基于置信水平的畢達(dá)哥拉斯模糊綜合評(píng)價(jià)方法

曾守楨，張崇輝

(1.寧波大學(xué) 商學(xué)院，浙江 寧波 315211；2.浙江工商大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一、引言

綜合評(píng)價(jià)是管理學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法體系的一個(gè)重要分支，其理論與方法已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、管理、工程和軍事等諸多領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)效益評(píng)價(jià)、市場(chǎng)化進(jìn)程測(cè)評(píng)、信息化測(cè)評(píng)、競(jìng)爭(zhēng)力評(píng)價(jià)、環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)、小康社會(huì)及和諧社會(huì)評(píng)價(jià)等等。在現(xiàn)實(shí)很多綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題中，評(píng)價(jià)者不僅需要給出評(píng)估對(duì)象的“評(píng)估值”，同時(shí)也要求給出對(duì)該評(píng)估值的熟悉程度”或“置信度”，或者稱為“置信水平”。例如，在博士論文、期刊論文、獎(jiǎng)獲評(píng)審、國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目評(píng)審等問(wèn)題中，專家在給出“評(píng)估值”的同時(shí)，還須以類似“熟悉程度”等形式說(shuō)明自己評(píng)判的可靠性。“置信水平”的實(shí)質(zhì)就是評(píng)審專家對(duì)自己評(píng)判的可靠性的主觀評(píng)價(jià)，應(yīng)該受到重視。然而如何規(guī)范地將“置信水平”信息融入專家的最終評(píng)判評(píng)估結(jié)果并以此做出決策卻成了難題。針對(duì)此類考慮置信水平的評(píng)價(jià)問(wèn)題，朱衛(wèi)東等提出利用歷史評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性衡量專家提供的評(píng)價(jià)信息可靠性的方法，進(jìn)而提出一種基于證據(jù)理論的科學(xué)基金項(xiàng)目評(píng)估決策模型[1]。張洪濤等將同行評(píng)議表中的“熟悉程度”信息納入項(xiàng)目立項(xiàng)評(píng)估決策中，并以“熟悉程度”對(duì)專家進(jìn)行賦權(quán)，從而構(gòu)建了多維框架證據(jù)推理的科研項(xiàng)目立項(xiàng)評(píng)估方法[2]。由于證據(jù)理論方法對(duì)證據(jù)進(jìn)行合成時(shí)，必須考慮證據(jù)獨(dú)立及證據(jù)間是否存在強(qiáng)沖等復(fù)雜問(wèn)題，Xia等提出了兩種融合評(píng)價(jià)值和置信水平的簡(jiǎn)便方法，即置信誘導(dǎo)加權(quán)平均(CIWA)算子和置信誘導(dǎo)加權(quán)幾何(CIWA)算子，并研究了該方法在猶豫模糊信息多指標(biāo)評(píng)價(jià)問(wèn)題中的應(yīng)用[3]。在CIWA集成方法的基礎(chǔ)上，Yu提出了置信有序加權(quán)平均(COWA)算子，并研究了該方法的優(yōu)點(diǎn)和性質(zhì)[4-5]。由于集成規(guī)則簡(jiǎn)便有效，該 COWA算子目前得到了眾多學(xué)者的關(guān)注，如Yu研究了COWA集成方法在直覺(jué)模糊情形中的應(yīng)用，提出了一系列的置信直覺(jué)模糊信息集成方法，如置信直覺(jué)模糊有序加權(quán)平均(CIFOWA)算子和置信直覺(jué)模糊愛(ài)因斯坦加權(quán)平均(CIFEWA)算子等，并研究了這些算子在博士論文評(píng)審中的應(yīng)用[4]。Ma和Zeng進(jìn)一步提出了置信直覺(jué)模糊信息混合加權(quán)集成方法[6]。針對(duì)評(píng)價(jià)信息為語(yǔ)言變量的評(píng)價(jià)問(wèn)題，Zhang等研究了COWA算子在語(yǔ)言情形中的應(yīng)用，提出了幾種基于語(yǔ)言信息的置信加權(quán)方法，并研究了這些方法在基金和論文評(píng)審中的應(yīng)用[7]。

從以上研究可看出，現(xiàn)有的置信算子能有效地將評(píng)價(jià)值和置信水平融合到評(píng)估結(jié)果中，且計(jì)算簡(jiǎn)便，得到了廣大研究者的推廣和使用。然而現(xiàn)有方法存在兩個(gè)明顯的缺陷：一是不能有效體現(xiàn)置信水平在集成過(guò)程的誘導(dǎo)作用，如朱衛(wèi)東等和張洪濤等只是簡(jiǎn)單將專家置信度與評(píng)價(jià)信息集成，未考慮其對(duì)專家重要性的誘導(dǎo)作用[1-2]；二是該算子不具備有界性，如Xia等構(gòu)造的CIWA和COWA算子不滿足集成算子的有界性，使得最終評(píng)估值不具備可比性和科學(xué)性[3-5]?；诖?，本文擬提出一種融合專家“評(píng)價(jià)值”和“置信水平”的新集成方法，從而改進(jìn)現(xiàn)有方法的缺陷，并探討其優(yōu)良性質(zhì)和在畢達(dá)哥拉斯模糊情形中的應(yīng)用，最后將該方法應(yīng)用于博士論文評(píng)審問(wèn)題中以檢驗(yàn)其有效性。

二、置信誘導(dǎo)有序加權(quán)算子

在很多實(shí)際綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題中，為了提高評(píng)價(jià)結(jié)果的科學(xué)性，專家在給出評(píng)估值的同時(shí)，往往還須以類似“置信水平”(或“熟悉程度”)等形式說(shuō)明自己評(píng)判的可靠性。設(shè)ai(i=1,2,…,n)是專家對(duì)方案指標(biāo)的評(píng)價(jià)值，li(i=1,2,…,n)是與評(píng)價(jià)值ai(i=1,2,…,n)相對(duì)應(yīng)的置信水平，為了有效融合專家“評(píng)價(jià)值”和“置信水平”信息，基于有序加權(quán)(OWA)算子的思想[8]，Yu[4]提出了置信有序加權(quán)平均(COWA)算子，其定義如下：

定義1設(shè)COWA：Rn×Rn→R，若

COWA(,…,)

(1)

由以上定義可知，COWA首先對(duì)置信水平與評(píng)價(jià)值的乘積大小進(jìn)行排序，然后按照從大到小與權(quán)重w=(w1，w2，…，wn)T加權(quán)集成，其實(shí)質(zhì)還是一種有序加權(quán)平均算子，并沒(méi)有體現(xiàn)置信水平作為誘導(dǎo)變量的作用。另外，該方法在應(yīng)用中存在無(wú)界性的缺陷，下面通過(guò)例1進(jìn)行說(shuō)明。

例1 設(shè)有3名專家對(duì)某個(gè)方案進(jìn)行評(píng)估打分，滿分100分，最低0分。由于專家學(xué)科背景與專業(yè)的差異，每個(gè)專家對(duì)評(píng)價(jià)方案的熟悉度不一樣，因而每個(gè)專家給出評(píng)價(jià)信息的同時(shí)也給出了其相應(yīng)的置信度，10表示非常自信，0表示非常不自信。若三位專家給出的置信水平與評(píng)價(jià)值分別如下：

=〈9,60〉，=〈7,80〉，

=〈8,65〉

則有：

l1a1=540，l2a2=560，l3a3=520

從而

lσ(1)aσ(1)=l2a2=560，lσ(2)aσ(2)=l1a1=540，

lσ(3)aσ(3)=l3a3=520

假設(shè)與COWA相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量為(0.2,0.4,0.4)T，則：

COWA(〈9,60〉,〈8,65〉,〈7,80〉)=0.2×560+0.4×540+0.4×520=424

在本例中，顯然第一位專家的置信水平比第二位專家高(l1=9>l3=7)，說(shuō)明第一位專家應(yīng)該對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象比第二位專家更自信和更有把握，因而其意見(jiàn)應(yīng)該優(yōu)先集結(jié)加權(quán)。然而根據(jù)方程(1)定義的COWA的加權(quán)規(guī)則，第二位專家的意見(jiàn)優(yōu)先于第一位專家加權(quán)，從而導(dǎo)致置信度低的意見(jiàn)優(yōu)先于置信度高的意見(jiàn)加權(quán)，這與事實(shí)不相符。在實(shí)際問(wèn)題的評(píng)價(jià)與決策過(guò)程中，一般地，若專家給出的置信水平li越大，表示該專家對(duì)所要評(píng)價(jià)的對(duì)象比較熟悉，對(duì)給出的評(píng)價(jià)值比較自信，因此對(duì)于這種高置信水平對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)值ai，應(yīng)該優(yōu)先進(jìn)行加權(quán)集成。然而，例1說(shuō)明COWA算子并不能充分體現(xiàn)置信水平li這樣的誘導(dǎo)作用。另外可看出該方案的最終評(píng)價(jià)值為424，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其滿分100，從而導(dǎo)致該評(píng)價(jià)值不具有科學(xué)性和可比性，其原因如前所述，主要是因?yàn)镃OWA算子不具備有界性。

為克服上述缺陷，下面提出一種新的融合專家評(píng)價(jià)值和“置信水平”信息的集成方法，定義如下：

定義2設(shè)CIOWA：Rn×Rn→R，若

CIOWA(,…,)

(2)

現(xiàn)在利用CIOWA算子對(duì)例1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行集成，即三位專家給出的置信水平與評(píng)價(jià)值分別如下：=〈9,60〉，=〈7,80〉和=〈8,65〉，為方便計(jì)算，設(shè)

則有：

同理可得：

r2=0.410，r3=0.359

根據(jù)CIOWA的運(yùn)算規(guī)則，

CIOWA(〈9,60〉,〈8,65〉,〈7,80〉)=0.231×60+0.410×65+0.359×80=69.23

可以看出，CIOWA算子在集成過(guò)程中完全根據(jù)置信度的大小進(jìn)行誘導(dǎo)加權(quán)，即置信水平高的評(píng)價(jià)值優(yōu)先集成，從而充分考慮和尊重了更自信和更有把握的評(píng)價(jià)意見(jiàn)，而且最終評(píng)價(jià)值為69.23，介于最高評(píng)價(jià)值和最低評(píng)價(jià)值間，克服了COWA算子集成結(jié)果不能滿足有界性的缺陷。

特別地，下面證明經(jīng)典的誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子[9]是CIOWA算子的特例。

命題1IOWA算子是CIOWA的特例。

證明：設(shè)l1=l2=…=ln=l，

則

從而

CIOWA(,…,)

=IOWA(,…,)

證畢。

CIOWA算子具有一般加權(quán)算子良好性質(zhì)，如有界性、單調(diào)性和冪等性等。下面僅證明CIOWA的有界性，其他性質(zhì)可類似證明。

命題2(有界性) 設(shè)(i=1,2,…,n)是一組專家的置信水平與相應(yīng)的評(píng)價(jià)值，則：

CIOWA(,…,)

=CIOWA(,…,)，

從而有

x≤CIOWA(,…,)≤y

證畢。

在實(shí)際評(píng)價(jià)與決策問(wèn)題中，往往需要考慮評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，然而CIOWA算子只考慮了加權(quán)位置的重要性，具有一定的局限性，為此進(jìn)一步提出置信誘導(dǎo)混合加權(quán)(CIHW)算子，定義如下：

定義3設(shè)CIHW：Rn×Rn→R，若

CIHW(,…,)=

(3)

下面證明CIOWA算子是CIFHW的特例。

命題3CIOWA算子是置信誘導(dǎo)混合集成算子CIHW的特例。

CIHW(,…,)

=CIOWA(,…,)

證畢。

顯然，CIHW兼具CIOWA算子的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)，既考慮了待集成評(píng)價(jià)值的重要性又考慮了其所在位置的重要性。然而CIHW只適用于評(píng)價(jià)值為實(shí)數(shù)的情形，下面研究其在畢達(dá)哥拉斯模糊集情形中的應(yīng)用。

三、基于畢達(dá)哥拉斯模糊信息的CIHW集成方法

Atanassov改進(jìn)了僅僅考慮隸屬度的傳統(tǒng)模糊集的缺陷，提出了同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個(gè)方面信息的直覺(jué)模糊集[10]。直覺(jué)模糊集在處理模糊性和不確定性等方面更具靈活性和實(shí)用性，引起了眾多研究者越來(lái)越多的重視和關(guān)注，相應(yīng)的成果也較豐富[11]10-54[12]8-15[13]12-18[14]10-20。然而在直覺(jué)模糊評(píng)價(jià)和決策的過(guò)程中，Yager教授發(fā)現(xiàn)專家給出的方案滿足指標(biāo)(屬性)的隸屬度和非隸屬度之和往往出現(xiàn)大于1的情況，為此，Yager定義了一種新的模糊集—畢達(dá)哥拉斯模糊集[16]，其特征是允許隸屬度和非隸屬度之和超過(guò)1，而其平方和不超過(guò)1，從而使得專家在評(píng)價(jià)過(guò)程中不必重新修改直覺(jué)模糊評(píng)價(jià)值也可以進(jìn)行決策。近期眾多學(xué)者從信息集成、距離測(cè)度和模式識(shí)別等不同角度對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊集進(jìn)行了深入的拓展研究[17-21]。本節(jié)將研究基于畢達(dá)哥拉斯模糊的CIHW算子集成方法。首先簡(jiǎn)單回顧畢達(dá)哥拉斯模糊集的定義及其運(yùn)算規(guī)則。

定義4[16]設(shè)X為論域，則稱

A=〈x,μA(x),vA(x)〉x∈X

(4)

(1)若s(α1)

(2)若s(α1)=s(α2)，則：

若h(α1)

若h(α1)>h(α2)，則α1?α2；

更多關(guān)于畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的運(yùn)算規(guī)則和集成方法可參見(jiàn)Yager Ronld R和Zhang Xiao lu等的研究文獻(xiàn)[16-17]。

信息集成是畢達(dá)哥拉斯模糊集理論研究中的一個(gè)重要領(lǐng)域，Yager提出了畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)平均算子(PFWA)[16]，在此基礎(chǔ)上，Zhang和Xu提出了畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)算子[17]。劉衛(wèi)鋒等提出了一系列的畢達(dá)哥拉斯模糊擬加權(quán)平均算子和擬加權(quán)幾何算子，劉衛(wèi)鋒等定義畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的交叉影響加法、數(shù)乘、乘法及冪運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上研究了基于畢達(dá)哥拉斯模糊信息的交叉影響加權(quán)集成方法，Zeng等提出了畢達(dá)哥拉斯模糊混合有序加權(quán)距離算子，并研究了其在多屬性決策問(wèn)題中的應(yīng)用[23-25]。

然而以上畢達(dá)哥拉斯模糊信息集成算子都不能對(duì)“置信水平”信息進(jìn)行有效集成，為此下面將研究CIHW算子在畢達(dá)哥拉斯模糊集情形中的應(yīng)用，提出置信誘導(dǎo)畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)(CIPFHW)集成算子，定義如下：

定義6設(shè)αj=(μj,vj)(j=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，且設(shè)CIPFHW：Rn×Ωn→Ω，若

CIPFHW(,…,)

(5)

CIPFHW(,…,)

(6)

例2 設(shè)α1=(0.5，0.8)、α2=(0.7，0.7)、α3=(0.6，0.3)為3個(gè)專家給出的畢達(dá)哥拉斯模糊評(píng)價(jià)信息，專家的權(quán)重向量是ω=(0.4,0.5,0.1)T，專家對(duì)自己給出意見(jiàn)的置信水平向量是l=(0.7,0.9,0.5)T。下面利用CIPFHW算子計(jì)算3名專家對(duì)該方案的評(píng)價(jià)結(jié)果。

首先對(duì)置信水平進(jìn)行排序，可得：

lσ(1)=0.9，lσ(2)=0.7，lσ(3)=0.5

這里平衡系數(shù)n=3，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯模糊運(yùn)算法則求得加權(quán)評(píng)價(jià)值：

=(0.797，0.586)

=(0.540，0.765)

=(0.354,0.697)

假設(shè)w=(0.2,0.5,0.3)T為CIPFHW算子相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，根據(jù)置信水平計(jì)算權(quán)重rj：

=0.265

=0.515

=0.220

則由式(5)或式(6)，可得：

CIPFHW(,,)=(0.615,0.698)

下面研究CIPFHW算子的幾種特殊形式：

(1)當(dāng)ω=(1/n,1/n,…,1/n)T，則CIPFHW退化成置信誘導(dǎo)畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)平均(CIPFOWA)算子：

CIPFOWA(,…,)

(7)

其中，w=(w1，w2，…，wn)T為CIPFOWA相應(yīng)的權(quán)向量，(σ(1),σ(2),…,σ(n))是(1,2,…,n)的任一置換，使得對(duì)任意的j，有l(wèi)σ(j-1)≥lσ(j)，βj是與置信水平lσ(j)相對(duì)應(yīng)的PFN評(píng)價(jià)值。

(2)當(dāng)w=(1/n,1/n,…,1/n)T，CIPFHW算子退化為置信誘導(dǎo)畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)平均(CIPFWA)算子：

(8)

(3)當(dāng)l1=l2=…=ln=l，評(píng)價(jià)值的置信水平都一致，則CIPFHW算子退化為畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)平均(PFHW)算子：

(9)

四、基于CIPFHW算子的畢達(dá)哥拉斯模糊綜合評(píng)價(jià)方法

步驟1專家對(duì)評(píng)價(jià)方案Ai(i=1,2,…,m)的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)Gj(j=1,2,…,n)進(jìn)行評(píng)估，給出的評(píng)價(jià)信息為αij=(μij，vij)(i=1,2,…,m；j=1，2，…，n)，從而可得到方案的畢達(dá)哥拉斯模糊評(píng)價(jià)矩陣R=(αij)m×n。

步驟2專家根據(jù)自己對(duì)決策方案的熟悉程度，給出與評(píng)估值αij相應(yīng)的置信水平lij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)。

步驟3利用CIPFHW算子對(duì)評(píng)價(jià)矩陣R=(αij)m×n中的第i行的所有元素αij(i=1,2,…,m)進(jìn)行集結(jié)，得到方案Ai(i=1,2,…,m)的綜合評(píng)價(jià)值αi(i=1,2，…，m)

αi=CIPFHW(,…,)

i=1,2,…,m

(10)

步驟4計(jì)算綜合評(píng)價(jià)值的αi(i=1,2,…,m)的得分函數(shù)s(αi)(如有必要再精確函數(shù)h(αi))(i=1,2,…,m)，并根據(jù)PFN的比較規(guī)則對(duì)各方案進(jìn)行排序，從而得到最佳方案。

下面將以論文評(píng)審的例子說(shuō)明基于CIPFHW算子的多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)方法的實(shí)用性。

例 3[4]設(shè)某高校進(jìn)行優(yōu)秀論文評(píng)審，要求評(píng)審專家主要從以下幾方面進(jìn)行評(píng)估：G1選題與文獻(xiàn)綜述；G2創(chuàng)新性；G3理論深度與專業(yè)知識(shí)；G4科學(xué)研究能力；G5寫(xiě)作能力。設(shè)專家對(duì)5份審評(píng)論文Ai(i=1,2,3,4,5)進(jìn)行打分，評(píng)價(jià)結(jié)果如下：

表1 專家評(píng)價(jià)矩陣

為了更加全面地對(duì)論文進(jìn)行評(píng)審，學(xué)校要求評(píng)審專家對(duì)論文的5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的熟悉程度進(jìn)行打分(分值范圍從0到1，1是非常熟悉，0完全不熟悉)，設(shè)專家對(duì)指標(biāo)的熟悉程度給出的分值是lj=(0.8,0.7,0.9,0.8,0.6)(即置信水平)。設(shè)5個(gè)指標(biāo)的權(quán)重向量是ω=(0.1,0.3,0.1,0.3,0.2)T，與CIPFHW相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量是w=(0.11,0.24,0.30,0.24,0.11)T，則根據(jù)CIPFHW集成方法可得5份論文的綜合評(píng)價(jià)值如下：

α1=(0.659,0.300)，α2=(0.767,0.317)，

α3=(0.720,0.320)，α4=(0.671,0.384)，

α5=(0.683,0.322)

計(jì)算αi(i=1,2，…，5)的得分函數(shù)s(αi)(i=1，2，…，5)：

s(α1)=0.344，s(α2)=0.488，s(α3)=0.416，

s(α4)=0.302，s(α5)=0.363

由于

s(α2)>s(α3)>s(α5)>s(α1)>s(α4)

因此論文排序方案A2?A3?A5?A1?A4，即A2為最優(yōu)論文。

如果不考慮專家的置信水平，即假設(shè)專家對(duì)論文的每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)領(lǐng)域都一樣熟悉，確信自己能給出十分確信的判斷，則直接用畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)(PFHW)算子集成專家評(píng)價(jià)信息，可得到5篇論文的綜合得分分別為：

s(α1)=0.369，s(α2)=0.513，s(α3)=0.425，

s(α4)=0.314，s(α5)=0.359

可以看出最優(yōu)的論文也是A2，但是后面3篇論文的排序發(fā)生了明顯的變化，說(shuō)明置信水平信息將影響方案評(píng)估的最終結(jié)果。由于評(píng)估者往往來(lái)自不同的機(jī)構(gòu)部門(mén)，其專業(yè)背景和工作領(lǐng)域可能不同，必然導(dǎo)致對(duì)某些領(lǐng)域熟悉，而其余的領(lǐng)域不太熟悉或者陌生。因此，在對(duì)各方案評(píng)價(jià)過(guò)程中，為提高評(píng)價(jià)結(jié)果的科學(xué)有效性，評(píng)價(jià)者在給出評(píng)價(jià)值的同時(shí)，可給出類似“熟悉程度”等形式說(shuō)明自己評(píng)判的可靠性，也即評(píng)價(jià)值的置信度，從而保證評(píng)價(jià)者能夠真實(shí)主動(dòng)給出自己的評(píng)判。文中例題顯示，本文提出的融合專家“評(píng)價(jià)值”和“熟悉程度”的集成模型，改進(jìn)了現(xiàn)有方法的缺陷，能有效集結(jié)專家對(duì)該領(lǐng)域的熟悉程度和判斷水平，從而得到的評(píng)估結(jié)果更加合理和可信。

五、結(jié)論

本文融合專家“評(píng)價(jià)值”和“熟悉程度”的集成模型，研究了其在畢達(dá)哥拉斯模糊情形下的綜合評(píng)價(jià)方法。在很多實(shí)際工作中，如國(guó)家自然科學(xué)基金通訊評(píng)議及博士論文評(píng)審等，專家不僅要給出關(guān)于評(píng)價(jià)對(duì)象的“評(píng)估值”，還須以類似“熟悉程度”等形式說(shuō)明自己評(píng)判的可靠性。分析現(xiàn)有的集成算子的不足之處，本文提出了一種改進(jìn)的集成方法，并對(duì)其有效性理論進(jìn)行充分的論證，探討了新集成方法與現(xiàn)有集成算子之間的關(guān)系；其次研究了該置信集成方法在畢達(dá)哥拉斯模糊情形的應(yīng)用，提出了相應(yīng)的評(píng)價(jià)方法及其在博士論文評(píng)審中的應(yīng)用。該方法不但計(jì)算簡(jiǎn)便快捷，充分利用已有的評(píng)價(jià)信息，而且能充分考慮專家的置信水平，增強(qiáng)了評(píng)價(jià)結(jié)果的正確性和合理性。因而，該方法具有較高的實(shí)用價(jià)值，可應(yīng)用于投資決策、人事管理、項(xiàng)目評(píng)估、經(jīng)濟(jì)效益綜合評(píng)價(jià)等諸多領(lǐng)域。