基于流形分離技術(shù)的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計方法*

胡顯智， 王 寧， 戴旭初

(1. 中國科學技術(shù)大學 信息科學技術(shù)學院， 安徽 合肥 230027；2. 南京電子技術(shù)研究所， 江蘇 南京 210039)

0 引 言

信號多維參數(shù)估計是陣列信號處理的重要任務之一. 相較于由增益特性完全相同的多個天線組成的標量陣列， 極化敏感陣列(polarization sensitive array)利用內(nèi)部陣元極化選擇特性的多元化獲取信號的極化信息， 被證明可有效提高參數(shù)估計的性能[1,2]. 針對DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計問題， 諸多有效算法被陸續(xù)提出： 文獻[3]提出了pencil-MUSIC算法， 可得到高精度的二維DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計， 但計算量較大； 文獻[4,5]將ESPRIT算法推廣到極化敏感陣列， 得到了低復雜度的參數(shù)估計算法， 但其只適用于特定結(jié)構(gòu)的陣列. 此外， 針對相干信號源的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計， 雖然也出現(xiàn)了一些算法， 如空域平滑方法[6]、 極化域平滑方法[7]等， 但這些方法只對部分具有特殊結(jié)構(gòu)的陣列有效； 實現(xiàn)一般結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列下相干信號源的參數(shù)估計仍然是一個難題.

流形分離技術(shù)(MST)是一種對陣列接收數(shù)據(jù)建模的新方法， 該技術(shù)源于波形域建模(wavefield modeling[8,9])思想， 即將陣列的接收數(shù)據(jù)中與信號相關的部分表示為陣列對入射信號波場的采樣. 基于這一思想， Belloni等人提出了流形分離的概念， 并利用MST將信號導向矢量分解為采樣矩陣和一個范德蒙德結(jié)構(gòu)矢量的乘積， 進而將root-MUSIC算法推廣到任意結(jié)構(gòu)陣列[10]. 隨后， Costa等人進一步考慮了方位角和俯仰角聯(lián)合估計的情況， 利用MST得到了適用于任意結(jié)構(gòu)陣列的低復雜度二維DOA估計方法[11].

本文進一步將流形分離技術(shù)拓展到極化敏感陣列中， 研究任意結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列下DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計方法. 同時兼顧信號源部分相關和完全相干的情況. 特別是本文算法在未知陣列結(jié)構(gòu)的確切參數(shù)， 但是能夠獲得實測的陣列標定數(shù)據(jù)(array calibration measurements[10])時仍然有效， 具有重要的實際應用價值.

1 信號和陣列模型

X=Aθ,φ,γ,ηS+N,

(1)

式中：S∈CK×L和N∈CM×L分別為信號采樣矩陣和噪聲采樣矩陣. 陣列流形矩陣A=[aθ1,φ1,γ1,η1,…,aθK,φK,γK,ηk]∈CM×K的第k列為第k個來波對應的信號導向矢量， 其形式為[12]

aθk,φk,γk,ηk=Uθk,φkβΞθk,φkhγk,ηk,

(2)

式中： 對角陣U為信號的空域相位矩陣；β被稱為極化敏感陣列的極化敏感矩陣， 每行代表相應陣元對信號波場的響應特性；Ξ(θk,φk)=[εh,εv]由水平方向矢量εh=[-sinθk,cosθk,0]T和垂直方向矢量εp=-[sinφkcosθk,sinφksinθk,cosφk]T構(gòu)成；h=[cosγk,sinγkejηk]T為電磁波的極化矢量， 包含來波的極化信息.

綜合上述概念， 可進一步將信號導向矢量寫為(為方便表述， 略去了下標k)

aθ,φ,γ,η=[ah(θ,φ),av(θ,φ)]h(γ,η),

(3)

式中：ah(θ,φ)=Uθ,φβεh和av(θ,φ)=Uθ,φβεv被稱為水平分量導向矢量和垂直分量導向矢量， 分別表示極化敏感陣列對來自(θ,φ)方向上的水平極化電磁波和垂直極化電磁波的響應.

由于信號源個數(shù)的估計方法較多， 也較為成熟， 本文不對信號源個數(shù)的估計問題進行討論. 不失一般性， 假設信號源的個數(shù)K和信號子空間維度Ks(即信號協(xié)方差矩陣RS的秩)已知.

2 流形分離技術(shù)

在陣列信號處理中， 若信號導向矢量具有范德蒙德結(jié)構(gòu)， 會帶來諸多的便利， 如root-MUSIC, ESPRIT等高效的快速算法在參數(shù)估計問題中的應用； 但這一般要求陣列具有特定的結(jié)構(gòu)(如ULA等). 流形分離技術(shù)可將任意結(jié)構(gòu)陣列的信號導向矢量分解為采樣矩陣和一個范德蒙德結(jié)構(gòu)矢量的乘積， 其中： 采樣矩陣僅與陣列結(jié)構(gòu)有關， 與信號參數(shù)無關； 范德蒙德結(jié)構(gòu)矢量僅包含信號DOA參數(shù)， 與陣列無關. 這使得在任意結(jié)構(gòu)的陣列下實現(xiàn)參數(shù)估計的快速算法成為可能.

具體到極化敏感陣列， 式(3)中的水平/垂直分量導向矢量ah(θ,φ)和av(θ,φ)同時包含信號DOA參數(shù)和陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)； 流形分離技術(shù)實質(zhì)上是尋找一組正交基對信號導向矢量進行正交展開， 從而將導向矢量中與陣列相關的部分和與信號相關的部分相互分離， 即

ah(θ,φ)=Ghd(θ,φ),av(θ,φ)=Gvd(θ,φ),

(4)

式中： 矩陣Gh∈CM×MaMe和Gv∈CM×MaMe即為前面所說的采樣矩陣， 這里分別稱之為水平分量采樣矩陣和垂直分量采樣矩陣， 其完全由陣列結(jié)構(gòu)決定； 正交基采用二維傅里葉基矢量d(θ,φ)∈CMaMe×1， 即有

d(θ,φ)=d(θ)?d(φ),

(5)

式中： ?為克羅內(nèi)積. 正整數(shù)Ma和Me是所截取的模式數(shù)： 事實上式(4)中信號導向矢量的正交展開具有無窮多諧波分量(即式(5)中ma→∞，me→∞)， 但可證明當ma和me足夠大時， 后續(xù)諧波分量基本可以忽略不計[13]， 從而可截取有限的模式數(shù)對信號導向矢量進行建模且保持足夠的精度， 便于工程應用(實際應用時， 可根據(jù)陣列的有效孔徑選取合適的Ma和Me).

結(jié)合式(3)和式(4)， 得到基于MST的任意結(jié)構(gòu)極化敏感陣列的信號導向矢量模型為

aθ,φ,γ,η=[Ghd(θ,φ),Gvd(θ,φ)]h(γ,η)=G(I2?d(θ,φ))h(γ,η),

(6)

式中： 采樣矩陣G=[Gh,Gv]∈CM×2MaMe；I2為2×2的單位陣；h(γ,η)為前文提到的信號極化矢量.

現(xiàn)在的問題是采樣矩陣Gh和Gv如何求解. 文獻[10]利用一種被稱為有效孔徑分布函數(shù)(Effective Aperture Distribution Function)的方法來確定采樣矩陣. 具體而言， 分別在θ∈[-π,π]和φ∈[-π,π]內(nèi)均勻選取Qa(Qa>Ma)和Qe(Qe>Me)個標定點， 得到對應的陣列標定數(shù)據(jù)

CM×QaMe,

(7)

3 DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計

利用2小節(jié)討論的MST， 可將式(1)中極化敏感陣列的接收數(shù)據(jù)采樣矩陣X重新表示為

X=G(I2?D(θ,φ))V(γ,η)S+N,

(8)

式中： 矩陣D(θ,φ)=[d(θ1,φ1),…,d(θK,φK)]∈CMaMe×K包含來波信號的DOA參數(shù)； 矩陣V(γ,η)=[Vh(γ),Vv(γ,η]T包含信號的極化參數(shù)， 有

Vh(γ)=diag{cos(γ1),…,cos(γK)}∈RK×K,

Vv(γ,η)=diag{sin(γ1)ejη1,…,sin(γK)ejηK}∈CK×K.

(9)

基于式(8)所示的陣列接收數(shù)據(jù)模型， 下面討論兩種適用于任意結(jié)構(gòu)極化敏感陣列的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計方法.

3.1 基于MST的極化FFT-MUSIC算法

在零均值圓空-時-極化白噪聲的假設下， 陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可表示為

(10)

式中：Es為信號子空間， 由RX的Ks個主特征矢量組成；En為噪聲子空間， 由剩余M-Ks個次特征矢量組成， 與Es相互正交. 當滿足Ks=K時(即信號源非相干)， 可通過搜索式(11)的極小值點獲得來波信號參數(shù)

f(θ,φ,γ,η)=hH(γ,η)M(θ,φ)h(γ,η),

(11)

式中： 矩陣M(θ,φ)∈C2×2的形式為

(12)

直接對式(11)進行搜索， 需要對信號的角度和極化參數(shù)進行4-D聯(lián)合搜索， 計算量很大. 為減小計算量， 利用相關矩陣理論， 可將其分兩步進行：

(13)

式中：Gmin{·}表示矩陣的最小特征值；Gmin{·}表示矩陣最小特征值對應的特征矢量. 由此， 整個4-D搜索過程被分解成一個2-D角度參數(shù)搜索過程和一個求解矩陣最小特征值及特征矢量的問題.

以上即為傳統(tǒng)的極化MUSIC算法[12]的基本思路， 其中第二步的矩陣M(θ,φ)的最小特征值求解具有簡單的閉式表達， 計算量主要集中在第一步中對角度參數(shù)的二維搜索中， 其搜索間隔必須取得足夠小以滿足精度要求， 而相應需要搜索的點就會很多， 由此帶來計算量的負擔.

利用式(8)所示的陣列輸出數(shù)據(jù)模型， 可得到基于MST的參數(shù)估計快速方法： 極化FFT- MUSIC算法. 具體而言， 結(jié)合式(6)和式(12)， 可將矩陣M(θ,φ)重新表示為

(14)

進一步有

(15)

式中：d(θ)C(2Ma-1)和d(φ)∈C(2Me-1)為一維傅里葉基矢量(見式(5))； 系數(shù)矩陣Chh,Chv,Cvh和Cvv的形式為

(16)

式中：a?h,b?v； 而∑diag{Π,k}表示矩陣Π第k條(塊)對角線上(塊)對角元之和， 矩陣左下角元計為k=1.

觀察式(15)， 2×2矩陣M(θ,φ)的每一項實質(zhì)都是一個標準的2-D DFT形式， 從而可利用2-D FFT算法快速計算得到

(17)

3.2 基于MST的極化MVP-SSF算法

對于信號源完全相干的情況， 即Ks

考慮式(8)～式(10)的陣列模型， 但允許Ks≤K， 此時可利用信號子空間擬合技術(shù)得到來波信號的參數(shù)估計[14]

(18)

目標問題是一個非線性最小二乘問題， 文獻[14]采用一種被稱為MVP(Modified Variable Projection)的算法對其進行求解. MVP算法實質(zhì)是對高斯-牛頓法的一種改進， 其通過迭代完成求解

ξi=ξi-1-μH-1V′,

(19)

式中：ξi是第i次迭代的結(jié)果； 梯度向量V=f(ξ)∈C4K×1， 矩陣H∈C4K×4K是Hessian矩陣2f(ξ)的近似；μ為搜索步長， 保證算法的收斂性. 關于V′和H的具體表達式， 文獻[14]中做了詳盡的推導， 將其略作擴展即可得到極化敏感陣列下的形式. 然而， 上述求解需要知道陣列流形的顯式表達， 在實際中有時可能無法獲得陣列結(jié)構(gòu)的確切參數(shù)而只能得到實測的陣列標定數(shù)據(jù)， 此時無法直接使用MVP算法. 此外， 即便可獲得陣列的所有參數(shù)， 當陣列結(jié)構(gòu)較為復雜時， 計算陣列流形的導數(shù)也較為繁瑣.

利用式(8)所示基于MST的極化敏感陣列模型， 可以得到V′和H的簡單閉式表達， 且其在僅知道實測的陣列標定數(shù)據(jù)時仍然有效， 這就是極化MVP-SSF算法的基本思想. 具體而言， 利用式(8)的數(shù)據(jù)模型， 結(jié)合文獻[14]的討論， 得到V′和H閉式表達為

(20)

式中： 矩陣Z=[IK,IK,IK,IK]∈RK×4K， ·表示Hardmard積；JA(ξ)∈CM×4K為陣列流形矩陣A(ξ)對ξ的求導， 利用MST有閉式表達

(21)

(22)

設模式數(shù)Ma=Me=M. 極化MVP-SSF算法單次迭代的計算復雜度約為O(M2MK)， 主要體現(xiàn)在JA(ξ)的計算上(GΨ可提前計算好， 不需要參與迭代).

作為一個迭代算法， 極化MVP-SSF算法需要對信號參數(shù)進行初步估計作為迭代的初始值. 信號非相干(即Ks=K)時， 極化FFT-MUSIC算法是一個理想的選擇， 其估計快速且結(jié)果可靠. 對于信號完全相干(即Ks

4 實驗及結(jié)果分析

圖 1 8陣元極化敏感陣均勻圓陣Fig.1 Eight-element polarimetric uniform circular array

實驗1

考慮如圖 1 所示的極化敏感陣列， 它由8個指向不盡相同且均勻分布在圓上的短偶極子天線組成(各陣元皆指向圓心， 其輸出電信號正比于與之平行的電場分量)， 半徑為λ. 兩個等功率的非相關信號分別自(θ1=20°,φ1=40°)和(θ2=30°,φ2=50°)的方向入射至陣列； 極化參數(shù)分別為(γ1=60°,η1=30°)和(γ2=20°,η2=70°). 快拍數(shù)L=200， 噪聲為加性高斯白噪聲. 獨立實驗500次， 分別采用傳統(tǒng)的極化MUSIC算法和本文的極化FFT-MUSIC算法(Ma=Me=21)進行信號參數(shù)估計. 在信噪比SNR=10 dB下， 兩算法其中一次典型實現(xiàn)的運行時間及參數(shù)估計結(jié)果的比較如表 1 所示(搜索間隔為0.25°).

表 1 極化FFT-MUSIC算法與傳統(tǒng)MUSIC方法運行時間的比較

圖 2 則反映了在不同信噪比下， 兩個算法的參數(shù)估計根均方誤差的變化情況.

圖 2 參數(shù)估計隨信噪比變化的根均方誤差Fig.2 RMSE as a function of the SNR

由圖 2 可知， 在整個信噪比變化范圍內(nèi)(0～30 dB)， 極化FFT-MUSIC算法的統(tǒng)計性能與傳統(tǒng)的極化MUSIC算法相比， 幾無差別. 這說明即便信噪比達到30 dB， 由于截取有限個(Ma=Me=21)模式所造成的誤差與噪聲相比仍然足夠小， 可以忽略不計. 而根據(jù)表1可知， 在同一臺機器下， 極化FFT-MUSIC算法進行參數(shù)估計所需要的時間遠遠小于傳統(tǒng)MUSIC算法. 綜上所述， 極化FFT-MUSIC算法在不損失原極化MUSIC算法估計精度的同時， 有效降低了計算復雜度， 具有更強的實時性.

圖 3 參數(shù)估計隨信號源相關系數(shù)變化的根均方誤差Fig.3 RMSE as a function of correlation coefficient between the two sources

實驗2

考慮半徑為2λ的極化敏感均勻圓陣， 陣元數(shù)為20個， 每個陣元仍指向圓心. 信號的DOA和極化參數(shù)同實驗1. 快拍數(shù)L=200， 信噪比SNR=10 dB. 獨立實驗1 000次， 圖 3 反映了在不同的信號源相關系數(shù)下， 極化FFT-MUSIC算法和極化MVP-SSF算法的參數(shù)估計根均方誤差的變化情況. 實驗中， 兩個算法所截取的模式數(shù)皆取Ma=Me=41.

由圖 3 可知， 在信號源相關度較低時， 極化FFT-MUSIC算法和極化MVP-SSF算法的精度基本相當； 而當相關系數(shù)大于0.6后， 極化MVP-SSF算法的參數(shù)估計性能要明顯優(yōu)于極化FFT-MUSIC算法. 特別是當信號源完全相干時(相干系數(shù)為1)， 極化FFT-MUSIC算法已然失效， 而極化MVP-SSF算法仍然具有良好的性能. 由此可見， 極化MVP-SSF算法可以很好地解決強相關源乃至相干信號源的參數(shù)估計問題.

5 結(jié) 論

本文將流形分離技術(shù)(MST)拓展到極化敏感陣列信號處理中， 研究了兩種DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計方法： 極化FFT-MUSIC算法和極化MVP-SSF算法， 它們皆適用于任意結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列. 實驗結(jié)果表明： 極化FFT-MUSIC算法具有與傳統(tǒng)極化MUSIC算法基本相同的性能， 而計算復雜度有效降低； 極化MVP-SSF算法則可以實現(xiàn)一般結(jié)構(gòu)的極化敏感陣列下強相關源乃至相干信號源的參數(shù)估計.