機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截新型微分幾何制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

黃景帥, 張洪波, 湯國建, 包為民,2

(1. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙 410073;2. 中國航天科技集團(tuán)有限公司, 北京 100048)

0 引 言

隨著空天技術(shù)的飛速發(fā)展,來襲目標(biāo)速度越來越快,并具備一定的機(jī)動(dòng)能力,給現(xiàn)有的防空反導(dǎo)系統(tǒng)造成了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。攔截末制導(dǎo)律作為其中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù),負(fù)責(zé)在攔截末段導(dǎo)引導(dǎo)彈直接碰撞殺傷目標(biāo)。實(shí)施機(jī)動(dòng)作為目標(biāo)逃避攔截的主要手段之一,將致使導(dǎo)彈消耗更多的過載,降低制導(dǎo)精度。因此,如何設(shè)計(jì)能夠有效應(yīng)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)又節(jié)省過載消耗的末制導(dǎo)律變得至關(guān)重要。

由于形式簡單、工程易實(shí)現(xiàn),比例導(dǎo)引(proportional navigation,PN)成為目前應(yīng)用最廣泛的制導(dǎo)律[1]。對(duì)于非機(jī)動(dòng)或弱機(jī)動(dòng)目標(biāo),PN能夠取得優(yōu)異的制導(dǎo)性能。但是,由于僅令制導(dǎo)加速度正比于視線轉(zhuǎn)率,未直接針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行處理,導(dǎo)致PN只具備有限的攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的能力。增廣型PN雖然對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行了補(bǔ)償,但是需要目標(biāo)的加速度信息,通常情況下難以精確獲得,不利于工程實(shí)現(xiàn)[2]。因此,學(xué)者們基于不同理論提出了諸多先進(jìn)制導(dǎo)律,如滑模制導(dǎo)律[3-4]、有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律[5-6]、微分幾何制導(dǎo)律(differential geometric guidance law,DGGL)[7-8]等,期望產(chǎn)生優(yōu)于PN的性能。

微分幾何理論在弧長體系下引入曲率和撓率參數(shù)分別刻畫空間光滑曲線的彎曲和扭曲程度,當(dāng)設(shè)定初始的伏雷內(nèi)標(biāo)架后,通過曲線的曲率和撓率值,即可確定曲線在空間中的變化趨勢(shì)[9]。然而,導(dǎo)彈的攔截制導(dǎo)實(shí)質(zhì)上等同于彈道曲線的在線規(guī)劃問題,如果實(shí)時(shí)地給出彈道曲線的曲率和撓率參數(shù),同樣可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的制導(dǎo)。因此,微分幾何理論為攔截制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)提供了全新的視角,成為近年來研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]基于微分幾何理論在弧長體系下描述了三維的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng),提出了由曲率和撓率指令構(gòu)成的DGGL。在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]研究了平面內(nèi)DGGL的形式。利用滑?？刂评碚摵屠钊悍椒?文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種非線性的DGGL,仿真表明,在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)方面其制導(dǎo)性能優(yōu)于文獻(xiàn)[7]中的DGGL。文獻(xiàn)[11]將目標(biāo)機(jī)動(dòng)作為外界擾動(dòng)項(xiàng),基于二階滑模控制器和零化視線角速率的思想設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)性能優(yōu)于文獻(xiàn)[10]中的DGGL。但是,上述制導(dǎo)律的推導(dǎo)均基于假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)常速度飛行,且導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度比大于1來進(jìn)行,極大限制了DGGL的應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)[12]不針對(duì)導(dǎo)彈和目標(biāo)施加任何限制,直接推導(dǎo)得到了應(yīng)用范圍擴(kuò)展的DGGL。通過定義的視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,文獻(xiàn)[13]提出了一種廣義的微分幾何制導(dǎo)律(generalized DGGL,GDGGL),垂直于視線方向的指令加速度作為可設(shè)計(jì)變量,為獲得更有效和實(shí)際的DGGL提供了巨大的空間。此外,取代復(fù)雜且需要目標(biāo)加速度信息的撓率指令,文獻(xiàn)[14-15]分別給出了直接解算指令加速度方向的幾何和代數(shù)方法,提高了DGGL的魯棒性?；贕DGGL,文獻(xiàn)[16]應(yīng)用有限時(shí)間穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了一種DGGL,可保證視線轉(zhuǎn)率在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零。DGGL型制導(dǎo)律雖然與純比例導(dǎo)引(pure PN,PPN)同屬于以導(dǎo)彈速度為參考的制導(dǎo)律范疇,適用于大氣層內(nèi)攔截,但是其提供了一種全新的制導(dǎo)體制,且通過合理設(shè)計(jì)可具備更優(yōu)異的性能。視線轉(zhuǎn)率在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零或其鄰域,固然會(huì)提高制導(dǎo)精度,但是在攔截初段可能會(huì)產(chǎn)生較大過載,致使過載分布不均勻。

在先進(jìn)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)過程中,均無法回避目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度項(xiàng)的處理,目前主要有兩種處理方法。一是利用非線性觀測器對(duì)其進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而補(bǔ)償?shù)皆O(shè)計(jì)的制導(dǎo)律中[5-6,12,15-17]。但是,觀測器的估計(jì)誤差存在初始尖峰現(xiàn)象,且誤差的存在導(dǎo)致制導(dǎo)律的穩(wěn)定性難以證明。此外,目前文獻(xiàn)在仿真驗(yàn)證中均假設(shè)構(gòu)造觀測器所需的測量信息是無誤差的,在實(shí)際噪聲環(huán)境下觀測器的精度有待考驗(yàn)。二是將目標(biāo)加速度看作有界干擾,基于魯棒控制理論抑制干擾的影響,若干擾上界無法預(yù)知通常設(shè)計(jì)自適應(yīng)估計(jì)律對(duì)其進(jìn)行逼近[3-4,18-20]。

在以上分析的基礎(chǔ)上,針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問題,本文基于微分幾何制導(dǎo)體制提出了一種新型的DGGL(novel DGGL,NDGGL)。首先,通過滑模面的構(gòu)造,控制視線轉(zhuǎn)率隨著彈目距離的減小而逐漸收斂,而非快速地收斂至零；其次,將目標(biāo)機(jī)動(dòng)看作未知的有界干擾,通過設(shè)計(jì)一種雙冪次自適應(yīng)估計(jì)律對(duì)其上界進(jìn)行逼近,穩(wěn)定性分析表明所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠確?；Ｗ兞康臐u進(jìn)收斂性;最后,仿真驗(yàn)證了NDGGL的有效性。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

考慮三維攔截場景,忽略導(dǎo)彈控制回路的動(dòng)態(tài)特性,并將導(dǎo)彈和目標(biāo)視作質(zhì)點(diǎn)。如圖1所示,給出了慣性坐標(biāo)系OIxIyIzI下彈目攔截交戰(zhàn)的幾何關(guān)系,M與T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo),它們之間的連線即為視線(line of sight,LOS),vm與vt分為代表導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度。

圖1 攔截交戰(zhàn)幾何關(guān)系Fig.1 Intercept engagement geometry

由圖1可知,彈目的相對(duì)位置關(guān)系為

r=rt-rm=rer

(1)

式中,r為彈目相對(duì)距離；er為視線方向的單位矢量。對(duì)式(1)求導(dǎo)得

v=vt-vm

(2)

式中,v為彈目相對(duì)速度。由于視線的旋轉(zhuǎn)完全由導(dǎo)彈和目標(biāo)垂直于視線方向的速度來決定,因此視線的旋轉(zhuǎn)角速度ω垂直于視線,并且

(3)

通常情況下,利用視線坐標(biāo)系或其他實(shí)質(zhì)相同的坐標(biāo)系來描述彈目的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,如文獻(xiàn)[5-6]。但是,由此推導(dǎo)的微分方程在垂直于視線的兩個(gè)方向上是高度耦合的,導(dǎo)致攔截制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的復(fù)雜化。文獻(xiàn)[19]定義了一種新型的視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,如圖2中(er,eθ,eω)所示,得到了解耦的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。

圖2 視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Fig.2 LOS rotation reference frame

圖2中,由矢量r和v張成的平面稱作交會(huì)平面;om為導(dǎo)彈質(zhì)心;omxe為攔截初始時(shí)刻的視線方向,omye在交會(huì)平面內(nèi)垂直于omxe,其方向與彈目初始相對(duì)速度v0的夾角為銳角,平面xeomye與交會(huì)平面固聯(lián)。單位矢量eω和eθ分別定義為

eω=omxe×omye,eθ=eω×er

(4)

在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方程組為

(5)

式中,atr、atθ與atω分別為目標(biāo)加速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的3個(gè)分量;amr、am θ與am ω分別為導(dǎo)彈加速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的3個(gè)分量;ω、Ω分別為視線轉(zhuǎn)率、交會(huì)平面旋轉(zhuǎn)角速度大小。由式(5)可知,交會(huì)平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)與其旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是解耦的。

2 GDGGL

傳統(tǒng)意義上,DGGL由曲率和撓率指令組成,曲率決定制導(dǎo)加速度指令的大小,撓率改變制導(dǎo)加速度指令的方向。而文獻(xiàn)[13]提出的GDGGL為

(6)

式中,am為導(dǎo)彈的指令加速度;nm為垂直于導(dǎo)彈速度的單位矢量。對(duì)于nm的求解,若利用形式復(fù)雜的撓率指令,易引起制導(dǎo)律不穩(wěn)定,且需要目標(biāo)的加速度信息,難以工程實(shí)現(xiàn)。因此,在文獻(xiàn)[15]利用代數(shù)法直接求解nm的基礎(chǔ)上,采用如下改進(jìn)的方法。

為了保證式(6)中的分母不為零,假設(shè)

nm·eθ=λ

(7)

式中,0<λ≤1。同時(shí),nm還必須滿足以下兩個(gè)約束:

(8)

式中,tm為導(dǎo)彈速度方向上的單位矢量。假設(shè)nm、tm和eθ在慣性空間中的指向分別為

(9)

于是,聯(lián)立式(7)～式(8)可得nm有解的條件為

A2+B2+C2≥λ2

(10)

式中,A=a1b2-a2b1;B=a1b3-a3b1;C=a2b3-a3b2。根據(jù)式(10),λ取為

(11)

式中,σ是足夠小的正數(shù)。文獻(xiàn)[15]中,令λ在整個(gè)制導(dǎo)過程中始終為常值,不排除出現(xiàn)nm無解的情形,而式(11)可確保nm始終有解。通常情況下,求解方程組可獲得兩個(gè)滿足條件的解,記作nm1與nm2。為了保證制導(dǎo)指令的連續(xù)性,應(yīng)選取滿足如下條件的解:

(12)

3 NDGGL

3.1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

由式(5)、式(6)可知,交會(huì)平面內(nèi)的am θ是GDGGL中的關(guān)鍵變量,決定著攔截過程中垂直于視線的相對(duì)速度大小或視線轉(zhuǎn)率的收斂性。

令x=rω,式(5)的第二個(gè)方程表示為

(13)

針對(duì)式(13),設(shè)計(jì)如下滑模面:

(14)

(15)

最終,可得η≥1/2。

對(duì)式(14)第一式求導(dǎo)并聯(lián)立式(5)的第二個(gè)方程,得

(16)

選擇如下的快速趨近律:

(17)

式中,α、β>0,均為無量綱常量;0<γ<1;sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。將式(16)代入式(17),有

(18)

由于無法通過直接測量來獲取atθ的信息,所以多數(shù)情況下難以對(duì)atθ實(shí)施精確補(bǔ)償,導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)偏離滑模面,偏離的程度能夠反映出目標(biāo)機(jī)動(dòng)的水平,即|s|越大表明目標(biāo)機(jī)動(dòng)的干擾越強(qiáng)。鑒于實(shí)際的目標(biāo)加速度不可能無限大,可假設(shè)

|atθ|≤d

(19)

式中,d≥0未知。為了補(bǔ)償目標(biāo)機(jī)動(dòng)的干擾,基于|s|越大干擾越強(qiáng)的原則,本文提出一種關(guān)于|s|的雙冪次形式的自適應(yīng)律對(duì)d進(jìn)行估計(jì),其表達(dá)式為

(20)

(21)

式(21)所示的am θ中含有不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)切換項(xiàng),易引起抖振。為此,用飽和函數(shù)sat(s)代替符號(hào)函數(shù)sgn(s),其表達(dá)式為

(22)

但是,飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)會(huì)對(duì)系統(tǒng)在|s|<δ內(nèi)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。為了消除該影響,將式(21)修正為

(23)

式中,e≥1-(μ1+μ2)/2;c≥1/4。聯(lián)立式(23)和式(6),即構(gòu)成了NDGGL。

3.2 穩(wěn)定性證明

在給出NDGGL穩(wěn)定性的證明之前,先給出證明中需要的定義及引理。

定義1[21]Lp空間。對(duì)于y: [0,∞) →R,若滿足p方可積條件,即

(24)

則y∈Lp。

?t≥t0

(25)

(26)

引入虛擬變量ξ,其導(dǎo)數(shù)設(shè)定為

(27)

定義Lyapunov函數(shù)為

(28)

(29)

(30)

于是,有

(31)

因此,展開式(29)得

(32)

當(dāng)|s|<δ時(shí),sat(s)=s/δ,再次對(duì)V求導(dǎo)得

(33)

(34)

證畢

4 仿真分析

本節(jié)通過仿真,針對(duì)不同類型的機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截,來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的NDGGL的有效性。導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始狀態(tài)如表1所示。

表1 導(dǎo)彈和目標(biāo)初始狀態(tài)

選取現(xiàn)有的兩種制導(dǎo)律與NDGGL進(jìn)行性能比較:經(jīng)典的PPN制導(dǎo)律、文獻(xiàn)[16]基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)的DGGL,簡記為DGGL-FE。PPN的表達(dá)式為

am=Nω×vm

(35)

式中,N為導(dǎo)航比。DGGL-FE的表達(dá)式為

(36)

(37)

式中,t0為初始制導(dǎo)時(shí)刻。

考慮以下兩種典型的目標(biāo)機(jī)動(dòng)形式：

(1) 場景1:常值機(jī)動(dòng),at=(0,2g0,3g0);

(2) 場景2:正弦機(jī)動(dòng),at=(0,2g0,4g0cos(0.5t))。

場景1目標(biāo)作常值機(jī)動(dòng),各制導(dǎo)律中所涉及參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 制導(dǎo)律參數(shù)

注:1) DGGL-FE中nm的初始值和解算方法均與NDGGL一致;

2)下標(biāo)0表示初始時(shí)刻的參數(shù)值。

基于上述攔截條件,仿真結(jié)果如表3和圖3所示。由仿真結(jié)果可知,NDGGL的視線轉(zhuǎn)率幾乎隨著時(shí)間線性下降,與仿真條件中的η=2相吻合,而PPN由于不含目標(biāo)機(jī)動(dòng)處理項(xiàng),難以有效抑制視線轉(zhuǎn)率,相應(yīng)的脫靶量也較大。在能量總消耗方面,NDGGL顯著低于PPN,優(yōu)于控制視線轉(zhuǎn)率有限時(shí)間收斂并采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對(duì)目標(biāo)加速度進(jìn)行補(bǔ)償?shù)腄GGL-FE,表明NDGGL中漸進(jìn)地控制視線轉(zhuǎn)率收斂能夠節(jié)省能量消耗,同時(shí)并不影響脫靶量。在DGGL-FE仿真中,觀測器的估計(jì)誤差會(huì)出現(xiàn)初始尖峰現(xiàn)象,而且如果初始估計(jì)誤差較大,初始尖峰現(xiàn)象會(huì)更嚴(yán)重,導(dǎo)致目標(biāo)加速度的過補(bǔ)償,易引起導(dǎo)彈初始段過載的飽和,而NDGGL的過載分布均勻,如圖3(d)所示。

表3 場景1制導(dǎo)性能比較

場景2目標(biāo)作正弦機(jī)動(dòng),各制導(dǎo)律中所涉及參數(shù)設(shè)置與場景一一致,仿真結(jié)果如圖4和表4所示。由仿真結(jié)果可知,當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行正弦機(jī)動(dòng)時(shí),控制視線轉(zhuǎn)率有限時(shí)間收斂相比漸進(jìn)收斂更加節(jié)省能量。因此,針對(duì)NDGGL可取較大的η。同樣,NDGGL初始段過載小,整體分布均勻。

圖3 場景1仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of scenario 1

圖4 場景2仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of scenario 2

表4 場景2制導(dǎo)性能比較

圖5 能量總消耗和脫靶量隨η變化Fig.5 Total energy consumption and miss distance versus η

圖6 不同初始估計(jì)值條件下滑模變量隨時(shí)間變化Fig.6 Sliding mode versus time under different initial estimations

5 結(jié) 論

本文以攔截大氣層內(nèi)機(jī)動(dòng)目標(biāo)為背景,設(shè)計(jì)了一種NDGGL,研究結(jié)論總結(jié)如下:

(1) 設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律性能優(yōu)于傳統(tǒng)的純比例導(dǎo)引；

(2) 在攔截常值機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí),控制視線轉(zhuǎn)率漸進(jìn)收斂相比于有限時(shí)間收斂更節(jié)省能量,而對(duì)于正弦機(jī)動(dòng)目標(biāo),為了節(jié)省能量應(yīng)快速地抑制視線轉(zhuǎn)率；

(3) 在處理目標(biāo)機(jī)動(dòng)方面,采用雙冪次自適應(yīng)律估計(jì)目標(biāo)加速度上界能夠快速地控制滑模變量趨于零附近,相比于采用觀測器補(bǔ)償目標(biāo)加速度具有分布更均勻的過載。

針對(duì)不同類型的機(jī)動(dòng)目標(biāo),如何智能地選取滑模面冪次項(xiàng)參數(shù)是后續(xù)工作的重點(diǎn)。