類比法在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的簡單應(yīng)用

郭仲凱　王文婭

摘 要：類比法是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的重要方法。對于數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)，類比法也是學(xué)習(xí)的一種重要手段，本文通過觀察與思考，考察了線性代數(shù)中轉(zhuǎn)置、伴隨、逆三個概念之間的關(guān)系。從定義出發(fā)，通過類比發(fā)現(xiàn)三個概念所具有的對應(yīng)公式具有很多相似之處，并且討論了三個概念之間的一些簡單混合運算結(jié)果，對于理解與記憶相關(guān)公式有著很好的作用。

關(guān)鍵詞：類比法；矩陣的轉(zhuǎn)置；伴隨矩陣；矩陣的逆

一、引言

對于剛?cè)胄５拇髮W(xué)生來說，學(xué)習(xí)一門新的數(shù)學(xué)課程會在各種方面遇到困難，包括概念的給出，定理性質(zhì)的證明，公式的推導(dǎo)，以及書本知識的結(jié)構(gòu)等都會與中學(xué)數(shù)學(xué)有著很大的不同，基于此會有一大部分學(xué)生對所學(xué)知識感覺枯燥乏味，通過對幾屆學(xué)生的線性代數(shù)的教授我發(fā)現(xiàn)，利用學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)去安排線性代數(shù)相關(guān)概念的提出是非常重要的，層層遞進(jìn)，從而利用所學(xué)的新知識去統(tǒng)一解決過去初等數(shù)學(xué)中的某些問題，讓學(xué)生從大的方面去了解，原來學(xué)習(xí)這些新東西是統(tǒng)一解決某些已學(xué)的問題，有了目標(biāo)學(xué)生心里就有了譜，至少知道了為什么學(xué)這些東西。為了統(tǒng)一處理，我們需要定義新的概念以及發(fā)展新的方法，事實上數(shù)學(xué)中許多問題的解決離不開新的數(shù)學(xué)工具的引入，從而產(chǎn)生一些新的概念以及新的數(shù)學(xué)方法，線性代數(shù)也一樣。線性代數(shù)這門課程對于學(xué)生來說應(yīng)該是既陌生又熟悉的一門學(xué)科，一般的線性代數(shù)教材通常主要是圍繞著怎么解線性方程組展開其相關(guān)內(nèi)容，在結(jié)構(gòu)上我們可以認(rèn)為分兩部分，一部分是發(fā)展概念與方法統(tǒng)一處理方程組有沒有解的判定條件以及解的形式，另一部分是對在解方程組所引入的矩陣概念中的方陣做了一定的理論分析以及簡單應(yīng)用，包括對角化，包括二次型等概念。其中對于簡單的線性方程組，我們已經(jīng)在初中就已經(jīng)掌握，當(dāng)然大學(xué)的線性代數(shù)課程最主要的任務(wù)其實是把各種線性方程組做統(tǒng)一處理，為此引入了一系列概念，包括行列式，矩陣，初等變換，轉(zhuǎn)置，伴隨，逆，線性相關(guān)，線性無關(guān)等概念。其中秩與初等變換這兩個概念出現(xiàn)的頻率可謂不是一般的多，因此需要對這兩個概念需要有著深入的理解，不難發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)中新的概念給出利用了數(shù)學(xué)中常用的幾種手段，包括歸納方法，類比方法，這是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論以及新的處理方法的重要手段。本文通過發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)置，伴隨，逆三個概念之間的聯(lián)系，利用類比法討論了三個概念所對應(yīng)的一些數(shù)學(xué)公式之間的相似性，這其實也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一種方法，通過發(fā)現(xiàn)相似性，猜想相關(guān)結(jié)果，然后驗證是否正確，同時加深幾種概念之間的聯(lián)系，幫助對相應(yīng)結(jié)果的記憶等。正如數(shù)學(xué)家們常言道，發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更為重要，而類比法就是發(fā)現(xiàn)問題的重要手段。

二、轉(zhuǎn)置，伴隨，逆之間的關(guān)系以及類比性

在線性代數(shù)的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)每次講到方陣的轉(zhuǎn)置、伴隨、逆運算以及三種運算組合在一起產(chǎn)生的運算時會出現(xiàn)大量公式，其中對于很重要的公式我們當(dāng)然會重點講解并給出證明，但是一些公式如果并不是那么重要或者證明過程很復(fù)雜的話，通常的處理方法是一筆帶過，當(dāng)然如果這個所謂的一筆帶過只是讀一遍的話其實作用與不講差不多，因為書上列出來了，但是其實有時候的一筆帶過足以讓學(xué)生對這些結(jié)果有個最初的感覺，甚至能夠記住公式，如果學(xué)生課后有時間，自己可以試著去寫寫這些公式得證明，這也是對于課本中重要公式的運用與理解的一種方式，從而加深每個公式的理解與記憶。本文從方陣中的轉(zhuǎn)置、伴隨、逆運算之間關(guān)聯(lián)中利用類比的方法指出了一些公式的相似性，從而加深對一些相關(guān)公式的記憶與理解。對于本文所涉及的三個概念，線性代數(shù)書本的出現(xiàn)順序一般是轉(zhuǎn)置，然后伴隨，最后逆。

（一）轉(zhuǎn)置的相關(guān)結(jié)果

首先我們給出轉(zhuǎn)置的一些簡單性質(zhì)，然后與本文其它兩個概念所滿足對應(yīng)的相關(guān)性質(zhì)作比較，得出這些結(jié)果其實很相似，其它結(jié)果的相似性請自行推導(dǎo)得出結(jié)論。作為后面兩個概念的基礎(chǔ)，通常對于方陣的轉(zhuǎn)置運算我們會利用轉(zhuǎn)置的定義給出如下的運算律證明：

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（二）伴隨的概念以及其與轉(zhuǎn)置相關(guān)結(jié)果的對比

在給定方陣，方陣A的伴隨矩陣A*相當(dāng)于將A中的每個元素?fù)Q成它的代數(shù)余子式，再轉(zhuǎn)置，即。所以從某種意義上來講，伴隨運算是一種轉(zhuǎn)置運算，既然如此，我們應(yīng)該去觀察伴隨運算是否會遺傳轉(zhuǎn)置運算的一些運算規(guī)律，事實上通過比較我們發(fā)現(xiàn)伴隨運算律確實蘊含著轉(zhuǎn)置運算的一些特征，當(dāng)然我們不能寄希望運算律一模一樣，畢竟是兩個不同的概念。具體我們做如下對比，與上面給出的轉(zhuǎn)置運算律對應(yīng)給出：

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注意到|A|只是一個常數(shù)而已，所以整體上看來，除去相差一些常數(shù)，這些結(jié)果與轉(zhuǎn)置運算的結(jié)果有著很大的相似性。

（三）方陣的可逆等價描述以及與轉(zhuǎn)置相關(guān)結(jié)果的對比

對于方陣是否可逆書上給了一個等價條件，即|A|≠0并且，注意到|A|只是一個常數(shù)而已，所以逆的運算從某種意義上講就是伴隨運算，而根據(jù)上面的分析，伴隨是用轉(zhuǎn)置定義的，從而形式上看逆運算也就是轉(zhuǎn)置運算，具體運算律我們與上面對應(yīng)給出：

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（四）三種運算之間的混合運算

既然三種運算形式上看起來可以歸結(jié)于一種運算，那么他們之間的混合運算律是不是可以交換呢？答案是肯定的，具體有如下結(jié)果：

；；

對于以上所述事實，其實都可以給出證明，只是在證明之前，我們可以通過類比法猜想是否有相應(yīng)的運算律，這在數(shù)學(xué)中也是很重要的，對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)我們需要大膽的猜想小心的驗證，當(dāng)然首先需要我們的猜想是有一定依據(jù)的。

三、類比法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義

本文從轉(zhuǎn)置運算律出發(fā)，認(rèn)真分析伴隨運算與逆運算定義，從而發(fā)現(xiàn)三種運算律之間的聯(lián)系，給出了三種運算律之間的比較，發(fā)現(xiàn)其間有著很多相似之處，這不僅可以加深對這些結(jié)論的記憶和理解，同時也為學(xué)生們在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果碰到類似情形對未知結(jié)論做出大膽的猜想提供了一個很好的示例。當(dāng)然最終我們應(yīng)該通過自己的推導(dǎo)給出以上所列結(jié)論的證明，達(dá)到知其然也知其所以然。

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