幾種電力線繪制方法總結(jié)

楊 寧，梅中磊

（蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅蘭州730000）

0 引言

電力（場）線即為直觀表示空間電場分布而人為引入的一簇有向曲線，其起于正電荷，止于負(fù)電荷，曲線上每一點的切線方向即該點的電場強(qiáng)度方向，某點曲線的疏密度表示該點電場強(qiáng)度大小。電力線對理解電磁場有重要的輔助作用，可利用Matlab強(qiáng)大的計算功能進(jìn)行電力線繪制。下面介紹四種基于Matlab的電力線繪制方法。

1 streamline函數(shù)繪制電力線

以兩點電荷q1，q2系統(tǒng)為例，場點P（x，y）的電勢可表示為（不考慮系數(shù)q／4πε）［1］

利用 Matlab 流線圖繪制函數(shù) streamline（x，y，u，v，sx，sy）繪制電場（Ex，Ey）［2］。（x，y）為矢量（u，v）的坐標(biāo)，由網(wǎng)格函數(shù) meshgrid生成；（sx，sy）為流線起點。場強(qiáng)分量Ex，Ey由梯度函數(shù)［Ex，Ey］＝ gra-dient（-U）得到。因電力線起于正電荷，止于負(fù)電荷，當(dāng)其起始點距電荷很近時，認(rèn)為各電力線繞電荷均勻分布。以一固定角度為間隔，設(shè)定電力線在正、負(fù)電荷周圍的起點坐標(biāo)。對電場矢量（u，v），若電力線從正電荷出發(fā)，則取為［Ex，Ey］；若從負(fù)電荷出發(fā)，則?。?Ex，-Ey］（負(fù)號表示二者反向）。圖1為兩點電荷系統(tǒng)分別在等量同號、等量異號、異量同號、異量異號時的電力線分布，異量時Q*＝2。

圖1 streamline繪制兩點電荷電力線分布

2 數(shù)值求解電力線方程以繪制電力線

消去k，得電力線微分方程如下［2］：

其中，h1，h2，h3為度規(guī)因子，坐標(biāo)變量u1，u2，u3決定于正交曲線坐標(biāo)系的具體形式。上式在直角坐標(biāo)系中可寫為 dx／Ex＝ dy／Ey＝dz／Ez＝dt，即有：

式（5）即為以t為參變量的一階常微分方程組，該式在Matlab中可用如下函數(shù)描述：

利用 Matlab的 ode45函數(shù)對式（5）進(jìn)行求解［3］。ode 系列包括 ode23，ode45，ode15s 等，求常微分方程的數(shù)值解時首選ode45函數(shù)，用法如下：

odefun為函數(shù)句柄；tspan為參數(shù)的變化區(qū)間；y0為初始位置向量；T為位置列向量對應(yīng)的時間點；Y為返回對應(yīng)T的最終位置列向量（即空間橫縱坐標(biāo)值）。再利用 plot（Y（：，1），Y（：，2））繪制電力線。

以兩等量同號點電荷為例，每個繪制起始點對應(yīng)一條電力線；以每個電荷為中心，間隔角2π／k畫k條電力線，遍歷這2k個起點（即執(zhí)行ode函數(shù)2k次），最終得到2k條電力線。圖2為兩等量同號和等量異號電荷的電力線分布。（a）等量同號電荷 （b）等量異號電荷圖2 ode45函數(shù)繪制兩點電荷電力線分布

3 解析求解電力線方程以繪制電力線

兩點電荷系統(tǒng)如圖 3 所示［4］。設(shè)點 P（x，y）、點P′（x′，y′）位于同一電力線上，使其連線 PP′繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到面SPP′。

圖3 兩點電荷系統(tǒng)

設(shè)S1與S2分別為平面x，x′被SPP′截取的兩個圓面?？紤]由S1和S2及SPP′構(gòu)成的封閉曲面（設(shè)封閉曲面內(nèi)電荷為零），由高斯定理SPP′的通量滿足則以x軸正向為參考方向，S1，S2滿足下式（S1與S2方向相反）：

由電場強(qiáng)度疊加定理，兩離散電荷電場：

對任意的（x，y）成立，其中C為常數(shù)。同理，當(dāng)封閉曲面內(nèi)電荷不為零時，系統(tǒng)電力線方程與式（8）相同［4］。式（8）中，以固定步長改變C，可得到一系列電場值，再利用ezplot函數(shù)，得到的兩等量異號電荷電力線分布如圖4（a）所示。式（8）也可由函數(shù)contour（x，y，z）實現(xiàn)，結(jié)果見圖4（b）。

圖4 由電力線方程繪制兩點電荷電力線分布

4 quiver函數(shù)向量場繪制

4．1 兩點電荷系統(tǒng)電力線舉例

二維向量場繪制函數(shù) quiver（x，y，u，v）用箭頭表示矩陣（x，y）的各點矢量（u，v），一般配合 meshgrid和gradient函數(shù)使用，函數(shù)gradient產(chǎn)生近似梯度，函數(shù)meshgrid生成網(wǎng)格采樣點。（x，y）可看做在xoy平面內(nèi)對坐標(biāo)進(jìn)行采樣得到的坐標(biāo)對。對兩點電荷系統(tǒng)，利用quiver繪制電力線方法同streamline，且無需設(shè)定起始點。圖5為其繪制結(jié)果，縱向?qū)嵕€為contour繪制的等位線，箭頭為quiver繪制的各點矢量電場。

圖5 等量異號點電荷電力線分布

4．2 quiver函數(shù)繪制波導(dǎo)端口電力線分布

以圓波導(dǎo)為例，用quiver函數(shù)繪制波導(dǎo)端口電力線。由參考文獻(xiàn)［5］得圓波導(dǎo)TM和TE波的場分量表示式。因只繪制端口電力線，故僅考慮Er和Eφ，繪制時注意將其轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的形式Ex和Ey。圖6所示為圓波導(dǎo)中TE01和TM11模的電力線分布。

圖6 圓波導(dǎo)電力線分布舉例

5 結(jié)語

在Matlab默認(rèn)精度（小數(shù)點后32位）下比較本文所列四種電力線繪制方法的運行速度。對于兩點電荷系統(tǒng)的電力線繪制，quiver函數(shù)法耗時最短，僅約 0．06 s；其次為 streamline 函數(shù)法，用時約 0．35 s；再則為利用ode45函數(shù)的數(shù)值法，用時0．87 s；而解析法耗時最長，用時約2．21 s。因quiver函數(shù)法和streamline函數(shù)法程序簡單，運行速度快，故常用這兩種方法繪制兩點電荷間的電力線分布。而在給定電力線條數(shù)和范圍時，應(yīng)考慮解析法或數(shù)值法，其中，解析法設(shè)定的是電場的橫縱坐標(biāo)范圍，而數(shù)值法設(shè)定的是電力線距繪制起點的距離。對于解析法，因電荷分布復(fù)雜時較難得到系統(tǒng)的電力線方程，且其程序運行耗時長，故多用數(shù)值法繪制其電力線分布。 總之，上述方法各具優(yōu)勢，實際中應(yīng)根據(jù)要求選擇使用。