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    基于時(shí)間最優(yōu)控制的起重機(jī)防擺控制技術(shù)研究

    2018-10-15 09:10:46宋勁松張明哲
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)控制重物龍門

    宋勁松, 李 凌, 張明哲

    (沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110142)

    起重機(jī)利用繩索一類的柔性體代替剛體工作,以使得起重機(jī)的結(jié)構(gòu)輕便、工作效率高.但是采用柔性體吊運(yùn)也帶來了一些負(fù)面影響,例如起重機(jī)負(fù)載的擺動(dòng)一直是困擾提高起重機(jī)裝運(yùn)效率的一個(gè)難題.在碼頭、倉庫等貨物集散地,龍門起重機(jī)系統(tǒng)必須快速平穩(wěn)地吊運(yùn)貨物,吊運(yùn)過程中,重物擺角幅度不能太大,在平穩(wěn)停車后,重物擺角要盡快歸零,到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài),以便進(jìn)行下一步運(yùn)輸.研究龍門起重機(jī)更加快速地消除擺動(dòng)、提高運(yùn)行效率具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

    對于龍門起重機(jī)的防擺問題,人們進(jìn)行了數(shù)十年的規(guī)范研究.早在上世紀(jì)末,受限于當(dāng)時(shí)技術(shù)和材料,龍門起重機(jī)的設(shè)計(jì)偏于保守以保證安全性,設(shè)備通常非常笨重,以較慢的運(yùn)行速度降低貨物擺動(dòng),工作效率低下.新世紀(jì)初,隨著工業(yè)的快速發(fā)展,遠(yuǎn)洋物流運(yùn)輸速度不斷加快,這對龍門起重機(jī)的性能有了新的要求,在保證安全和穩(wěn)定的前提下,需要有更高的轉(zhuǎn)運(yùn)速度,龍門起重機(jī)迎來了新的發(fā)展,新技術(shù)新方法被普遍運(yùn)用.其中,創(chuàng)新的控制技術(shù)在起重機(jī)防擺研究中起著至關(guān)重要的作用,PID參數(shù)優(yōu)化、內(nèi)??刂?、模糊控制等控制技術(shù)的應(yīng)用使龍門起重機(jī)消擺問題得到一定程度的優(yōu)化[1].

    控制系統(tǒng)的目標(biāo)是以最小的過沖和最大的速度將貨物移動(dòng)到龍門起重機(jī)上一個(gè)新的位置.大多數(shù)龍門起重機(jī)控制系統(tǒng),以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性為主要目標(biāo),而更快的轉(zhuǎn)運(yùn)速度則是行業(yè)領(lǐng)先的標(biāo)桿.相較于傳統(tǒng)的控制方法,應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制能夠在系統(tǒng)穩(wěn)定基礎(chǔ)上最大程度地提高運(yùn)行效率.本文對龍門起重機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行建模,結(jié)合時(shí)間最優(yōu)控制原理,在擺動(dòng)允許范圍內(nèi),實(shí)現(xiàn)最快速的運(yùn)行,并通過Matlab仿真驗(yàn)證方法可行性.

    1 時(shí)間最優(yōu)控制問題

    最優(yōu)控制問題是從事研究工作人員經(jīng)常碰到的問題,應(yīng)用什么樣的技術(shù)手段使人們能夠用最小的花費(fèi)得到最好的效果是研究的重點(diǎn)[2].

    1.1 時(shí)間最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)描述

    受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為:

    (1)

    給定的終端狀態(tài)為x(tf)=xf,對控制變量的約束為u(t)∈U∈Rr.

    若選擇允許的最優(yōu)控制函數(shù)u*(t),其將使得系統(tǒng)的狀態(tài)方程從初始狀態(tài)x0出發(fā),轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)xf的過程所需要的時(shí)間最短(即(tf-t0)=tmin),稱這一問題為時(shí)間最優(yōu)控制問題[1].

    時(shí)間最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)函數(shù)可表示為:

    (2)

    1.2 時(shí)間最優(yōu)控制的必要條件

    根據(jù)極大值原理可知,線性系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制有解的必要條件是:控制域U必須是“有界閉集”,且最優(yōu)控制函數(shù)必定取這個(gè)閉集U的邊界值。由此可得出時(shí)間最優(yōu)的控制為:

    (3)

    由此可見,允許控制的時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)是Bang-Bang型(也稱砰砰型)控制系統(tǒng),只有繼電型非線性系統(tǒng)才能實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)控制[1-2].

    2 系統(tǒng)建模

    2.1 模型建立

    龍門起重機(jī)問題為多剛體、多自由度、多約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題.在生產(chǎn)生活中龍門起重機(jī)模型實(shí)際上是一個(gè)三維模型,但是龍門起重機(jī)在運(yùn)動(dòng)過程中,主要受力情況分布在二維空間內(nèi),在另一個(gè)維度方向上受力主要是一些擾動(dòng)(比如風(fēng)力).為了研究方便,將實(shí)際的三維模型抽象成二維模型,且在龍門起重機(jī)運(yùn)行過程中認(rèn)為繩長不變,纜繩的質(zhì)量相對于重物的質(zhì)量可以忽略不計(jì).模型如圖1所示[3].

    圖1 起重機(jī)系統(tǒng)的物理模型

    重物通過繩索與小車相連,小車在電動(dòng)機(jī)的水平拉力F1的作用下在平直軌道上運(yùn)動(dòng).小車的質(zhì)量為m0,重物的質(zhì)量為m,繩索的長度為l,可在提升電動(dòng)機(jī)的提升力F2作用下進(jìn)行升降運(yùn)動(dòng),重力加速度為g;繩索的彈性、質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)可忽略;小車與水平軌道的摩擦阻尼系數(shù)為D;重物擺動(dòng)時(shí)的阻尼系數(shù)為η,其他擾動(dòng)可忽略[4].取小車位置為x1,繩長為x2,擺角為x3,將它們作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系,在此基礎(chǔ)上對龍門起重機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析建模.其中,所涉及的參數(shù)、變量、單位及取值參見表1.

    表1 參數(shù)變量表

    由圖1所示的坐標(biāo)系可知,小車和重物的位置坐標(biāo)為:

    (4)

    所以小車和重物的速度分量為:

    (5)

    系統(tǒng)的動(dòng)能為:

    (6)

    此系統(tǒng)的拉格朗日方程組為:

    (7)

    (8)

    2.2 模型簡化

    為了應(yīng)用經(jīng)典控制理論分析所建立的系統(tǒng),就需要把式(8)所示的非線性方程組進(jìn)行線性化處理[5].

    (9)

    對式(9)進(jìn)行拉普拉斯變化可得:

    (10)

    式(10)即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型形式,據(jù)此可以得到圖2所示的定擺長起重機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖,圖3是其另一種表達(dá)形式.

    圖2 定擺長起重機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)

    圖3 變換后的定擺長起重機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)

    同理,也可將上述模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式.對式(10)進(jìn)行變換,每個(gè)式子只保留一個(gè)二次導(dǎo)數(shù)項(xiàng),可得:

    (11)

    (12)

    (13)

    在擺長一定的情況下,起重機(jī)模型的狀態(tài)空間表達(dá)式即如式(13)所示.

    3 應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制策略

    由于起重機(jī)防擺控制問題的核心是在有效消除重物擺動(dòng)的條件下,使小車能夠快速可靠定位,可以通過對重物擺動(dòng)規(guī)律分析,選定有效的控制策略[6-7].

    3.1 負(fù)載重物擺動(dòng)問題的數(shù)學(xué)描述

    在建立了龍門起重機(jī)的整體運(yùn)動(dòng)模型后,為了應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制方法,還需要對負(fù)載擺動(dòng)模型獨(dú)立進(jìn)行分析.

    (14)

    這樣負(fù)載的擺動(dòng)方程可以寫成:

    (15)

    (16)

    3.2 擺動(dòng)規(guī)律相平面分析

    為實(shí)現(xiàn)有效控制需要研究重物的擺動(dòng)規(guī)律,通過相軌跡對擺動(dòng)進(jìn)行分析比較容易,這里應(yīng)用相平面分析法.

    重物擺動(dòng)的狀態(tài)方程對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

    (17)

    其解為:

    (18)

    為了使時(shí)間最優(yōu),取控制規(guī)律u(t)=Δ(Δ=±1,0),并設(shè)ωx1(t)、ωx2(t)為新的狀態(tài),式(18)可整理為:

    [ωx1(t)-Δ]2+[ωx2(t)]2=

    [ωx1(0)-Δ]2+[ωx2(0)]2

    (19)

    龍門起重機(jī)系統(tǒng)負(fù)載擺動(dòng)的相平面圖如圖4所示,其中,Dx=ωx2(t)為縱坐標(biāo),x=ωx1(t)為橫坐標(biāo).

    圖4 系統(tǒng)相平面

    3.3 消擺控制策略

    通過前面的分析,可以得到龍門起重機(jī)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律:啟動(dòng)時(shí)u(t)=1,加速度處于最大,重物的擺動(dòng)狀態(tài)對應(yīng)圖5中的右半平面的實(shí)線;當(dāng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)一周回到原點(diǎn),此時(shí)擺角及擺速均為零,加速為零,小車處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài),擺動(dòng)消除;同理,當(dāng)制動(dòng)停車過程中,始終以最大減速度減速,即u(t)=-1,重物的擺動(dòng)狀態(tài)對應(yīng)圖5中的左半平面虛線;當(dāng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)回到原點(diǎn)時(shí),減速停止,擺動(dòng)消除[6].

    圖5 當(dāng)u(t)等于-1和1時(shí)的相平面圖

    該消擺控制策略加減速的時(shí)間ts相同,均為走完一個(gè)完整圓周使用的時(shí)間,即有:

    由此可知,負(fù)載擺動(dòng)具有周期性,且只需控制小車的加速度就能控制擺動(dòng)幅度.控制器可以通過改變輸出PWM占空比將加速度信號(hào)轉(zhuǎn)換為伺服驅(qū)動(dòng)器可以接收到的速度信號(hào).所以,控制器只需要設(shè)計(jì)為開環(huán)就能滿足需要.其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖6.操作人員發(fā)送控制信號(hào)給控制器,控制器接收到控制信號(hào)給出的位置坐標(biāo),根據(jù)已知的繩長及其他限制條件計(jì)算出加速度的時(shí)間序列,最后發(fā)送給小車伺服驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)小車進(jìn)行工作.

    圖6 起重機(jī)控制結(jié)構(gòu)框圖

    假設(shè)起重機(jī)的啟動(dòng)制動(dòng)最大加速度為am,最大速度為vm,繩長為l,要行走的距離為s.下面給出消擺的切換時(shí)間序列.

    圖7 起制動(dòng)切換時(shí)刻

    4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)論

    4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    綜合以上分析,建立如圖8所示仿真結(jié)構(gòu),其中控制器輸出為圖7計(jì)算的加速度時(shí)間序列,并通過增益輸出力作用于所建立的起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型,繼而輸出仿真結(jié)果,如圖9所示.

    圖8 Simulink仿真框圖

    圖9 系統(tǒng)仿真結(jié)果

    由圖9得知:重物擺動(dòng)幅度在控制在很小的范圍內(nèi)(|θ|<10 rad)時(shí),經(jīng)過時(shí)間最優(yōu)控制的龍門起重機(jī)模型在最大速度運(yùn)行的情況下有良好的消擺效果,這也驗(yàn)證了之前的理論推測.

    4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

    (1) 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)基于時(shí)間最優(yōu)理論.根據(jù)上節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,擺角絕對值小于10 rad,在滿足理論最大運(yùn)行速度的前提下,符合預(yù)期消擺要求.所以,實(shí)驗(yàn)證明了所設(shè)計(jì)的基于時(shí)間最優(yōu)控制的起重機(jī)防擺控制方案是可行的.

    (2) 相較于其他控制方法,時(shí)間最優(yōu)控制在實(shí)際的龍門吊防擺應(yīng)用中具有諸多優(yōu)點(diǎn),如不需要檢測擺角、運(yùn)行速度快、控制較為簡單等.

    (3) 時(shí)間最優(yōu)控制在防擺應(yīng)用中也有其不足,比如要求擺角初始為零.此外,實(shí)驗(yàn)實(shí)質(zhì)為開環(huán)控制,實(shí)現(xiàn)更加精確的控制還需要在控制器中加入角度位置等反饋控制.

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