數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學中的具體應用舉例

韋楊金

【摘 要】本文闡明數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵及應用領(lǐng)域，以例講解數(shù)形結(jié)合思想的具體應用，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”和將“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的運用方法，以幫助學生更好地運用數(shù)形結(jié)合思想方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 等差數(shù)列 立體幾何

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）07B-0117-03

高中數(shù)學幾乎處處滲透數(shù)形結(jié)合思想，在高考數(shù)學試題中大約 60% 的題型都含有數(shù)形結(jié)合思想。運用數(shù)形結(jié)合思想，可以開闊學生的解題思路，提高學習效率。

一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵及應用領(lǐng)域

（一）數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵。數(shù)形結(jié)合就是通過對數(shù)學問題的內(nèi)在層次與結(jié)構(gòu)進行分析，理清各個條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，分析它的代數(shù)含義和幾何意義，把數(shù)學問題的各種關(guān)系與空間形式結(jié)合起來。利用這種結(jié)合，可以迅速地找出解決問題的思路。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)在于把抽象、復雜的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，將代數(shù)問題幾何化，將幾何問題代數(shù)化。

（二）數(shù)形結(jié)合的應用領(lǐng)域。數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學思想，在教學過程中有重要的指導作用，在學生學習過程中有重要的價值。在初中數(shù)學中就有所涉及，例如在研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)時，所使用的方法是先畫出函數(shù)的圖象，再分析圖象得出函數(shù)的性質(zhì)。在高中數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合思想的應用就更加廣泛，例如集合問題、求函數(shù)零點的個數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、向量、數(shù)列、線性規(guī)劃、復數(shù)、解析幾何、立體幾何等有關(guān)問題都運用到數(shù)形結(jié)合思想。

二、數(shù)形結(jié)合思想的具體應用

（一）“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”的應用?！皵?shù)”轉(zhuǎn)化成“形”是我們常用的方法，圖形具有形象、直觀的特點，在解題時，通常把抽象的難以求解的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，利用圖形的直觀性來幫助我們解決抽象的代數(shù)問題。譬如，方程零點個數(shù)問題、不等式解集問題、復數(shù)問題、線性規(guī)劃問題、數(shù)列問題，等等，借助數(shù)形結(jié)合，這些問題都能快速地找出解決辦法，極大提高做題的效率。下面以數(shù)列問題為例，說明“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”的應用。

數(shù)列是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，而等差數(shù)列以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一次函數(shù)，它的前 n 項和是常數(shù)項為零的關(guān)于 n 的二次函數(shù)。因此等差數(shù)列的前 n 項和的最值問題可以結(jié)合一次函數(shù)的圖象或二次函數(shù)的圖象來求解。

〖例 1〗在等差數(shù)列{an}中，a1=5，S3=S8，問 n 為何值時， Sn 最大？

〖分析〗這是一個等差數(shù)列前 n 項和求最值的問題，解決這個問題有三種方法：配方法、通項法、圖象法。下面著重分析圖象法。

我們可以利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定 n 的值。構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知二次函數(shù)的圖象開口向下，在對稱軸處取到最大值。但值得注意的是，對稱軸對應的自變量是否為正整數(shù)？如果是正整數(shù)，則在對稱軸處取到最大值；如果不是正整數(shù)，則在與對稱軸距離最近的正整數(shù)取到最大值。

因為 不是正整數(shù)，而與 最近的正整數(shù)為 5 或 6，所以 n 取 5 或 6 時，Sn 的值最大。

值得注意的是，利用二次函數(shù)圖象的對稱性，可以快速求出對稱軸，即 Sm=Sn，則對稱軸為 。另外我們也可以利用幾何畫板畫出該函數(shù)的圖象來驗證，如圖所示：

另外我們也可以利用一次函數(shù)的圖象來解決，結(jié)合題意，應為首項大于 0，要使前 n 項和最大，那么第 n 項必須大于等于零，第 n+1 項必須小于或等于零。從圖象上來看，點（n，an）位于 x 軸的上方或 x 軸上，點（n，an+1）位于 x 軸下方或 x 軸上。由前面的方法可知 an=-n+6，令 g（x）=-x+6，畫出 g（x）的圖象，如圖所示：

從圖象可以看出點 A（5，1）位于 x 軸上方，點 B（6，0）位于 x 軸上，點 C（7，-1）位于 x 軸下方。故當 n 取 5 或 6 時 Sn 的值最大。

結(jié)論：運用數(shù)形結(jié)合思想，以形助數(shù)，可以更快地發(fā)現(xiàn)解題方法，避免復雜的計算，將復雜問題簡單化，提高解題的速度。

（二）“形”轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的應用。利用幾何圖形形象、直觀的優(yōu)點，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”，用幾何圖形來解決代數(shù)問題，非常方便、快捷。但是幾何圖形在定量方面還必須借助代數(shù)計算，因此，用數(shù)論形可以讓學生更好地理解幾何圖形意義下的數(shù)量關(guān)系。解析幾何問題、立體幾何問題等都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來解決。比如，立體幾何中二面角問題、垂直問題、平行問題以及空間兩點間的距離問題等，我們可運用向量法來解決。一般步驟：（1）建立空間直角坐標系；（2）將題中的點用坐標表示、線用向量表示；（3）把題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達形式；（4）求解出代數(shù)結(jié)果，并轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。下面以 2017 年全國高考理科數(shù)學（全國卷 1）的第 18 題第（2）小題為例。

〖例 2〗如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB//CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°。（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖分析〗求二面角 A-PB-C 的余弦值，利用幾何法必須先找出該角，才能在相應三角形中利用正、余弦定理或三角函數(shù)的知識求出該角的余弦值，但過程相當麻煩，單是找二面角就是一個難題。因此我們可以換一種思路，借助向量。因為面 APB 與面 PBC 的法向量的夾角與這兩個面的二面角互補，所以我們可以先求出面 APB 與面 PBC 的法向量的夾角。

〖解〗以 AD 中點 O 為原點，OA 為 x 軸，OP 為 z 軸建立平面直角坐標系。

結(jié)論：利用直角坐標系和向量，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，使得復雜的幾何問題簡單化，解題過程簡單易行，運用的知識也比較簡單易懂，使得學生更加容易接受和吸收。

高中數(shù)學中數(shù)學思想方法有很多種，而數(shù)形結(jié)合思想使用的頻率最高。學生要掌握這一思想的使用原則，并能靈活運用該思想來解題。如果這樣，那么就能提高解題效率，提高學生的邏輯思維能力和推理能力。因此教師在教學中應重視數(shù)形結(jié)合思想的應用，在遇到能夠用該思想解題的題型時，要用這種思想方法來解答。

【參考文獻】

[1]韋柳榮.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用[J].學周刊，2013（23）

[2]韓玉紅.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用[J].數(shù)學研究，2017（2）

[3]于瀚欽.等差數(shù)列前 n 項和的最值問題中的一題多解[J].中學生數(shù)理化，2016（11）

（責編 盧建龍）