新課程理念下高中函數(shù)教學的思考

張莉

函數(shù)是貫穿于整個高中數(shù)學課程始終的重要思想之一。函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、導數(shù)及其應用，包括概率統(tǒng)計中的隨機變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內(nèi)容，都與函數(shù)有著密切的聯(lián)系。用函數(shù)思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個出發(fā)點。因此，在整個高中數(shù)學課程中，如何幫助學生理解函數(shù)概念，學好函數(shù)，應用函數(shù)是教學的重要任務。下面就如何進行教學談談自己的想法。

一、加強函數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，理解函數(shù)概念

通過豐富的實例引導學生認識到，函數(shù)是刻畫日常生活和其他學科規(guī)律的重要數(shù)學模型。在高中數(shù)學中，函數(shù)占有很重要的地位。我們在任何一個生活情景中，都會發(fā)現(xiàn)許多描述規(guī)律的函數(shù)關系。在其他學科，如物理、化學、生物、地理、社會、經(jīng)濟等學科中，描述規(guī)律的函數(shù)關系比比皆是。例如，在物理中刻畫物體運動時，路程隨著時間的變化而變化。又如，世界人口數(shù)量是隨著時間的變化而變化的。這些變量之間都有著密切的依賴關系，而且，這種變量之間的依賴關系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有唯一確定的值。具有這種特征的變量之間的依賴關系在現(xiàn)實世界中大量存在。通過這些學生熟悉的實例讓學生對函數(shù)概念的實質(zhì)有了感性的認識后，再用集合和對應的語言來刻畫函數(shù)的定義，使學生形成對函數(shù)概念的理性認識。

函數(shù)的概念決非“函數(shù)的概念”一節(jié)所能完成，在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列的教學過程中，應始終帶有“概念教學”的意識，不斷加深學生對函數(shù)概念的理解。這是一個多次接觸、反復體會、螺旋上升的過程，是一個由淺入深、循序漸進的過程。

二、加強信息技術(shù)與課程的整合，研究函數(shù)性質(zhì)

高中新課程中主要研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性。由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此在教學過程中采用信息技術(shù)輔助教學可達到事半功倍的效果。例如，在課堂上用幾何畫板繪制出學生熟悉的二次函數(shù) ，首先讓學生觀察圖象并描述該圖象的變化規(guī)律；然后在函數(shù)圖象上任找一點P，并測出其坐標。（1）拖動點P，讓學生觀察當點P在拋物線上移動的過程中，橫坐標px增大時，縱坐標py的變化規(guī)律，并把這種變化規(guī)律轉(zhuǎn)化成數(shù)學符號語言的描述，得到單調(diào)性的數(shù)學定義。（2）作出點P關于y軸的對稱點P/，測出坐標，發(fā)現(xiàn)點P/也在該函數(shù)圖象上，拖動點P，觀察這兩點坐標的關系，在這基礎上建立奇（偶）函數(shù)的定義。

又如，正余弦函數(shù)、正切函數(shù)都是刻畫周期變化的函數(shù)模型。在教學過程中我們可以先用幾何畫板準確快速地畫出三角函數(shù)圖象，引導學生觀察該圖象的特征，使學生在對這種“周而復始”的變化規(guī)律有一個形象的認識，然后讓學生思考誘導公式是如何反映這種變化規(guī)律的，最后引導學生了解“周而復始”的變化規(guī)律的代數(shù)刻畫，給出周期性的概念。

而在研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，可以讓學生利用計算機作出函數(shù)圖象，然后再通過底數(shù)a的連續(xù)動態(tài)變化展示函數(shù)圖象的分布情況，這樣就會使學生比較容易地概括出函數(shù)性質(zhì)。

三、加強對基本函數(shù)模型的認識和把握，滲透模型思想

在高中階段，學生應掌握的基本函數(shù)模型有：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、簡單的冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列，還有簡單的分段函數(shù)等等，這些都是基本的、重要的函數(shù)模型。如何讓學生把這些模型留在頭腦中，并能幫助思考問題呢？

首先，應該把函數(shù)概念的整體理解與每一個具體的模型有機地結(jié)合起來。我們在對每一個具體函數(shù)模型教學的過程中，可以通過這些函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、變量與變量之間的依賴關系來理解函數(shù)概念。其次，把研究函數(shù)性質(zhì)的方法結(jié)合到研究這些基本函數(shù)的性質(zhì)過程中，比如可用代數(shù)和導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性等等，幫助學生熟練掌握這些基本函數(shù)的性質(zhì)，并讓每一個基本函數(shù)的圖形留在學生的頭腦中。在這基礎上，進而幫助學生對這些模型進行比較、梳理，比如我們可以通過具體的實例來比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)間的增長差異，在整個學生過程中讓學生用計算機畫出三種函數(shù)的圖象，進行觀察、比較，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義，在更高的層次上把握每個基本函數(shù)模型的特點。最后，幫助學生養(yǎng)成一種習慣，借助于具體的模型，思考抽象問題。在數(shù)學思維中，無論討論什么樣抽象的問題，腦子都不能空，需要有具體模型的支持，這樣才能使抽象的問題變得簡潔。

四、加強函數(shù)與其他知識的聯(lián)系，注重函數(shù)應用

函數(shù)的應用反映在兩個方面：一方面，用函數(shù)解決現(xiàn)實生活中一些簡單的實際問題；另一方面，用函數(shù)思想討論其他的數(shù)學問題。

利用函數(shù)模型解決實際問題是數(shù)學應用的一個重要方面。我們在教學中可以選擇貼近學生認知水平、貼近學生生活的數(shù)學問題，引導學生積極思考，抓住問題的實質(zhì)，建立數(shù)學模型，利用我們熟悉的函數(shù)模型解決問題，培養(yǎng)學生的應用意識，加強學生學習數(shù)學的興趣，提高分析和解決問題的能力。例如，可以用指數(shù)函數(shù)模型解決增長率問題，用等差、等比數(shù)列討論存款、貸款問題等等。

用函數(shù)討論其他數(shù)學問題，這是高中數(shù)學學習需要認真思考的問題。例如，用函數(shù)討論方程的根的問題，教學中盡量讓學生對函數(shù)與方程的關系有一個逐步認識的過程，因此分三步來展開這部分的內(nèi)容。第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形.第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系。第三步，在函數(shù)模型的應用過程中，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關系逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系。還可在平面解析幾何的學習中通過類比、聯(lián)想，體會直線的斜截式與一次函數(shù)的聯(lián)系；在數(shù)列的學習中體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系；在導數(shù)的學習中通過與前面函數(shù)性質(zhì)學習的比較，體會導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時的一般性和有效性； 在線性規(guī)劃問題的學習中滲透函數(shù)思想，解決最優(yōu)化問題。

總之，在高中數(shù)學新課程教學過程中，我們應該強調(diào)基本知識、基本技能和基本能力，同時，我們還應該強調(diào)整體地理解函數(shù)在高中數(shù)學課程中的地位和作用，才能更好地把握每一部分內(nèi)容，才能提高教學的效率，并幫助學生學會整體地理解函數(shù)，不斷地梳理頭腦中的知識網(wǎng)絡，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣。