泰勒公式的截斷誤差的估計及其在物理中的應(yīng)用

楊 磊

(大連財經(jīng)學院,遼寧 大連 116000)

在初等函數(shù)中,最簡單的函數(shù)就是多項式,對于數(shù)值計算和理論分析都很方便,而用多項式近似表達復(fù)雜函數(shù)是高等數(shù)學中近似計算與理論分析的一個重要內(nèi)容,泰勒公式在數(shù)學運算中起著非常重要的作用,利用帶有余項的泰勒公式可以簡單地解決一些復(fù)雜問題。泰勒公式余項有多種類型,根據(jù)需要可以選擇不同的余項類型,主要有皮亞諾型余項、拉格朗日型余項、柯西型余項。一般處理方式是先求出余項的表達式(比如拉格朗日型余項),再證明截斷誤差的估計,但是推導余項表達式的過程較為繁雜,有一定難度。另一方面,在泰勒公式的使用中,更加有用的是截斷誤差的估計,也就是用泰勒多項式近似表示函數(shù)產(chǎn)生的誤差Rn(x)的上界,這樣的處理方式絲毫不會影響泰勒公式對于近似計算的應(yīng)用價值。

下面先給出泰勒公式的截斷誤差的估計證明方法,再探討在實際物理計算中對誤差估計的應(yīng)用。

1 預(yù)備知識

定理1[1-3]如果函數(shù)y=f(x)在含有x0點的開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在直至n階導數(shù),則當x∈(a,b)有

(1)

其中(1)式稱為函數(shù)f(x)在點x0處的泰勒公式,Rn(x)稱為泰勒公式的皮亞諾型余項。

定理2 如果函數(shù)y=f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直至n+1階導數(shù),則當x∈(a,b)時,f(x)可以表示為Δx=x-x0的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和,即

(2)

特別在x0=0時,有

其中ξ介于0與x之間,它被稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式。

2 泰勒公式的截斷誤差的估計證明

假定函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)存在n階導數(shù),pn(x)為函數(shù)f(x)在點x0處的n階泰勒多項式,記Rn(x)=f(x)-pn(x),稱Rn(x)為n階余項。

下面的定理在不依賴余項表達式的情況下給出截斷誤差的估計。

如此反復(fù)下去就得到

只要知道求截斷誤差的估計,不必推導拉格朗日型余項表達式。因此,上述定理關(guān)于泰勒公式中截斷誤差的估計的證明方法具有一定的參考價值。

3 泰勒公式的截斷誤差的估計在物理問題上的應(yīng)用

(3)

其中m0是該物體在靜止狀態(tài)下的質(zhì)量,c是光速。這個物體的動能是K=mc2-m0c2

(4)

2) 利用泰勒公式估計當|v|<100m/s時,牛頓經(jīng)典公式誤差。

解 1)將(3)式中的m的表達式代入(4)式得到

(5)

代入(5)式得到

(6)

根據(jù)泰勒公式,當|x|≤b<1時,在x0=0處的泰勒展開式為：

例2[6]波長等于L、速度等于v的水波在穿過深度為d的水體時,滿足

3)證明 當L>10d時,近似估計式v2≈gd的誤差不超過0.014gL。

3)由v2麥克勞林展開式得到

在物理學中,為了獲得對某個公式更為深刻的認識,經(jīng)常用泰勒級數(shù)對函數(shù)進行化簡。例如在函數(shù)的泰勒級數(shù)中只保留一項、兩項或者三項,物理學常用函數(shù)的泰勒多項式近似表示函數(shù)本身。泰勒公式的誤差上界可以保證這種近似具有一定的精確度。