與阿氏圓有關(guān)的廣義將軍飲馬問題

榮 賀 曲 藝

(1.北京市順義牛欄山第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教研組 101301；2.北京市順義牛欄山第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教研組 101301)

1 知其然——問題與問題解答

題目1(2018年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試(A卷)第2(2)題)如圖1-1，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，點(diǎn)C在OA上，AC=4，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為弧AB上的動點(diǎn)，OE與CD的交點(diǎn)為F.求CE+2DE的最小值.

圖1-1

圖1-2

解如圖1-2，延長OB至點(diǎn)G，使BG=OB=12，連結(jié)GC，GE.

圖2-1

圖2-2

圖3-1

圖3-2

圖4-1

圖4-2

以上題目是近幾年各種試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題目，可是不少學(xué)生對此類問題還是認(rèn)識不清.通過對參賽學(xué)生的了解，他們在考場上沒有解答出來，而看了以上解答后，感覺確實(shí)不是難題.為什么會出現(xiàn)如此大的反差呢？或許這是初學(xué)者的通病，只是停留在追問“答案是什么”的層面，還沒有去追問“為什么這樣作答”、“憑什么想到這樣作答”的層面.

本文先通過相似三角形的共邊定理，理解輔助圖形的構(gòu)造，將型如“PA+λ·PB”的最值問題，轉(zhuǎn)化為型如“PA+PC”的最值問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題.深究動點(diǎn)P的位置，引出此類問題的背景——阿氏圓，分析與理解阿波羅尼斯圓定理及性質(zhì)，最后闡明此類問題的本質(zhì).并在感受“知其然”的基礎(chǔ)上，還要“知其所以然”和“知何由以知其所以然”.

2 知其所以然——輔助圖形的構(gòu)造

為了能更好的引導(dǎo)學(xué)生處理這類問題，認(rèn)清題目考察的知識與能力，下面我們需要對以上題目加以比較，尋找共同點(diǎn)，并總結(jié)經(jīng)驗，提升方法.

幾何關(guān)系提取題目中的兩定點(diǎn)A，B同在圓內(nèi)或圓外，一動點(diǎn)P在圓周上，求型如“PA+λ·PB”的最值問題.

思路來源分析“兩點(diǎn)之間線段最短”是處理線段和最短問題的一條重要的依據(jù).當(dāng)看到“兩定點(diǎn)A，B在某界線的同側(cè)”，很容易想到“將軍飲馬”問題，接下來處理問題的關(guān)鍵就是：如何將λ·PB轉(zhuǎn)化為一條線段PC(即λ·PB=PC)且在界線的另一側(cè).而見到“λ·PB=PC”，自然聯(lián)想到“相似三角形”，構(gòu)造λ為比例系數(shù)即可.

首先，我們來處理“λ·PB”的轉(zhuǎn)化問題.

圖5-1

圖5-2

圖5-3

圖5-4

共同點(diǎn)分析觀察其中一個定點(diǎn)(D、F、C、C)的位置，結(jié)合圓的半徑和此定點(diǎn)與圓心的距離之比恰是“系數(shù)”的特點(diǎn)，容易想到構(gòu)造相似三角形來轉(zhuǎn)化線段.上面四個圖形的本質(zhì)是“相似三角形的共邊定理”，下面了解一下此定理，有利于我們構(gòu)造此類輔助圖形.

相似三角形的共邊定理[3]如果有公共邊和共線邊的兩個三角形相似，那么公共邊是共線邊的比例中項.用數(shù)學(xué)符號表示如下：

如圖6所示，△ABP∽△APC，AP是公共邊，AB和AC是共線邊.則有AP2=AB·AC.

這是平面幾何中的一個常見圖形，由相似三角形容易得出以下三個結(jié)論：

①∠APB=∠C；②∠ABP=∠APC；③AP2=AB·AC.

在此圖形中，任意兩個結(jié)論都可以推出另一個結(jié)論，其形式與直角三角形中的射影定理類似，亦可稱其為“廣義射影定理”，或簡稱“共邊定理”.

其次，處理兩線段和的最短問題.

先來看將軍飲馬問題.

將軍飲馬問題[4]數(shù)學(xué)模型如圖7-1，點(diǎn)P為定直線l上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A，B為定直線l外的兩個定點(diǎn).求當(dāng)PA+PB的值最小時，確定動點(diǎn)P的位置.

圖7-1

圖7-2

解如圖7-2，先作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B與l相交于P點(diǎn)，則PA+PB的值最小.

類比將軍飲馬問題，我們可以將上面四個題目中出現(xiàn)的圓作為廣義上的“河”，“河的同側(cè)”為圓內(nèi)或圓外，這樣，圓周上動點(diǎn)P，到圓內(nèi)(或圓外)兩定點(diǎn)A，B的距離的線性和“PA+λ·PB”的最短問題，就變成了廣義將軍飲馬問題.

廣義將軍飲馬問題如圖8-1，8-2，點(diǎn)P為定圓O上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A，B為圓O內(nèi)(或外)的兩個定點(diǎn).求當(dāng)PA+λ·PB的值最小時，確定動點(diǎn)P的位置.

圖8-1

圖8-2

最后，理順一下解答思路.

遇到廣義將軍飲馬問題，可以先利用共邊定理，將系數(shù)不是1的線段轉(zhuǎn)化為系數(shù)是1的線段，再利用兩點(diǎn)之間線段最短處理即可.

3 知何由以知其所以然——命題的背景

通過上述分析，得到了解決廣義將軍飲馬問題的一般步驟，那么，這個問題是怎么設(shè)計出來的呢？為什么這樣構(gòu)造輔助圖形呢？我們可以進(jìn)一步的追問其背景，其實(shí)在現(xiàn)行高中教科書[5] 中，B組練習(xí)3就是此問題的體現(xiàn)，問題中的圓就是阿波羅尼斯圓.下面我們來看一下阿波羅尼斯圓定理及其性質(zhì)：

此結(jié)論為阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，這個圓常稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.其中A，B兩點(diǎn)稱為該阿氏圓的基點(diǎn).

圖9-1

圖9-2

由阿氏圓定理及其證明可得以下兩個阿氏圓性質(zhì).

推論如圖9-2，若O是阿氏圓圓心，則

性質(zhì)2內(nèi)分點(diǎn)C對應(yīng)∠APB的內(nèi)角平分線；外分點(diǎn)D對應(yīng)∠APB的外角平分線.

針對性質(zhì)的應(yīng)用，可參見文獻(xiàn)[7]，本文只是利用定理及性質(zhì)，尋找出阿氏圓的基點(diǎn)，進(jìn)而幫助我們作出輔助圖形.

由阿波羅尼斯圓定理及性質(zhì)可知結(jié)論：

(1)阿氏圓的兩個基點(diǎn)與阿氏圓的圓心在同一條直線上；

(2)兩個基點(diǎn)分別在阿氏圓的圓內(nèi)和圓外；

(3)阿氏圓上點(diǎn)到兩基點(diǎn)距離之比等于阿氏圓半徑與圓心到其中一個基點(diǎn)距離之比.

有了以上三條結(jié)論，我們就能更順利的解決廣義將軍飲馬問題了.我們來看下面題目.

圖10-1

圖10-2

圖10-3

通過以上對阿波羅尼斯圓定理的認(rèn)識和簡單應(yīng)用，在線段的轉(zhuǎn)化上有了新的手段，處理此類廣義將軍飲馬問題也就更加容易了.

(1)兩定點(diǎn)A，B在圓外時：

(2)兩定點(diǎn)A，B在圓內(nèi)時：

綜上所述，要讓圓外的基點(diǎn)B對應(yīng)線段PB的系數(shù)|λ|<1(或圓內(nèi)的基點(diǎn)B對應(yīng)線段PB的系數(shù)|λ|>1)，這樣才能利用R2=OM·OB尋找另一基點(diǎn)M.其中，λ>0時，可求型如“AP+λ·PB”的最小值問題；λ<0時，可求型如“AP+λ·PB”的最大值問題.而當(dāng)λ=±1時，顯然結(jié)論平凡.

下面請看例題感受一下.

圖11-1

圖11-2

題目7(2018年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試2題改編)如圖12-1，在扇形OAB中，∠COD=90°，OC=12，點(diǎn)B在OD上，BD=4，點(diǎn)A為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為弧CD上的動點(diǎn).求2PA+3PB的最小值.

圖12-1

圖12-2

通過上述問題的分析和解答，希望對幾何的學(xué)習(xí)能有所幫助，不要只是停留在“答案是什么”的層面，還需要去追問“為什么這樣做”、“憑什么這樣想”的層面.理解“知其然”，還要“知其所以然”和“知何由以知其所以然”.