(shù)取b=1、c=1、x0=1時(shí)，未擾系統(tǒng)(28)的相圖如圖2所示.從圖2中可以看出，系統(tǒng)存在同宿周期軌.

圖2 系統(tǒng)(28)的相圖Fig. 2 Phase portrait of system (28)

由式(26)可知，系統(tǒng)(27)的Melnikov函數(shù)為

令M(t0)=0，可得

r=

令

rα=

當(dāng)取a=1.05、b=1、c=1、T0=0.98、ω=1、x0=1時(shí)，通過數(shù)值積分可得

rα=1.9814+0.6485α.

(29)

由Melnikov定理知道，則當(dāng)r>rα?xí)r，系統(tǒng)(27)的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形會橫截相交，系統(tǒng)(27)會出現(xiàn)Smale馬蹄意義下的混沌.圖3給出了混沌閾值圖.

圖3的直線上方的參數(shù)組合滿足關(guān)系式r>rα，該部分出現(xiàn)的參數(shù)組合會導(dǎo)致系統(tǒng)(27)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交，從而出現(xiàn)Smale馬蹄意義下的混沌.反之，在該線之下的參數(shù)組合，將不能使系統(tǒng)(27)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形相交，不會出現(xiàn)混沌.為驗(yàn)證上述理論判斷的正確性，取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1，畫出參數(shù)r和y的分岔圖，如圖4所示.從圖4中可以明顯地看出，系統(tǒng)(27)有周期1運(yùn)動(dòng)、混沌等典型非線性現(xiàn)象.

圖3 混沌閾值圖Fig. 3 Chaotic threshold portrait

圖4 系統(tǒng)(27)的分岔圖Fig. 4 Bifurcation diagram of system (27)

取r=2.4、α=1，該點(diǎn)在圖3的直線之下，處于穩(wěn)定區(qū)域，應(yīng)為周期運(yùn)動(dòng).同時(shí)取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1，此時(shí)的相圖如圖5所示.從圖5中可以看出，此時(shí)系統(tǒng)為周期1運(yùn)動(dòng)，該結(jié)果與理論結(jié)果一致.

圖5 系統(tǒng)(27)的周期1時(shí)的相圖Fig. 5 Periodic phase diagram of system (27)

取r=2.85、α=1，該參數(shù)組合在圖3的直線之上，處于混沌區(qū)域，應(yīng)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

同時(shí)取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1，此時(shí)的相圖如圖6所示.從圖6中可以看出，此時(shí)系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)，此與理論結(jié)果相符.

圖6 系統(tǒng)(27)的混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)的相圖Fig. 6 Chaotic phase diagram of system (27)

3 結(jié)論

本文研究了定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，給出一種定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)Melnikov函數(shù)的計(jì)算方法，并在定點(diǎn)脈沖信號作用下Duffing系統(tǒng)的混沌預(yù)測中應(yīng)用，推導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的解析條件，最后用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性，說明了文中Melnikov函數(shù)的有效性.