基于序列線性規(guī)劃的雷達(dá)低峰均比估計(jì)波形設(shè)計(jì)

郝天鐸, 崔 琛, 龔 陽(yáng), 孫從易

(1. 國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院, 安徽 合肥 230037; 2. 中國(guó)人民解放軍96630部隊(duì), 北京 102206)

0 引 言

波形設(shè)計(jì)是雷達(dá)的關(guān)鍵技術(shù)之一。在進(jìn)行面向參數(shù)估計(jì)的波形設(shè)計(jì)時(shí),現(xiàn)有大部分方法均在頻域[1-3]進(jìn)行研究,很難直接對(duì)波形包絡(luò)加以約束,從而無(wú)法兼顧放大器的非線性特性導(dǎo)致發(fā)射波形失真,無(wú)法發(fā)揮雷達(dá)發(fā)射機(jī)的最大效能,所以實(shí)際系統(tǒng)中還必須考慮波形的低峰均比(peak-to-average power ratio, PAR)或者恒模約束[4]。然而,恒模波形雖然是一種理想的發(fā)射波形,但其自由度較低,與恒模波形相比,能夠同時(shí)兼顧估計(jì)性能和雷達(dá)功率放大器的非線性特性[5-6]。因此,基于時(shí)域的低PAR估計(jì)波形更加符合實(shí)際工程需求。

現(xiàn)階段,只有少量文獻(xiàn)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究[4-6]。文獻(xiàn)[4]基于最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)準(zhǔn)則[7],在PAR約束下對(duì)信道參數(shù)進(jìn)行了估計(jì),但其并未考慮信號(hào)相關(guān)雜波的影響。文獻(xiàn)[8]在信號(hào)模型中加入了信號(hào)相關(guān)雜波,基于最小克拉美羅界(Cramer-Rao bound,CRB)準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)散射系數(shù)進(jìn)行估計(jì),但其假定發(fā)射波形和雜波協(xié)方差矩陣的卷積項(xiàng)是固定不變的,而實(shí)際中由于發(fā)射波形是不斷迭代更新的,所以卷積項(xiàng)也是不斷變化的。文獻(xiàn)[9]基于最大互信息(mutual information,MI)準(zhǔn)則[9],在頻域模型加入信號(hào)相關(guān)雜波,采用時(shí)頻域轉(zhuǎn)換的方法,將頻域所得能量約束下的最優(yōu)波形轉(zhuǎn)化到時(shí)域進(jìn)行PAR波形設(shè)計(jì),由于頻域波形不含相位信息,從頻域變換到時(shí)域后會(huì)帶來(lái)估計(jì)性能的下降。在信號(hào)相關(guān)雜波背景下,以上文獻(xiàn)均無(wú)法直接在時(shí)域合成低PAR估計(jì)波形,這主要是由于所求優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)較為復(fù)雜的非凸問(wèn)題,很難將其轉(zhuǎn)化為凸問(wèn)題進(jìn)行求解。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文引入序列線性規(guī)劃(sequence linear programming, SLP)的思想,用線性形式擬合原優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件,實(shí)現(xiàn)了非凸問(wèn)題向凸問(wèn)題的轉(zhuǎn)換,在信號(hào)相關(guān)雜波背景下直接在時(shí)域合成了低PAR估計(jì)波形。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文理論分析的正確性和算法的有效性。

1 信號(hào)模型

本文主要考慮相關(guān)雜波條件下針對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)估計(jì)的波形設(shè)計(jì)問(wèn)題。目標(biāo)的散射特性用目標(biāo)沖激響應(yīng)(target impulse response, TIR)表示[10],相關(guān)雜波用雜波沖激響應(yīng)(clutter impulse response, CIR)表示[11],主要在時(shí)域?qū)﹄x散的時(shí)間信號(hào)進(jìn)行分析,信號(hào)模型如圖1所示。

圖1 相關(guān)雜波下的信號(hào)模型Fig.1 Signal model

圖1中,s∈CNs×1代表發(fā)射波形,其長(zhǎng)度為Ns;t∈CNt×1和c∈CNc×1分別代表TIR和CIR,根據(jù)文獻(xiàn)[12]的雷達(dá)信號(hào)模型,令TIR和CIR長(zhǎng)度相同,即Nt=Nc;n∈CNn×1代表噪聲和干擾的總和,Nn=Ns+Nc-1,x代表來(lái)自目標(biāo)和環(huán)境的回波,其長(zhǎng)度Nx=Nn。該模型可表示為

x=t*s+c*s+n=Ts+Cs+n=

St+Sc+n=st+sc+n

(1)

(2)

本文假定噪聲向量n服從均值為0,協(xié)方差矩陣為單位陣的復(fù)高斯分布,同時(shí)假定TIR和CIR均為復(fù)高斯隨機(jī)向量,其中,t～CN(0Nt,Rt),c～CN(0Nc,Rc),Rt∈CNt×Nt,Rc∈CNc×Nc。

2 波形設(shè)計(jì)方法

2.1 基于互信息方法的問(wèn)題描述

本文以回波和目標(biāo)之間最大化互信息為優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行波形設(shè)計(jì),互信息越大,估計(jì)越精確?？紤]前述對(duì)噪聲、TIR和CIR的假設(shè),并假定三者相互獨(dú)立,則目標(biāo)t和回波信號(hào)x的互信息可表示如下[13]

I(x;t|S)=h(x|S)-h(x|t,S)

(3)

式中,h(x|S)代表發(fā)射波形Toeplitz矩陣S已知時(shí)回波信號(hào)的熵；h(x|t,S)代表S和TIR均已知時(shí)回波信號(hào)的熵。當(dāng)S已知時(shí),TIR和回波信號(hào)服從聯(lián)合高斯分布,且滿足

(4)

令Rx=SRtSH+SRcSH+Rn,有

(5)

則可得

ln det(SRtSH+SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(6)

ln det(SRcSH+Rn)+Nxln π+Nx

(7)

把式(6)和式(7)代入式(3)中,可得

I(x,t|s)=ln det[INx+SRtSH(SRcSH+Rn)-1]

(8)

應(yīng)用矩陣求逆引理[14],于是式(8)變?yōu)?/p>

I(x;t|S)=ln det{INt-Rt[AB-1A-A]}

(9)

(10)

假設(shè)噪聲、TIR和CIR均為廣義寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則Rt和Rc[15]可分別表示為

Rt=UΣtUH

(11)

Rc=UΣcUH

(12)

式中,Σt=diag(λt,1,…,λt,Nt),Σc=diag(λc,1,…,λc,Nc),它們的對(duì)角元素代表目標(biāo)和雜波功率譜密度的采樣,酉矩陣U可表示為

?k,l∈(1,Nt)

(13)

同理,有

Rn=VΣnVH

(14)

式中,Σn=diag(λn,1,…,λn,Nn)代表對(duì)噪聲功率譜密度的采樣;V也為酉矩陣。把式(11)、式(12)和式(14)代入式(10)中,可得

ln det{INt+Σt[Σc+(ZHZ)-1]-1}

(15)

(16)

式(16)也可通過(guò)文獻(xiàn)[17]的引理2得到,其中Λs=diag(λs,1,…,λs,Nt),則互信息表達(dá)式可變?yōu)?/p>

(17)

至此,對(duì)時(shí)域上TIR和回波信號(hào)的互信息表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)簡(jiǎn)化,可以看出,式(17)與頻域上的互信息表達(dá)式較為相似。接下來(lái)將引入能量和PAR約束對(duì)時(shí)域發(fā)射波形進(jìn)行求解。

2.2 低PAR估計(jì)波形設(shè)計(jì)

不失一般性,設(shè)發(fā)射波形的最大能量Ps=Ns,則PAR可定義為

(18)

式中,sk為波形向量s的第k個(gè)采樣。在加上PAR約束后,要求每一個(gè)發(fā)射波形元素sk的能量都小于某一固定的PAR值,即

|sk|2≤μ,μ∈[1,Ns]

(19)

(20)

(21)

(22)

問(wèn)題P′的不等式約束雖然變?yōu)橐粋€(gè)凸集,但目標(biāo)函數(shù)卻是非凸的,因此對(duì)該問(wèn)題求解較為困難。此時(shí),可引入SLP的思想對(duì)其進(jìn)行求解。

2.3 引入SLP方法的問(wèn)題求解

SLP是一種將非線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題的研究方法。在實(shí)際優(yōu)化過(guò)程中,由于其理論簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用,在凸規(guī)劃問(wèn)題中用線性形式擬合目標(biāo)函數(shù)和約束不等式方程方面均有很好的表現(xiàn)[18]。SLP的主要思想是通過(guò)泰勒公式,在初始值x(0)處對(duì)非線性目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行一階展開(kāi),略去二階和二階以上的高階項(xiàng),實(shí)現(xiàn)非線性問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)和約束條件的線性化處理,并通過(guò)求解該線性規(guī)劃問(wèn)題逼近原始問(wèn)題的解[19]。設(shè)非線性函數(shù)為f(x),在x(0)處的泰勒展開(kāi)式為

f(x)≈f(x(0))+f′(x(0))(Δx)

(23)

在該問(wèn)題的約束條件下,通過(guò)對(duì)式(23)進(jìn)行求解,可以得到此方程的最優(yōu)解x(1),接著將目標(biāo)函數(shù)在x(1)處展開(kāi)

f(x)≈f(x(1))+f′(x(1))(Δx)

(24)

以此類推,可得SLP的通式為

f(x(n))≈f(x(n-1))+f′(x(n-1))(Δx)

(25)

對(duì)式(25)不斷求解更新,直到滿足收斂條件即可得到最優(yōu)解x(n)。

然而,SLP有一定的適用范圍,即新的設(shè)計(jì)點(diǎn)與原設(shè)計(jì)點(diǎn)的距離Δx不可過(guò)遠(yuǎn),否則高階項(xiàng)不可忽略。當(dāng)Δx較小時(shí),近似精度高,但優(yōu)化速度慢;當(dāng)Δx較大時(shí),優(yōu)化速度快,但近似精度低,將會(huì)使近似函數(shù)偏離原始函數(shù)。因此,選擇合適的Δx尤為重要,在后面的方法設(shè)計(jì)中,對(duì)Δx的設(shè)定范圍要盡量合理,使得近似函數(shù)在靠近原函數(shù)的同時(shí)盡可能收斂到全局最優(yōu)值。綜上所述,由于序列線性規(guī)劃算法對(duì)于求解工程中的非線性問(wèn)題有著很好的效果,本文采用SLP的思想,對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行一階展開(kāi),將原始問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸問(wèn)題進(jìn)行求解。

2.3.1 初始值求解

首先,進(jìn)行初始值的求解。為了求得一個(gè)較好的初始極值,可以將約束條件中的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束,采用拉格朗日法進(jìn)行求解。然而,第二個(gè)約束條件為PAR約束,若μ>1,則變?yōu)榈仁郊s束后會(huì)使發(fā)射波形的總能量超過(guò)限定的最大能量,所以在這里可以先略去第二個(gè)不等式約束,只將第一個(gè)不等式約束條件變?yōu)榈仁郊s束,優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)?/p>

(26)

(27)

(28)

2.3.2 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化

(29)

(30)

2.3.3 波形向量的逼近

在問(wèn)題P2的求解過(guò)程中,并未對(duì)S進(jìn)行Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)(見(jiàn)式(2))的約束,因此優(yōu)化波形矩陣Sopt并不一定滿足信號(hào)模型中的Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu),還需要對(duì)其進(jìn)行Toeplitz矩陣逼近后才可求得發(fā)射波形的向量解。這里采用最小F-范數(shù)的方法來(lái)逼近波形向量,有

(31)

d-sHg-gHs

(32)

(33)

綜上,為了得到滿足低PAR要求的發(fā)射波形向量,需引入SLP的思想,將非線性優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題,快速求解出近似的波形向量,便于實(shí)際工程應(yīng)用。設(shè)門(mén)限值為τ,最大迭代次數(shù)為κ,優(yōu)化算法的步驟可總結(jié)如下。

3 算法性能分析

3.1 算法收斂性

在步驟2迭代的過(guò)程中,記第k次迭代得到的低PAR波形矩陣為S(k),記問(wèn)題P2的目標(biāo)函數(shù)值為I2(S(k)),記原始問(wèn)題P的目標(biāo)函數(shù)值為I(S(k))。通常對(duì)于SLP問(wèn)題而言,I2(S)是單調(diào)收斂的。由于問(wèn)題P2是問(wèn)題P的近似,所以不能保證I(S)也是單調(diào)的。但是,隨著k的增加,S(k)會(huì)逐漸趨近于原始問(wèn)題的最優(yōu)解,這就保證了I(S)最終會(huì)收斂趨近于最優(yōu)值。因此,雖然不能確保I(S)每一步都是單調(diào)遞增的,但其總體趨勢(shì)可以認(rèn)為是收斂的。由于要證明I(S)的收斂性較為困難,因此,通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)其收斂性進(jìn)行了驗(yàn)證。

此外,在步驟3的逼近過(guò)程中,主要針對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行逼近,而不是針對(duì)目標(biāo)函數(shù)逼近。因此,對(duì)于非線性程度較高的目標(biāo)函數(shù),逼近結(jié)果不一定能夠保證目標(biāo)函數(shù)取到最優(yōu)。以圖2為例,圖中是一條隨機(jī)的非線性曲線,若sopt處于圖中目標(biāo)函數(shù)的凹區(qū)間,雖然其針對(duì)結(jié)果的逼近誤差比圖中實(shí)線框內(nèi)的波形向量要小,但由于約束條件和目標(biāo)函數(shù)非線性的原因,使得目標(biāo)函數(shù)值反而變小,導(dǎo)致F-范數(shù)逼近方法效果變差。但是在一般情況下,該逼近方法不失為一種波形優(yōu)化途徑,可認(rèn)為其是一種次優(yōu)化方法。

另外,為得到較好的波形向量,在問(wèn)題P2中直接加入對(duì)S的Toeplitz約束條件,通過(guò)智能搜索算法也可以得到較為理想的優(yōu)化結(jié)果,但這種方法將使得優(yōu)化問(wèn)題的求解耗費(fèi)更長(zhǎng)的時(shí)間。

圖2 非線性程度較高的目標(biāo)函數(shù)示例Fig.2 Example of objective function with high degree of non-linearity

3.2 算法復(fù)雜度分析

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

圖3 目標(biāo)和雜波功率譜密度采樣Fig.3 Power spectral density of target and clutter

4.1 實(shí)驗(yàn)1:算法有效性驗(yàn)證

圖4 問(wèn)題P和P2的收斂性比較Fig.4 Convergence comparison of P and P2

圖5 不同波形估計(jì)性能對(duì)比Fig.5 Estimation performance comparison of different waveforms

從圖5可以看出,采用逼近方法得到的滿足Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)的發(fā)射波形的估計(jì)性能比最優(yōu)波形略差,但其估計(jì)性能仍然優(yōu)于文獻(xiàn)[6]和常用波形,這是由于文獻(xiàn)[6]的最優(yōu)頻域波形不含有相位信息,從頻域變換到時(shí)域時(shí)會(huì)帶來(lái)估計(jì)性能的下降。此外,目標(biāo)與回波之間的MI隨著能量的增大而增大,隨著CNR的增大而減小,在低CNR時(shí)(CNR≤20)本文方法產(chǎn)生的優(yōu)化波形性能要優(yōu)于常用波形,并且當(dāng)雜波的能量達(dá)到一定門(mén)限時(shí)(CNR=30),MI會(huì)變?yōu)榱?接收端幾乎得不到關(guān)于目標(biāo)的信息。

圖6將本文算法與文獻(xiàn)[6]算法的耗時(shí)進(jìn)行了比較,可以看出,在相同波形長(zhǎng)度下,經(jīng)過(guò)一定的迭代收斂后,本文方法與文獻(xiàn)[6]的運(yùn)算量較為接近,當(dāng)波形長(zhǎng)度小于103時(shí),兩種方法的耗時(shí)均較小;當(dāng)波形長(zhǎng)度大于103時(shí),兩種方法的耗時(shí)均比較大,不利于實(shí)時(shí)信號(hào)處理。因此,本文算法適合序列碼長(zhǎng)相對(duì)較短的波形。

圖6 不同算法的運(yùn)算量對(duì)比Fig.6 Run-time of different algorithm

4.2 實(shí)驗(yàn)2:算法性能與PAR之間的關(guān)系

圖7給出了不同PAR約束下,最優(yōu)波形和滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)的優(yōu)化波形的互信息取值?？梢钥闯?隨著μ的增大,問(wèn)題P2的可行解區(qū)域逐漸變大,因此所求波形的估計(jì)性能也有所增強(qiáng)。當(dāng)μ≥3時(shí),所設(shè)計(jì)波形的互信息非常接近能量約束下的最大互信息值。此外,由于進(jìn)行了波形矩陣的逼近,最后得到優(yōu)化波形向量的互信息相比于最優(yōu)波形有輕微的減少。

圖7 互信息與PAR的關(guān)系Fig.7 Mutual information versus PAR

圖8為不同PAR下滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)的優(yōu)化波形實(shí)部和虛部的表示。μ=Ns代表能量約束下的波形,此時(shí)圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的分布半徑較大,表明波形幅度起伏較大,不能保證所設(shè)計(jì)波形的恒模特性,不利于實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)μ=1時(shí),產(chǎn)生的點(diǎn)位于單位圓上,是恒模波形,當(dāng)μ=2時(shí),圖中點(diǎn)的分布半徑比恒模波形略大,估計(jì)性能要更強(qiáng)。

圖8 不同PAR波形的實(shí)部和虛部Fig.8 Real and imaginary parts of different PAR

4.3 實(shí)驗(yàn)3:算法性能與距離量Δλ之間的關(guān)系

圖9 距離區(qū)間對(duì)SLP算法性能的影響Fig.9 Influence of distance intervals on performance of SLP

圖9(a)給出了不同距離Δλ對(duì)SLP算法的影響,I代表原始函數(shù)的互信息取值,I2代表采用SLP算法后的一階近似函數(shù)的互信息取值,而最優(yōu)值通過(guò)注水法得到。從圖9中可以看出,當(dāng)Δλ取值區(qū)間較小時(shí)(η≤10-1),由于收斂速度較慢,每次迭代后函數(shù)值幾乎無(wú)變化,因此最終經(jīng)過(guò)κ次收斂后得到的I和I2的取值也并沒(méi)有收斂到最優(yōu)值;當(dāng)η=4時(shí),I可以收斂到最優(yōu)值并且I與I2的取值非常接近;當(dāng)Δλ取值區(qū)間較大時(shí)(η≥10),收斂速度較快,但容易收斂到局部最優(yōu)值,并且此時(shí)原始函數(shù)和一階近似函數(shù)相差較大,因此圖9(a)中I和I2的值也相差較大,同時(shí),可以注意到,此時(shí)的I和I2分別收斂到一個(gè)固定值,這是因?yàn)楫?dāng)η大于一定門(mén)限時(shí),Δλ的最優(yōu)值也將收斂到一個(gè)固定值Δλopt,圖9(b)給出了Δλopt隨的變化曲線圖,縱坐標(biāo)代表Δλopt的F范數(shù)取值,可以看出,當(dāng)η≥10時(shí),Δλopt收斂到一個(gè)固定值。

5 結(jié) 論

為了提高雷達(dá)發(fā)射機(jī)的效能,避免放大器的非線性使發(fā)射波形失真,提出了一種信號(hào)相關(guān)雜波條件下雷達(dá)低PAR估計(jì)波形設(shè)計(jì)方法,在能量與PAR的雙重約束下,追求互信息的最大化。從時(shí)域角度出發(fā)構(gòu)建了問(wèn)題模型,引入序列線性規(guī)劃的思想將非凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸問(wèn)題進(jìn)行研究,并基于F-范數(shù)對(duì)最優(yōu)矩陣波形進(jìn)行逼近,從而求得優(yōu)化波形向量。本文方法在給定的低PAR區(qū)間內(nèi)可有效求解得到估計(jì)波形。在算法運(yùn)算量相同的情況下,與現(xiàn)有方法相比,所提方法產(chǎn)生的波形具有更好的估計(jì)性能。