含腐蝕缺陷懸空管道的考慮多個變量相關性的非概率時變可靠性分析

王藝環(huán)，冼國棟，劉思銘

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含腐蝕缺陷懸空管道的考慮多個變量相關性的非概率時變可靠性分析

王藝環(huán)1，冼國棟2，劉思銘3

（1.西南石油大學 機電工程學院，四川 成都 610500；2.中國石油西南管道公司，四川 成都 610000；3.西南石油大學 土木工程與建筑學院，四川 成都 610500）

考慮管道工程中的小樣本數(shù)據(jù)難以得到準確的概率分布且采集數(shù)據(jù)需大量費用，且影響不確定因素相互影響的前提下，在研究其可靠性時提出利用非概率集合理論凸方法為理論基礎的橢球模型?？紤]結(jié)構(gòu)抗力隨時間衰變的客觀特性，基于隨機過程的時變可靠性分析需要大量的數(shù)據(jù)，提出了更符合實際情況的隨時間抗力的時間累計效應產(chǎn)生的衰變和腐蝕隨時間增長向相結(jié)合的模型，并結(jié)合實際帶腐蝕缺陷的懸空管道的極限懸空長度式子，建立了考慮腐蝕缺陷懸空管道的時變極限狀態(tài)方程，進行二維與三維的不確定變量相關性的非概率可靠性分析。可以作為基于隨機過程理論的腐蝕懸空管道的時變可靠性分析理論的有效補充，為埋地油氣管道的維護提供理論依據(jù)。

腐蝕懸空管道；橢球模型；腐蝕相關性；小樣本；非概率可靠性

世界經(jīng)濟發(fā)展伴隨石油需求量的增加[1]。管道懸空是其在遭受自然災害或人為破壞后的一種客觀存在的危險狀態(tài)，長輸埋地壓力管道會因其懸空而產(chǎn)生破壞[2-3]，且運行后的管道可能含有各種腐蝕缺陷，從而加速懸空管道失效。相關研究表明，腐蝕是管道失效的最主要因素[4]。國內(nèi)外學者對在各類地質(zhì)災害情況下腐蝕缺陷管道進行了研究[5]，如于東升等[6]利用數(shù)值模擬研究了無缺陷和含缺陷懸空管道的應力分布，國內(nèi)外研究工作對腐蝕管道可靠性評價時大多是假定腐蝕缺陷參數(shù)之間是獨立的[7-8]。但在客觀上影響管道腐蝕的隨機變量之間存在著相關性[9]。在對管道結(jié)構(gòu)進行可靠性分析時，經(jīng)典的概率可靠性是基于大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)、且概率模型對參數(shù)的概率分布有極高敏感性，因此概率可靠性模型有一定的局限性[10-11]。在實際工程設計中，變量的具體概率分布難以獲取并且獲取信息的成本極高，因此研究人員是利用有限信息來進行結(jié)構(gòu)的可靠性分析。Ben-Haim等[12]提出了小樣本數(shù)據(jù)下的非概率集合理論描述不確定性的概念，當用凸域來描述不確定變量時凸域形狀和大小可以分別反映變量的己知程度和不確定變量的波動幅度[13]。張鵬等[14]利用非概率凸模型對地震作用下的管道進行了非概率可靠性分析。區(qū)間模型和橢球模型是非概率集合理論凸方法的分析中常見的分析方法，區(qū)間模型的前提是不確定性參數(shù)相互獨立，而橢球模型則考慮了不確定參數(shù)之間的相關性。邱志平[15]對區(qū)間模型和橢球模型進行了詳細闡述和區(qū)別。喬心州等[16]利用橢球凸集合進行了結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析。Pantelides和Ganzeli[17]進行了橢球凸集合模型的建模并應用于工程實際問題。Ganzerli等[18]提出可以通過對比橢球和區(qū)間兩種凸模型求解結(jié)構(gòu)響應范圍的凸模型疊加法。當考慮時間對抗力和應力的影響時，大量學者進行了時變可靠度理論的研究。李桂青[19]以大量的試驗研究工作為基礎，提出了不同隨機過程的界限條件下抗震結(jié)構(gòu)和抗風結(jié)構(gòu)的時變動力可靠性分析方法。但基于隨機過程的動態(tài)可靠性需要大量的樣本信息[20]，故可建立基于小樣本的凸模型理論的非概率時變模型。王丕東等[21]對利用凸模型理論進行機械的時變可靠性分析。張俊芝等[22]基于Bayesian的概率分布方法進行了服役結(jié)構(gòu)的可靠性分析。

綜上，本文以凸模型理論為基礎考慮并考慮變量的相關性的有腐蝕缺陷的懸空管道的非概率時變可靠性分析，為小樣本的帶缺陷的懸空管道的可靠性研究提供了新的研究思路。

1 基于Winkler地基梁的懸空管道力學模型分析

懸空管道可以分為管道完全懸空段和管土相互作用段[23]，如圖1所示。

圖1 管道懸空示意圖

建立力學模型，根據(jù)Winkler地基梁模型將管道周圍的土體簡化為等效彈簧來模擬管土的相互作用，如圖2所示。設土彈簧的剛度系數(shù)為，其自由度是由土壤特性和土體運動確定。()為處管道因土體塌陷而產(chǎn)生的位移，在懸空段兩端受土體支承的區(qū)域也是土體的位移。認為土體塌陷區(qū)域管道關于懸空段中點對稱，設懸空段管道總長為21，端部受影響的管段長度為2。對稱截面的撓度為1、彎矩為0。為單位長度管道荷載。當懸空段管道長度較短時軸力的影響可以不考慮，但懸空段管道較大時則需要考慮軸力的影響。

圖2 基于Winkler地基梁的懸空管道力學模型

1.1 不考慮軸力的懸空管道力學模型

懸空段（段）和土體彈性變形段（段）管道任一截面的彎矩為：

式中：為Winkler地基梁坐標；2為地基梁的撓曲線方程。

式中：為彈性模量，MPa；為截面慣性矩，mm4。

對式（3）直接積分可得：

解式（4）非齊次線性常微分方程，得：

式（5）和式（6）中的8個常數(shù)由管道邊界條件和連續(xù)光滑條件確定[24]。

1.2 考慮軸力的懸空管道力學模型

考慮軸力影響時區(qū)域內(nèi)懸空段（段）和土體彈性變形段（段）任一截面彎矩為：

式中：0為軸力，KN。

由式（9）和式（10）解得：

式（10）的特征方程為：

解得：

式中：＝/＞0。

式（10）的解依賴于（1－4）的值，需要單獨討論：

（1）當1－4＞0即02＞4時，通解為：

（2）當1－4＝0即02＝4時通解為：

（3）當1－4＜0即02＜4時通解為：

2 腐蝕管道失效概率模型

油氣管道缺陷通常包括焊接缺陷、凹痕缺陷和腐蝕缺陷。對于金屬油氣管道，腐蝕缺陷十分常見。根據(jù)腐蝕缺陷出現(xiàn)部位不同，即管道內(nèi)表面或外表面，可以劃分為內(nèi)腐蝕缺陷和外腐蝕缺陷兩類。而壓力管道的腐蝕失效是其主要模式之一，在國內(nèi)的油氣集輸管道腐蝕失效案例中管道局部腐蝕導致的失效事故所占比例比全面腐蝕大得多。由于內(nèi)部等腐蝕性介質(zhì)的油、氣、水的侵蝕，管道極易發(fā)生局部腐蝕。

2.1 管道局部腐蝕

局部腐蝕一般難以預計且隱蔽性較強，常集中于某個部位。由于其破壞快速，所以危害性較大，如圖3所示。

圖3 局部腐蝕

管道局部腐蝕的主要失效模式為局部爆破失效，原因是局部腐蝕缺陷處的剩余壁厚不能承受內(nèi)壓時，不僅會導致管道的局部爆破而造成介質(zhì)大量泄漏，管道壓力還會顯著下降。在Modified ASME B31G中[25]，腐蝕缺陷用缺陷最大深度和沿管道軸向缺陷最大深度表示。大多數(shù)腐蝕缺陷管道的研究常將缺陷簡化為等深度形狀，如圖4所示[26]。

2.2 腐蝕增長模型

對于腐蝕的準穩(wěn)態(tài)過程中，可以將腐蝕增長過程（深度、長度、寬度）表達為時間的線性函數(shù)[27]，即：

式中：0為初始的腐蝕缺陷的深度；v為徑向增長速率，且v＝Δ/Δ；0為初始的腐蝕缺陷的長度；v為軸向增長速率，且v＝Δ/Δ；0為初始腐蝕缺陷的寬度，v為環(huán)向增長速率，且v＝Δ/Δ。

圖4 具有理想腐蝕缺陷的管道剖面圖

3 橢球模型

非概率集合理論凸方法的研究對象是樣本信息匱乏且分布無法確定，而其界限易能獲取。

基于非概率集合理論為基礎的分析方法主要為橢球模型和區(qū)間模型。橢球模型可考慮不確定參數(shù)之間的相關性，但區(qū)間模型是指相關參數(shù)是獨立的。與區(qū)間模型相比，橢球模型邊界更加緊湊，能得到更準確的可靠度。當有界不確定參數(shù)用橢球來描述時參數(shù)在橢球內(nèi)取任意一點的可能性是相同的，從概率角度而言可以看作參數(shù)在橢球內(nèi)服從均勻分布。

3.1 橢球模型

3.1.1 橢球模型的定義

式中：為維空間區(qū)域；R為維空間；為橢球變量；為橢球中心；為橢球的特征矩陣的逆矩陣，決定了橢球的形狀﹑大小和方向，能表征橢球變量之間的相關性。

3.1.2 具有相關性的二維橢球模型

相關隨機向量的協(xié)方差矩陣記為：

則可以通過協(xié)方差構(gòu)造二維橢球方程為：

圖5 二維橢球相關性模型

3.2 二維橢球模型的相關系數(shù)

相關系數(shù)反應出不確定域的幾何特征，當相關系數(shù)為正數(shù)時表示一個變量增加而另一也隨之增加，當相關系數(shù)為負數(shù)時表示一個變量增加而另一個變量減?。幌嚓P系數(shù)的絕對值表明隨機變量之間關系越緊密。而隨機變量相關性的大小及其對失效概率的影響程度隨實際情況而變化。

對于區(qū)間變量有ρ1X2＝1，對于橢球模型而言ρ1X2的大小反映了區(qū)間變量1和2之間的相關程度。圖6是描述區(qū)間變量1和2的正相關性和負相關性的二維橢球不確定域。

圖6 區(qū)間變量X1和X2的二維橢球不確定域

3.3 二維橢球標準模型化

對式（27）進行標準化，可得：

二維橢球標準模型化如圖7所示。

4 具有相關性的二維區(qū)間模型的非概率時變可靠性求解

4.1 非概率可靠性分析

建立結(jié)構(gòu)的功能方程為：

式中：為結(jié)構(gòu)抗力；為荷載效應。

不確定域的度量模型不同，其標準化的方式也不同。

當區(qū)間為[x,x]時，利用區(qū)間中點x和區(qū)間半徑x來反應模型的幾何特征：

（31）

對參數(shù)進行標準化變換，得到：

則式（28）可以變?yōu)閇30]：

引入：

可以得到標準空間的圓：

當描述具有相關性的橢球模型時，的物理意義為標準化區(qū)間變量的擴展空間里，最小二范數(shù)||·||∞度量從坐標原點到失效面的最短距離，如圖8所示。

式中：為基于橢球模型的非概率可靠指標；||·||2為二范數(shù)距離；()＝0為極限狀態(tài)。

圖8 標準空間橢球模型的非概率可靠指標

4.2 時變可靠性模型

由于各種原因，包括變化載荷作用、環(huán)境條件變化、材料自身性能退化，在實際工程中，結(jié)構(gòu)在一次激勵下的荷載具有隨機性，即效應具有時變特性。需要區(qū)分，一般來說結(jié)構(gòu)的抗力是衰變的過程，而結(jié)構(gòu)的效應是加載時的陡然變化。不確定結(jié)構(gòu)的抗力隨時間退化，而載荷隨時間的隨機性也很大，因此將時間因素考慮在內(nèi)的結(jié)構(gòu)可靠性更符合實際情況。

傳統(tǒng)的可靠度是一個定值，但實際上結(jié)構(gòu)強度具有衰變、并且載荷效應也是動荷載。隨著結(jié)構(gòu)的抗力和效應同時發(fā)生變化，結(jié)構(gòu)的可靠度會表現(xiàn)出時變或動態(tài)特性，其時變衰減模型可以表示為：

式中：()為結(jié)構(gòu)考慮時變性質(zhì)的抗力；()為結(jié)構(gòu)考慮時變性質(zhì)的效應；為考慮時變性質(zhì)的功能函數(shù)。

＝0時，即可得極限狀態(tài)方程為：

在結(jié)構(gòu)的整個生命周期[0,]，結(jié)構(gòu)的安全界限可表示為：

當考慮結(jié)構(gòu)的衰變特性時，其抗力為：

式中：()為結(jié)構(gòu)使用年后的結(jié)構(gòu)剩余抗力；(,)為隨時間的衰減函數(shù)；為抗力的衰減參數(shù)；0為結(jié)構(gòu)初始的抗力。

結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的抗力衰減函數(shù)(,)與結(jié)構(gòu)的材料、類別、受力特點、使用條件及環(huán)境等因素有關。李桂青等[31]提出的指數(shù)衰減函數(shù)為：

式中：＝－In()，一般取50；當(50)＝0.7時，＝0.3567；當(50)＝0.8時，＝0.2232；當(50)＝0.9時，＝0.1094。

4.3 含缺陷的承受橫穿滑坡作用的管道的極限狀態(tài)方程建立

與非缺陷管道影響因素相同部分外，管道能承受的懸空作用長度L的決定因素還包括腐蝕缺陷的尺寸。由于此次研究未考慮缺陷寬度以及缺陷深度變化的影響，僅考慮缺陷長度的影響，因而內(nèi)腐蝕缺陷管道能承受的橫穿滑坡作用長度L將包含缺陷尺寸參數(shù)，即此處的長度參數(shù)。

故含缺陷條件下，L可表示為：

考慮到管道的腐蝕缺陷時變特性，可以得到有腐蝕時變特性的懸空管道的廣義抗力為：

可得含缺陷管道承受橫穿滑坡作用長度的極限狀態(tài)方程為：

當其中任意2個不確定系數(shù)為具有相關性的區(qū)間變量描述時，可以建立優(yōu)化方程，并利用Matlab優(yōu)化軟件的序列二次規(guī)劃SQP算法求解[29]，進而得到非概率可靠性指標為：

根據(jù)GB 50068－2001《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設計統(tǒng)一標準》[32]可以得到，當＝0時結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)，當＞0時結(jié)構(gòu)安全，當＜0時結(jié)構(gòu)失效。

按照經(jīng)典的結(jié)構(gòu)可靠性理論，設超曲面＝()＝0為失效面，將結(jié)構(gòu)的基本參量空間分為失效域和安全域兩部分。當＞1、即＞0時結(jié)構(gòu)安全可靠；當1＜＜1時，則＞0或著＜0都有可能，則結(jié)構(gòu)可能安全可能失效，從工程通常認為此種情況結(jié)構(gòu)不可靠；當＜1時則＜0，此時結(jié)構(gòu)失效[33]。而利用的值可以評價管道的安全程度，的值越大就表明其波動區(qū)域距失效域越遠，管道的安全程度越高。

5 工程實例

對機械的可靠性研究也越來越多[34]。以某X52有腐蝕缺陷的懸空管道為例，結(jié)合時變可靠性模型和根據(jù)文獻[35]有限元軟件建立模型并進行數(shù)據(jù)擬合后的公式，得到了有腐蝕缺陷位于懸空管道端的極限狀態(tài)方程。

當腐蝕缺陷位于懸空管道端時，得到極限狀態(tài)方程如式（47）所示。

5.1 徑向腐蝕深度與環(huán)向腐蝕深度相關性的影響

腐蝕懸空管道基本參數(shù)如表1所示。

當腐蝕缺陷位于懸空管道端，假設缺陷深度與寬度相關系數(shù)依次取0.2，0.4，0.6，0.8，其他隨機變量之間相互獨立。根據(jù)Matlab數(shù)學優(yōu)化工具可得到腐蝕缺陷長度和深度的非概率可靠指標隨時間和相關系數(shù)變化的趨勢，如圖9所示。

5.2 徑向腐蝕速率與環(huán)向腐蝕速率相關性的影響

腐蝕懸空管道基本參數(shù)如表2所示。假設徑向腐蝕速率與軸向腐蝕速率相關系數(shù)依次取0.2，0.4，0.6，0.8，其他隨機變量之間相互獨立。可以得到腐蝕軸向腐蝕速率和徑向腐蝕速率的非概率可靠指標隨時間和相關系數(shù)變化的趨勢，如圖10所示。

表1 腐蝕懸空管道基本參數(shù)

圖9 考慮相關性的腐蝕長度和深度隨時間變化的非概率可靠指標

5.3 管道的腐蝕深度、腐蝕寬度和懸空長度的相關性影響

腐蝕懸空管道基本參數(shù)如表3所示。

表2 腐蝕懸空管道基本參數(shù)

表3 腐蝕懸空管道基本參數(shù)

當考慮管道的腐蝕深度、腐蝕寬度和懸空長度相關時，即相關系數(shù)矩陣為：

可以得到構(gòu)建的三維橢球模型為式（49）。

當為10年時，假設腐蝕深度與腐蝕寬度和極限懸空長度之間相關系數(shù)依次取0.2、0.4、0.6、0.8，其他隨機變量之間相互獨立，得到結(jié)果如表4所示。

綜上所述，非概率可靠性指標隨時間變化呈現(xiàn)遞減趨勢，對于局部腐蝕的管道，在考慮腐蝕缺陷的深度和長度相關性、徑向腐蝕速率與軸向腐蝕速率相關性的影響時，非概率可靠性指標都隨相關系數(shù)的增大而增大，而在考慮3個不確定變量的相關性時，即腐蝕深度﹑腐蝕寬度和極限懸空長度時，非概率可靠性指標隨相關系數(shù)的增加而減小。

6 結(jié)論

（1）在只有小樣本的有腐蝕缺陷的懸空管道分析中，以非概率凸集合為理論基礎的區(qū)間模型建立多因素影響下的極限狀態(tài)方程，更利于管道工程的時變非概率可靠性分析與評估。

表4 非概率可靠性指標

（2）在小樣本貧信息的條件下，結(jié)合凸模型理論與有限元的分析，建立以有腐蝕缺陷的懸空管道的非概率凸集合可靠性分析的模型。

（3）通過對腐蝕懸空管道的可靠性指標的比較可以得到，從管道安全運行考慮，應加強收集和統(tǒng)計對其非概率可靠指標影響較大的隨機變量，可以忽略不計對腐蝕管道可靠性影響較小的隨機變量。

（4）奠定了長輸成品油管道在遭受地質(zhì)災害情況下的非概率可靠性分析的基礎，并將其結(jié)合不確定變量的相關性研究，更適應于普及結(jié)構(gòu)可靠性設計。

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Non-probabilistic and Time-varying Reliability Analysis of Suspended Pipeline with Corrosion Defects Considering the Correlation of Multiple Variables

WANG Yihuan1，XIAN Guodong2，LIU Siming3

( 1.School of Mechanical and Electrical Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China; 2.PetroChina Southwest Pipeline Corporation,Chengdu 610000, China; 3.School of Civil Engineering and Architecture, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China )

Considering that small sample data in pipeline engineering, it is difficult to obtain accurate probability distribution and collect data which requires a large amount of cost. In addition, affecting the mutual influence of uncertain factors, it is proposed to use non-probability set theory convex method as the theoretical basis when studying its reliability. Considering the objective characteristics of structural resistance decay with time and the time-varying reliability analysis based on random process requires a large amount of data, the decay and corrosion of time-dependent growth due to the effect of time are proposed. Combined with the model, the ultimate suspended length formula of the suspended pipeline with corrosion defects, the time-varying limit state equation considering the corrosion-defective suspended pipeline is established. And the non-probabilistic time-varying reliability is analyzed. It can be used as the corrosion vacancy based on random process theory. Above all, it provides a theoretical basis for the maintenance of buried oil and gas pipelines.

suspended pipeline with corrosion；ellipsoid model；correlation of corrosion；small sample；non-probabilistic reliability

TE973

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.09.003

1006－0316 (2018) 09－0011－10

2018－07－02

國家自然科學基金項目（50974105）；中國工程院重大咨詢研究項目（2011-ZD-20）；高等學校博士學科點專項科研基金（20105121110003）

王藝環(huán)（1993－），女，四川資陽人，博士研究生，主要研究方向為油氣管道可靠性。