基于序列線性規(guī)劃的雷達低峰均比估計波形設(shè)計

郝天鐸, 崔 琛, 龔 陽, 孫從易

(1. 國防科技大學電子對抗學院, 安徽 合肥 230037; 2. 中國人民解放軍96630部隊, 北京 102206)

0 引 言

波形設(shè)計是雷達的關(guān)鍵技術(shù)之一。在進行面向參數(shù)估計的波形設(shè)計時,現(xiàn)有大部分方法均在頻域[1-3]進行研究,很難直接對波形包絡(luò)加以約束,從而無法兼顧放大器的非線性特性導致發(fā)射波形失真,無法發(fā)揮雷達發(fā)射機的最大效能,所以實際系統(tǒng)中還必須考慮波形的低峰均比(peak-to-average power ratio, PAR)或者恒模約束[4]。然而,恒模波形雖然是一種理想的發(fā)射波形,但其自由度較低,與恒模波形相比,能夠同時兼顧估計性能和雷達功率放大器的非線性特性[5-6]。因此,基于時域的低PAR估計波形更加符合實際工程需求。

現(xiàn)階段,只有少量文獻對該問題進行了研究[4-6]。文獻[4]基于最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)準則[7],在PAR約束下對信道參數(shù)進行了估計,但其并未考慮信號相關(guān)雜波的影響。文獻[8]在信號模型中加入了信號相關(guān)雜波,基于最小克拉美羅界(Cramer-Rao bound,CRB)準則對目標散射系數(shù)進行估計,但其假定發(fā)射波形和雜波協(xié)方差矩陣的卷積項是固定不變的,而實際中由于發(fā)射波形是不斷迭代更新的,所以卷積項也是不斷變化的。文獻[9]基于最大互信息(mutual information,MI)準則[9],在頻域模型加入信號相關(guān)雜波,采用時頻域轉(zhuǎn)換的方法,將頻域所得能量約束下的最優(yōu)波形轉(zhuǎn)化到時域進行PAR波形設(shè)計,由于頻域波形不含相位信息,從頻域變換到時域后會帶來估計性能的下降。在信號相關(guān)雜波背景下,以上文獻均無法直接在時域合成低PAR估計波形,這主要是由于所求優(yōu)化問題是一個較為復雜的非凸問題,很難將其轉(zhuǎn)化為凸問題進行求解。

針對上述問題,本文引入序列線性規(guī)劃(sequence linear programming, SLP)的思想,用線性形式擬合原優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件,實現(xiàn)了非凸問題向凸問題的轉(zhuǎn)換,在信號相關(guān)雜波背景下直接在時域合成了低PAR估計波形。仿真實驗驗證了本文理論分析的正確性和算法的有效性。

1 信號模型

本文主要考慮相關(guān)雜波條件下針對擴展目標估計的波形設(shè)計問題。目標的散射特性用目標沖激響應(target impulse response, TIR)表示[10],相關(guān)雜波用雜波沖激響應(clutter impulse response, CIR)表示[11],主要在時域?qū)﹄x散的時間信號進行分析,信號模型如圖1所示。

圖1 相關(guān)雜波下的信號模型Fig.1 Signal model

圖1中,s∈CNs×1代表發(fā)射波形,其長度為Ns;t∈CNt×1和c∈CNc×1分別代表TIR和CIR,根據(jù)文獻[12]的雷達信號模型,令TIR和CIR長度相同,即Nt=Nc;n∈CNn×1代表噪聲和干擾的總和,Nn=Ns+Nc-1,x代表來自目標和環(huán)境的回波,其長度Nx=Nn。該模型可表示為

x=t*s+c*s+n=Ts+Cs+n=

St+Sc+n=st+sc+n

(1)

(2)

本文假定噪聲向量n服從均值為0,協(xié)方差矩陣為單位陣的復高斯分布,同時假定TIR和CIR均為復高斯隨機向量,其中,t～CN(0Nt,Rt),c～CN(0Nc,Rc),Rt∈CNt×Nt,Rc∈CNc×Nc。

2 波形設(shè)計方法

2.1 基于互信息方法的問題描述

本文以回波和目標之間最大化互信息為優(yōu)化準則進行波形設(shè)計,互信息越大,估計越精確?？紤]前述對噪聲、TIR和CIR的假設(shè),并假定三者相互獨立,則目標t和回波信號x的互信息可表示如下[13]

I(x;t|S)=h(x|S)-h(x|t,S)

(3)

式中,h(x|S)代表發(fā)射波形Toeplitz矩陣S已知時回波信號的熵；h(x|t,S)代表S和TIR均已知時回波信號的熵。當S已知時,TIR和回波信號服從聯(lián)合高斯分布,且滿足

(4)

令Rx=SRtSH+SRcSH+Rn,有

(5)

則可得

ln det(SRtSH+SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(6)

ln det(SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(7)

把式(6)和式(7)代入式(3)中,可得

I(x,t|s)=ln det[INx+SRtSH(SRcSH+Rn)-1]

(8)

應用矩陣求逆引理[14],于是式(8)變?yōu)?/p>

I(x;t|S)=ln det{INt-Rt[AB-1A-A]}

(9)

(10)

假設(shè)噪聲、TIR和CIR均為廣義寬平穩(wěn)隨機過程,則Rt和Rc[15]可分別表示為

Rt=UΣtUH

(11)

Rc=UΣcUH

(12)

式中,Σt=diag(λt,1,…,λt,Nt),Σc=diag(λc,1,…,λc,Nc),它們的對角元素代表目標和雜波功率譜密度的采樣,酉矩陣U可表示為

?k,l∈(1,Nt)

(13)

同理,有

Rn=VΣnVH

(14)

式中,Σn=diag(λn,1,…,λn,Nn)代表對噪聲功率譜密度的采樣;V也為酉矩陣。把式(11)、式(12)和式(14)代入式(10)中,可得

ln det{INt+Σt[Σc+(ZHZ)-1]-1}

(15)

(16)

式(16)也可通過文獻[17]的引理2得到,其中Λs=diag(λs,1,…,λs,Nt),則互信息表達式可變?yōu)?/p>

(17)

至此,對時域上TIR和回波信號的互信息表達式進行了推導簡化,可以看出,式(17)與頻域上的互信息表達式較為相似。接下來將引入能量和PAR約束對時域發(fā)射波形進行求解。

2.2 低PAR估計波形設(shè)計

不失一般性,設(shè)發(fā)射波形的最大能量Ps=Ns,則PAR可定義為

(18)

式中,sk為波形向量s的第k個采樣。在加上PAR約束后,要求每一個發(fā)射波形元素sk的能量都小于某一固定的PAR值,即

|sk|2≤μ,μ∈[1,Ns]

(19)

(20)

(21)

(22)

問題P′的不等式約束雖然變?yōu)橐粋€凸集,但目標函數(shù)卻是非凸的,因此對該問題求解較為困難。此時,可引入SLP的思想對其進行求解。

2.3 引入SLP方法的問題求解

SLP是一種將非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的研究方法。在實際優(yōu)化過程中,由于其理論簡單、易于實現(xiàn)的特點被廣泛應用,在凸規(guī)劃問題中用線性形式擬合目標函數(shù)和約束不等式方程方面均有很好的表現(xiàn)[18]。SLP的主要思想是通過泰勒公式,在初始值x(0)處對非線性目標函數(shù)和約束條件進行一階展開,略去二階和二階以上的高階項,實現(xiàn)非線性問題中目標函數(shù)和約束條件的線性化處理,并通過求解該線性規(guī)劃問題逼近原始問題的解[19]。設(shè)非線性函數(shù)為f(x),在x(0)處的泰勒展開式為

f(x)≈f(x(0))+f′(x(0))(Δx)

(23)

在該問題的約束條件下,通過對式(23)進行求解,可以得到此方程的最優(yōu)解x(1),接著將目標函數(shù)在x(1)處展開

f(x)≈f(x(1))+f′(x(1))(Δx)

(24)

以此類推,可得SLP的通式為

f(x(n))≈f(x(n-1))+f′(x(n-1))(Δx)

(25)

對式(25)不斷求解更新,直到滿足收斂條件即可得到最優(yōu)解x(n)。

然而,SLP有一定的適用范圍,即新的設(shè)計點與原設(shè)計點的距離Δx不可過遠,否則高階項不可忽略。當Δx較小時,近似精度高,但優(yōu)化速度慢;當Δx較大時,優(yōu)化速度快,但近似精度低,將會使近似函數(shù)偏離原始函數(shù)。因此,選擇合適的Δx尤為重要,在后面的方法設(shè)計中,對Δx的設(shè)定范圍要盡量合理,使得近似函數(shù)在靠近原函數(shù)的同時盡可能收斂到全局最優(yōu)值。綜上所述,由于序列線性規(guī)劃算法對于求解工程中的非線性問題有著很好的效果,本文采用SLP的思想,對目標函數(shù)進行一階展開,將原始問題轉(zhuǎn)化為一個凸問題進行求解。

2.3.1 初始值求解

首先,進行初始值的求解。為了求得一個較好的初始極值,可以將約束條件中的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束,采用拉格朗日法進行求解。然而,第二個約束條件為PAR約束,若μ>1,則變?yōu)榈仁郊s束后會使發(fā)射波形的總能量超過限定的最大能量,所以在這里可以先略去第二個不等式約束,只將第一個不等式約束條件變?yōu)榈仁郊s束,優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

(26)

(27)

(28)

2.3.2 目標函數(shù)優(yōu)化

(29)

(30)

2.3.3 波形向量的逼近

在問題P2的求解過程中,并未對S進行Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)(見式(2))的約束,因此優(yōu)化波形矩陣Sopt并不一定滿足信號模型中的Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu),還需要對其進行Toeplitz矩陣逼近后才可求得發(fā)射波形的向量解。這里采用最小F-范數(shù)的方法來逼近波形向量,有

(31)

d-sHg-gHs

(32)

(33)

綜上,為了得到滿足低PAR要求的發(fā)射波形向量,需引入SLP的思想,將非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性問題,快速求解出近似的波形向量,便于實際工程應用。設(shè)門限值為τ,最大迭代次數(shù)為κ,優(yōu)化算法的步驟可總結(jié)如下。

3 算法性能分析

3.1 算法收斂性

在步驟2迭代的過程中,記第k次迭代得到的低PAR波形矩陣為S(k),記問題P2的目標函數(shù)值為I2(S(k)),記原始問題P的目標函數(shù)值為I(S(k))。通常對于SLP問題而言,I2(S)是單調(diào)收斂的。由于問題P2是問題P的近似,所以不能保證I(S)也是單調(diào)的。但是,隨著k的增加,S(k)會逐漸趨近于原始問題的最優(yōu)解,這就保證了I(S)最終會收斂趨近于最優(yōu)值。因此,雖然不能確保I(S)每一步都是單調(diào)遞增的,但其總體趨勢可以認為是收斂的。由于要證明I(S)的收斂性較為困難,因此,通過仿真實驗對其收斂性進行了驗證。

此外,在步驟3的逼近過程中,主要針對優(yōu)化結(jié)果進行逼近,而不是針對目標函數(shù)逼近。因此,對于非線性程度較高的目標函數(shù),逼近結(jié)果不一定能夠保證目標函數(shù)取到最優(yōu)。以圖2為例,圖中是一條隨機的非線性曲線,若sopt處于圖中目標函數(shù)的凹區(qū)間,雖然其針對結(jié)果的逼近誤差比圖中實線框內(nèi)的波形向量要小,但由于約束條件和目標函數(shù)非線性的原因,使得目標函數(shù)值反而變小,導致F-范數(shù)逼近方法效果變差。但是在一般情況下,該逼近方法不失為一種波形優(yōu)化途徑,可認為其是一種次優(yōu)化方法。

另外,為得到較好的波形向量,在問題P2中直接加入對S的Toeplitz約束條件,通過智能搜索算法也可以得到較為理想的優(yōu)化結(jié)果,但這種方法將使得優(yōu)化問題的求解耗費更長的時間。

圖2 非線性程度較高的目標函數(shù)示例Fig.2 Example of objective function with high degree of non-linearity

3.2 算法復雜度分析

4 仿真實驗與分析

圖3 目標和雜波功率譜密度采樣Fig.3 Power spectral density of target and clutter

4.1 實驗1:算法有效性驗證

圖4 問題P和P2的收斂性比較Fig.4 Convergence comparison of P and P2

圖5 不同波形估計性能對比Fig.5 Estimation performance comparison of different waveforms

從圖5可以看出,采用逼近方法得到的滿足Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)的發(fā)射波形的估計性能比最優(yōu)波形略差,但其估計性能仍然優(yōu)于文獻[6]和常用波形,這是由于文獻[6]的最優(yōu)頻域波形不含有相位信息,從頻域變換到時域時會帶來估計性能的下降。此外,目標與回波之間的MI隨著能量的增大而增大,隨著CNR的增大而減小,在低CNR時(CNR≤20)本文方法產(chǎn)生的優(yōu)化波形性能要優(yōu)于常用波形,并且當雜波的能量達到一定門限時(CNR=30),MI會變?yōu)榱?接收端幾乎得不到關(guān)于目標的信息。

圖6將本文算法與文獻[6]算法的耗時進行了比較,可以看出,在相同波形長度下,經(jīng)過一定的迭代收斂后,本文方法與文獻[6]的運算量較為接近,當波形長度小于103時,兩種方法的耗時均較小;當波形長度大于103時,兩種方法的耗時均比較大,不利于實時信號處理。因此,本文算法適合序列碼長相對較短的波形。

圖6 不同算法的運算量對比Fig.6 Run-time of different algorithm

4.2 實驗2:算法性能與PAR之間的關(guān)系

圖7給出了不同PAR約束下,最優(yōu)波形和滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)的優(yōu)化波形的互信息取值。可以看出,隨著μ的增大,問題P2的可行解區(qū)域逐漸變大,因此所求波形的估計性能也有所增強。當μ≥3時,所設(shè)計波形的互信息非常接近能量約束下的最大互信息值。此外,由于進行了波形矩陣的逼近,最后得到優(yōu)化波形向量的互信息相比于最優(yōu)波形有輕微的減少。

圖7 互信息與PAR的關(guān)系Fig.7 Mutual information versus PAR

圖8為不同PAR下滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)的優(yōu)化波形實部和虛部的表示。μ=Ns代表能量約束下的波形,此時圖中對應點的分布半徑較大,表明波形幅度起伏較大,不能保證所設(shè)計波形的恒模特性,不利于實際應用。當μ=1時,產(chǎn)生的點位于單位圓上,是恒模波形,當μ=2時,圖中點的分布半徑比恒模波形略大,估計性能要更強。

圖8 不同PAR波形的實部和虛部Fig.8 Real and imaginary parts of different PAR

4.3 實驗3:算法性能與距離量Δλ之間的關(guān)系

圖9 距離區(qū)間對SLP算法性能的影響Fig.9 Influence of distance intervals on performance of SLP

圖9(a)給出了不同距離Δλ對SLP算法的影響,I代表原始函數(shù)的互信息取值,I2代表采用SLP算法后的一階近似函數(shù)的互信息取值,而最優(yōu)值通過注水法得到。從圖9中可以看出,當Δλ取值區(qū)間較小時(η≤10-1),由于收斂速度較慢,每次迭代后函數(shù)值幾乎無變化,因此最終經(jīng)過κ次收斂后得到的I和I2的取值也并沒有收斂到最優(yōu)值;當η=4時,I可以收斂到最優(yōu)值并且I與I2的取值非常接近;當Δλ取值區(qū)間較大時(η≥10),收斂速度較快,但容易收斂到局部最優(yōu)值,并且此時原始函數(shù)和一階近似函數(shù)相差較大,因此圖9(a)中I和I2的值也相差較大,同時,可以注意到,此時的I和I2分別收斂到一個固定值,這是因為當η大于一定門限時,Δλ的最優(yōu)值也將收斂到一個固定值Δλopt,圖9(b)給出了Δλopt隨的變化曲線圖,縱坐標代表Δλopt的F范數(shù)取值,可以看出,當η≥10時,Δλopt收斂到一個固定值。

5 結(jié) 論

為了提高雷達發(fā)射機的效能,避免放大器的非線性使發(fā)射波形失真,提出了一種信號相關(guān)雜波條件下雷達低PAR估計波形設(shè)計方法,在能量與PAR的雙重約束下,追求互信息的最大化。從時域角度出發(fā)構(gòu)建了問題模型,引入序列線性規(guī)劃的思想將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個凸問題進行研究,并基于F-范數(shù)對最優(yōu)矩陣波形進行逼近,從而求得優(yōu)化波形向量。本文方法在給定的低PAR區(qū)間內(nèi)可有效求解得到估計波形。在算法運算量相同的情況下,與現(xiàn)有方法相比,所提方法產(chǎn)生的波形具有更好的估計性能。