地球同步軌道SAR兩維奇異值分解成像方法

游 冬, 孫光才, 李亞超, 陳濺來(lái), 邢孟道

(1. 西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071;2. 西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心, 陜西 西安 710071)

0 引 言

星載合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar, SAR)不受光照、氣候等條件的影響,具有全天時(shí)、全天候、高分辨的工作能力。相對(duì)于機(jī)載SAR,星載SAR在較高的軌道高度運(yùn)行,具有更長(zhǎng)的連續(xù)對(duì)地觀測(cè)時(shí)間、更大的觀測(cè)范圍。目前在軌的星載SAR系統(tǒng)均為搭載于低軌衛(wèi)星上的低軌星載SAR系統(tǒng)(low earth orbit SAR, LEO SAR),其軌道高度低,重訪周期長(zhǎng)。1978年,Tomiyasu率先提出了地球同步軌道合成孔徑雷達(dá)(geosynchronous SAR, GEO SAR)的概念,隨著軌道高度提升至35768km,GEO SAR具有超大的測(cè)繪帶寬、僅為1天的重訪時(shí)間、以及超大的全軌覆蓋范圍。

由于軌道高度極高,GEOSAR具有超長(zhǎng)的合成孔徑時(shí)間,軌道彎曲不可忽略,還需要考慮地球自轉(zhuǎn)的影響[1-2],衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡為復(fù)雜的曲線軌跡,同時(shí)測(cè)繪帶寬度增大,帶來(lái)了嚴(yán)重的二維空變問(wèn)題[3-6],對(duì)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)[7-10]及性能分析[11-14]和成像算法設(shè)計(jì)[15-18]等帶來(lái)了許多問(wèn)題。針對(duì)GEO SAR長(zhǎng)合成時(shí)間曲線軌跡,文獻(xiàn)[19-22]推導(dǎo)了高階近似的斜距模型,采用級(jí)數(shù)反演(method of series reversion, MSR)方法求解了點(diǎn)目標(biāo)回波二維頻譜,其中文獻(xiàn)[21-22]在成像過(guò)程中沒(méi)有考慮空變性的影響,僅利用場(chǎng)景中心參考點(diǎn)構(gòu)造了匹配函數(shù)。文獻(xiàn)[23]提出了一種在距離頻域-方位時(shí)域進(jìn)行二維插值校正距離和方位耦合的方法,并通過(guò)非均勻快速傅里葉變換(nonuniform fast fourier transform, NUFFT)來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[24]針對(duì)長(zhǎng)合成時(shí)間大方位場(chǎng)景方位空變嚴(yán)重的問(wèn)題,提出了一種級(jí)聯(lián)的SVD -NCS方法校正方位空變。文獻(xiàn)[25]針對(duì)曲線軌跡提出了一種兩步NCS校正方位空變的方法。文獻(xiàn)[24-25]提出的NCS方法均通過(guò)距離分塊消除子塊內(nèi)的距離空變,距離分塊方法對(duì)于大場(chǎng)景需要相當(dāng)多的分塊,距離處理效率不高。

針對(duì)GEO SAR大場(chǎng)景成像存在的嚴(yán)重的二維空變問(wèn)題,本文提出一種基于兩維奇異值分解(singular value decomposition, SVD)的成像方法。首先,基于四次多項(xiàng)式斜距模型,推導(dǎo)得到了二維空變的MSR二維頻譜,并將其分解為與距離空變的距離徙動(dòng)(range cell migration, RCM)校正相關(guān)的距離信號(hào)和與方位聚焦相關(guān)的二維空變的方位信號(hào);然后,利用SVD對(duì)距離空變信號(hào)進(jìn)行分解得到距離和多普勒的二維耦合關(guān)系,并通過(guò)Stolt插值和距離頻率重采樣完成距離空變的RCM校正;最后,利用級(jí)聯(lián)的SVD-NCS算法完成方位空變校正[24],實(shí)現(xiàn)方位聚焦。該方法不需要對(duì)空變的MSR二維頻譜進(jìn)行求解得到復(fù)雜的處理函數(shù),通過(guò)奇異值分解可以簡(jiǎn)化譜分析的復(fù)雜性。

1 GEO SAR信號(hào)模型

圖1為GEO SAR成像幾何模型,為了便于斜距的表示,將星地幾何關(guān)系在地球固定坐標(biāo)系下表示。其中,ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度,RT(tm)為tm時(shí)刻信號(hào)發(fā)射時(shí)的斜距,RR(tm+τ)為信號(hào)接收時(shí)的斜距,τ為信號(hào)發(fā)射接收的雙程時(shí)延,通常情況下τ在0.24 s左右[26],不可忽略;P(X,RB)為場(chǎng)景中任意點(diǎn)目標(biāo),P0(X0,R0)為場(chǎng)景中心點(diǎn)。

圖1 GEO SAR成像幾何模型Fig.1 Geometry of GEO SAR imaging system

衛(wèi)星到場(chǎng)景中點(diǎn)目標(biāo)P的雙程斜距采用4階多項(xiàng)式斜距模型可以表示為

R(tm;RB,X)=RT(tm;RB,X)+RB(tm;RB,X)=

(1)

式中,ki(RB,X)(i=0～4)為雙程斜距的各階泰勒展開(kāi)系數(shù)?？紤]到二維空變高次項(xiàng)的影響,ki(RB,X)應(yīng)建模為RB和X的二階多項(xiàng)式模型。

設(shè)GEO SAR發(fā)射的信號(hào)是chirp信號(hào),場(chǎng)景中任意點(diǎn)目標(biāo)P的基頻回波信號(hào)為

(2)

式中,R(tm;RB,X)如式(1)所示,為4階多項(xiàng)式斜距模型；c為光速;γ為發(fā)射信號(hào)的調(diào)頻率;λ為載波波長(zhǎng);tr和tm分別為快時(shí)間和慢時(shí)間;ar(·)和aa(·)分別為線性調(diào)頻信號(hào)距離向和方位向的窗函數(shù)。通過(guò)駐定相位原理和級(jí)數(shù)反演法可以得到4階斜距模型精確的信號(hào)的二維頻譜表達(dá)式,下面給出距離脈壓后的點(diǎn)目標(biāo)P的二維頻譜表達(dá)式:

S(fr,fa;RB,X)=Ar(fr)Aa(fa-fdc)·

exp(jΦ(fr,fa;RB,X))

(3)

式中,fr和fa分別為距離頻率和方位多普勒頻率;fdc為多普勒中心頻率;相位Φ(fr,fa;RB,X)是文獻(xiàn)[22]中推導(dǎo)得到的MSR二維頻譜。需要注意的是斜距各階展開(kāi)系數(shù)ki(i=0～4)均為式(1)中的二維空變系數(shù)ki(RB,X)(i=0～4)。根據(jù)文獻(xiàn)[25],Φ(fr,fa;RB,X)可以分解為

Φ(fr,fa;RB,X)=Φr(fr,RB;fa)+Φa(fa,X;RB)

(4)

式中,Φr(fr,RB;fa)和Φa(fa,X;RB)分別是與距離空變的RCM校正相關(guān)的距離信號(hào)和與方位聚焦相關(guān)的二維空變的方位信號(hào)。

2 二維空變SVD特性分析

基于MSR方法求解的二維頻譜形式復(fù)雜,且該二維譜隨距離維和方位維是二維空變的,因此求解各處理函數(shù)比較復(fù)雜。而奇異值分解可以作為一種高效的數(shù)學(xué)工具將復(fù)雜的二維頻譜表示為易于處理的形式。式(5)給出了任一相位矩陣Φ奇異值分解后的表達(dá)式[27-28]

Φ=UΣVH=

(5)

表1 GEO SAR系統(tǒng)參數(shù)

2.1 距離空變SVD特性分析

根據(jù)式(5),距離信號(hào)經(jīng)過(guò)SVD后可以表示為

(6)

式中,Url(fr;fa)·Vrl(RB;fa)是距離SVD的第l個(gè)特征分量;對(duì)每個(gè)多普勒單元fa,Url(·)是距離頻率fr的多項(xiàng)式函數(shù),Vrl(·)是距離RB的多項(xiàng)式函數(shù)。

距離空變會(huì)隨著距離分辨率和距離場(chǎng)景寬度的增加而加劇。在一定的距離分辨率下,當(dāng)距離場(chǎng)景寬度不是非常大時(shí),用距離SVD的第一個(gè)特征分量表示距離信號(hào)的剩余相位誤差Φr_error_1(RB)<π/4 rad,第一個(gè)特征分量可以精確地表示距離信號(hào);隨著距離場(chǎng)景的增大,距離信號(hào)將需要兩個(gè)或更多的特征分量才能精確表示。圖2給出了在表1的系統(tǒng)參數(shù)下,不同距離場(chǎng)景寬度對(duì)應(yīng)的剩余相位誤差Φr_error_1(RB),其中藍(lán)色實(shí)線表示剩余相位誤差,紅色虛線表示π/4 rad的精度要求。從圖2中可以看出,當(dāng)距離場(chǎng)景寬度為150 km時(shí),距離信號(hào)可以用第一個(gè)特征分量精確表示;而當(dāng)場(chǎng)景寬度非常大時(shí),例如500 km時(shí),距離信號(hào)必須用兩個(gè)甚至更多的特征分量才能精確表示。

圖2 距離空變SVD特性分析Fig.2 Range variation analysis by SVD

2.2 方位空變SVD特性分析

與距離空變SVD特性分析類似,可以得到方位信號(hào)的SVD結(jié)果

(7)

式中,Ual(fa;RB)·Val(X;RB)是方位SVD的第l個(gè)特征分量;對(duì)每個(gè)距離單元RB,Ual(·)是多普勒頻率fa的多項(xiàng)式函數(shù),Val(·)是方位位置X的多項(xiàng)式函數(shù)。

與距離信號(hào)類似,方位空變也隨著方位分辨率和方位場(chǎng)景寬度的增加而加劇。在一定的方位分辨率下,仿真分析了不同方位場(chǎng)景寬度下的SVD結(jié)果如圖3所示。

圖3 方位空變SVD特性分析Fig.3 Azimuth variation analysis by SVD

由于方位信號(hào)的空變相較于距離信號(hào)的空變更嚴(yán)重,方位信號(hào)可能將不能用一個(gè)特征分量簡(jiǎn)單表示,因此圖3(a)給出了用方位SVD的第一個(gè)特征分量表示方位信號(hào)的剩余相位誤差Φa_error_1(X),圖3(b)給出了用方位SVD的前兩個(gè)特征分量表示方位信號(hào)的剩余相位誤差Φa_error_2(X)。從圖3(b)中可以看出,在方位場(chǎng)景寬度為150 km時(shí),方位信號(hào)需要用兩個(gè)特征分量精確表示,當(dāng)方位場(chǎng)景繼續(xù)增大時(shí),方位信號(hào)甚至需要3個(gè)或者更多的特征分量才能表示。用第一個(gè)特征分量表示方位信號(hào)雖然可以通過(guò)簡(jiǎn)單的插值處理校正方位空變,但是從圖3(a)可以看到,一個(gè)特征分量基本無(wú)法精確表示方位空變信號(hào),而且方位分塊操作存在很多問(wèn)題,例如在經(jīng)過(guò)方位分塊處理后會(huì)出現(xiàn)柵瓣現(xiàn)象,使成像質(zhì)量降低。針對(duì)兩個(gè)特征值能夠表示方位信號(hào)的情況,文獻(xiàn)[24]提出了一種級(jí)聯(lián)的方位SVD方法校正方位空變,可以對(duì)較大的方位場(chǎng)景完成方位空變校正,得到很好的聚焦效果。本文在經(jīng)過(guò)距離空變校正后將采用該方法完成方位空變校正及方位聚焦。

3 基于SVD的GEO SAR成像方法

圖4給出了本文提出的GEO SAR兩維奇異值分解成像方法流程圖,其處理步驟主要可以劃分為兩個(gè)部分:第一部分是基于距離塊的SVD-RCMC算法,通過(guò)一次距離SVD實(shí)現(xiàn)距離空變校正;另一部分是級(jí)聯(lián)的方位SVD-NCS算法,通過(guò)級(jí)聯(lián)的兩次方位SVD完成方位空變校正。

圖4 算法流程圖Fig.4 Block diagram of algorithm

3.1 基于SVD的距離空變校正方法

由第2.1節(jié)的距離空變的SVD分析結(jié)果可知,在較大的子距離塊中與距離空變的RCM校正相關(guān)的距離信號(hào)可以用SVD后的第一個(gè)特征分量表示

Φr(fr,RB;fa)=Ur1(fr;fa)·Vr1(RB;fa)

(8)

在GEO SAR曲線運(yùn)動(dòng)軌跡情況下,通過(guò)SVD得到的特征向量Ur1(fr;fa)和Vr1(RB;fa)分別是fr和RB的高階多項(xiàng)式。注意到各特征向量為數(shù)值列向量,因此可以通過(guò)數(shù)值方法得到多項(xiàng)式的各階系數(shù)[30],通過(guò)仿真分析可知高階項(xiàng)(三階及以上)對(duì)相位的影響遠(yuǎn)小于π/4 rad,可以忽略。故下面將Ur1(fr;fa)和Vr1(RB;fa)分別對(duì)fr和RB展開(kāi)到二階:

(9)

注意到式(8)和式(9)中的參變量fa,它代表著距離與多普勒的耦合。對(duì)每一個(gè)多普勒單元均進(jìn)行式(8)的距離SVD,可以得到距離與隨多普勒變化的系數(shù)Ai(fa)、Bi(fa)之間的耦合關(guān)系。利用距離SVD得到的這個(gè)耦合關(guān)系,將每個(gè)多普勒單元的距離信號(hào)通過(guò)插值和重采樣變換到參考多普勒單元的參考距離信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)距離空變的RCM校正。

(10)

式中,系數(shù)C0和C1將通過(guò)下面的參考多普勒處的SVD得到?？紤]到選取的參考多普勒單元將帶來(lái)的形變問(wèn)題,選取多普勒中心fdc作為參考多普勒單元,參考多普勒處的SVD結(jié)果由下式給出

Φr(fr,RB;fdc)=Ur1(fr;fdc)·Vr1(RB;fdc)=

(11)

經(jīng)過(guò)式(10)的第一次Stolt插值后,距離信號(hào)表示為

(12)

觀察式(11)和式(12),可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)構(gòu)造下面的距離空變的距離頻率重采樣方程即可完成距離空變的RCM校正

(13)

其中重采樣系數(shù)α(RB)為

(14)

經(jīng)過(guò)距離空變校正后,距離信號(hào)表示為

(15)

式中,等號(hào)右邊第一項(xiàng)與多普勒有關(guān)的相位是距離SVD處理引入的方位剩余相位,會(huì)影響之后的方位聚焦處理導(dǎo)致散焦。通過(guò)在距離多普勒域構(gòu)造相應(yīng)的補(bǔ)償函數(shù)將其補(bǔ)償為與參考多普勒單元(即式(11))相同的形式,即可完成方位剩余相位補(bǔ)償。方位剩余相位補(bǔ)償函數(shù)為

Haz_res(RB,fa)=exp(-jC0(B0(fa)+

(16)

exp(jΦa(fa,X;RB))

(17)

注意到,因?yàn)楸竟?jié)的距離空變的RCM校正處理僅對(duì)距離頻率fr進(jìn)行操作,不會(huì)對(duì)方位聚焦相位Φa(fa,X;RB)產(chǎn)生影響,故下面可以直接對(duì)方位信號(hào)Φa(fa,X;RB)進(jìn)行級(jí)聯(lián)的SVD完成方位聚焦。

3.2 基于SVD的方位空變校正方法

經(jīng)過(guò)第3.1節(jié)的距離空變的RCM校正后,在每個(gè)子距離塊中,與距離信號(hào)類似,式(17)中的方位信號(hào)是二維空變的。文獻(xiàn)[24]提出了一種級(jí)聯(lián)的SVD-NCS方位空變校正方法,在這里可以通過(guò)該方法校正方位空變完成方位聚焦。下面對(duì)該方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述。

對(duì)子距離塊中的每個(gè)距離單元RB的方位信號(hào)進(jìn)行SVD,根據(jù)第2.2節(jié)的方位空變SVD特性分析結(jié)果,分解后的信號(hào)需要由兩個(gè)特征分量表示。級(jí)聯(lián)的SVD-NCS方法首先通過(guò)第一次SVD-Stolt補(bǔ)償?shù)谝粋€(gè)特征分量(即主要特征分量)的高次項(xiàng),然后通過(guò)在方位時(shí)域引入一個(gè)三次擾動(dòng)函數(shù),使得與三次擾動(dòng)函數(shù)相乘后的信號(hào)的二維頻譜經(jīng)過(guò)第二次SVD分解可以僅由一個(gè)特征分量表示,最后對(duì)整合后的這個(gè)特征分量進(jìn)行Stolt插值即可完成方位空變校正。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 距離空變校正結(jié)果

仿真場(chǎng)景點(diǎn)目標(biāo)分布如圖5所示,其中距離向場(chǎng)景寬度為300 km,方位向場(chǎng)景寬度為100 km。仿真系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。為了驗(yàn)證本文提出的基于SVD的距離空變校正方法的有效性,下面首先給出大距離測(cè)繪帶的距離空變校正結(jié)果。

采用本文算法對(duì)大距離測(cè)繪帶進(jìn)行距離空變的RCM校正,圖6(a)給出了距離中心點(diǎn)匹配后的A點(diǎn)信號(hào)包絡(luò),可以看到距離空變嚴(yán)重,將影響距離聚焦;圖6(b)為距離中心點(diǎn)匹配后的中心點(diǎn)O的信號(hào)包絡(luò)。本文所提方法的目標(biāo)是通過(guò)一次SVD將各距離單元點(diǎn)目標(biāo)包絡(luò)校直。圖7(a)給出了直接對(duì)A點(diǎn)進(jìn)行一次距離SVD空變校正后的包絡(luò)結(jié)果,可以看到包絡(luò)未被完全校直,距離空變未被完全校正,將影響距離聚焦結(jié)果;根據(jù)第2.1節(jié)的距離空變SVD特性分析結(jié)果,圖7(b)給出了經(jīng)過(guò)150 km距離分塊后的距離空變RCM校正結(jié)果,可以看到經(jīng)過(guò)距離分塊后,場(chǎng)景邊沿點(diǎn)目標(biāo)的包絡(luò)被校直,距離空變被校正。

圖5 仿真場(chǎng)景示意圖Fig.5 Simulation scene

圖6 中心點(diǎn)匹配后點(diǎn)目標(biāo)包絡(luò)Fig.6 Signal envelope after center point matching

圖7 距離空變校正結(jié)果Fig.7 Range variation correction result

4.2 點(diǎn)目標(biāo)成像仿真

采用本文提出的兩維SVD成像方法對(duì)圖5中設(shè)置的300 km×100 km的場(chǎng)景成像。圖8和圖9分別給出了文獻(xiàn)[18]和本文方法對(duì)場(chǎng)景邊沿點(diǎn)目標(biāo)P成像的等高線圖,方位剖面圖和距離剖面圖。從圖8中可以看到,由于還存在空變的三次項(xiàng),點(diǎn)目標(biāo)副瓣抬升,散焦嚴(yán)重。而從圖9中可以看到,采用本文提出的兩維SVD成像方法,點(diǎn)目標(biāo)距離和方位均聚焦良好,其距離PSLR和ISLR分別為-13.26 dB和-10.15 dB,方位PSLR和ISLR分別為-13.20 dB和-10.23 dB,均非常接近理論值,滿足成像需求,驗(yàn)證了本文方法的有效性。

圖8 文獻(xiàn)[18]對(duì)場(chǎng)景邊沿點(diǎn)目標(biāo)P成像結(jié)果Fig.8 Imaging result of point P by reference[18]

圖9 本文所提算法對(duì)場(chǎng)景邊沿點(diǎn)目標(biāo)P成像結(jié)果Fig.9 Imaging result of point P by this paper

5 結(jié) 論

本文以地球同步軌道SAR為背景,研究了長(zhǎng)合成時(shí)間寬測(cè)繪帶情況下嚴(yán)重的二維空變問(wèn)題。本文提出了一種基于奇異值分解的地球同步軌道SAR兩維成像方法,該方法不需要對(duì)二維空變的二維頻譜進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)構(gòu)造處理函數(shù),而是通過(guò)奇異值分解對(duì)空變的信號(hào)進(jìn)行分析,然后利用空變信號(hào)奇異值分解后的特性先通過(guò)距離Stolt插值和距離頻率重采樣的方法校正距離空變,最后采用一種級(jí)聯(lián)的SVD-NCS算法校正方位空變。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本方法的有效性。