高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論解題的思考

（湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué) 湖南長沙 410019）

引言

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題中極為有效的方法之一，在實(shí)際的解題過程中運(yùn)用這一解題思路，可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)題目的簡化，有利于培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)解題思維，進(jìn)一步提高解題效率，在未來的高考中也會(huì)發(fā)揮很大的作用。

一、分類討論思想在函數(shù)概念解題中的應(yīng)用

在高中函數(shù)概念題型解題時(shí)，充分利用函數(shù)定義與限制條件，可以更好地進(jìn)行題目解析。

例1：函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0，且a≠0）含有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解析：由題意可知函數(shù)f（x）含有兩個(gè)零點(diǎn)，因此可得y=ax和y=x+a之間存在兩個(gè)交點(diǎn)，通過繪制函數(shù)圖像可以看出，如果0＜a＜1，則y=ax和y=x+a之間只有一個(gè)交點(diǎn)，與題目條件不符；如果a＞1，y=ax圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，1），直線y=x+a存在一個(gè)高于（0，1）的y軸交點(diǎn)，因此兩個(gè)函數(shù)存在兩個(gè)交點(diǎn)，a的取值范圍為a＞1。

該題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)的典型題目，除此之外，還有許多數(shù)學(xué)概念類題目可以通過分類討論來解決，比如直線斜率問題、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)問題等。在進(jìn)行相關(guān)題目的解析時(shí)，需要對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有目的地分類，以更好地解答相關(guān)問題。

二、分類討論思想在函數(shù)圖形解題中的應(yīng)用

運(yùn)用分類討論思想解析函數(shù)問題時(shí)，還可以基于函數(shù)的對(duì)稱軸位置變化、圖像變化、斜率變化與交點(diǎn)變化來解答數(shù)學(xué)函數(shù)題型。

例2：xOy平面上，存在曲線y2=2x，存在點(diǎn)A（a，0），其中a∈R。在y2=2x的曲線上，存在點(diǎn)M與點(diǎn)A之間距離最短，其距離為f（a），求取f（a）的表達(dá)式。

解析：設(shè)曲線y2=2x（x≥0）中存在任意點(diǎn)M（x，y），

三、分類討論思想在題目運(yùn)算需要中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)函數(shù)題目中，許多題目基于運(yùn)算的需要，會(huì)應(yīng)用到分類討論思想，如函數(shù)單調(diào)性問題中確定導(dǎo)數(shù)為正數(shù)或負(fù)數(shù)的問題等[1]。

（1）求取該函數(shù)f（x）的值域；

在第一問中，首先可以對(duì)值域進(jìn)行分段求取，最后求其并集。對(duì)第二問中的取值范圍進(jìn)行分類討論，將之分成a＞0，a=0，a＜0三種情況進(jìn)行討論來解析題目。

解析：（1）如果x∈[-2，-1），則在[-2，-1）上，為增函數(shù)，則

（2）當(dāng)a=0的情況下，g（x）恒為-2，當(dāng)且僅當(dāng)x1∈[-1，1/2）時(shí)，f（x1）=g（x0）=-2，不滿足題設(shè)；

當(dāng)a＞0的情況下，g（x）=ax-2為[-2，2]上的增函數(shù)，且g（x）∈[-2a-2，2a-2]。任意給出的x1∈[-2，2]，

如果存在x0∈[-2，2]，能夠成立g（x0）=f（x1），

當(dāng)a＜0的情況下，g（x）=ax-2為[-2，2]上的減函數(shù)，且g（x）∈[2a-2，-2a-2]，

綜合以上論述：

四、分類討論思想在二次函數(shù)解題中的應(yīng)用

1.動(dòng)軸定區(qū)間的二次函數(shù)

在題目中，可根據(jù)題意將其劃分為a=0，a≠0兩種不同情況進(jìn)行討論，通過這種方式可以將題中函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)與二次函數(shù)，并有差別地對(duì)其進(jìn)行討論。而二次函數(shù)又可以劃分為a＞0與a＜0兩種不同情況，按照兩種情況進(jìn)行函數(shù)圖像繪制，基于區(qū)間端點(diǎn)數(shù)值以及對(duì)稱軸情況進(jìn)行分類討論。在這個(gè)過程中，最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，是對(duì)稱軸與區(qū)間位置的討論，以避免重復(fù)討論。

2.定軸動(dòng)區(qū)間的二次函數(shù)

針對(duì)這一類型的二次函數(shù)，其重點(diǎn)在于通過對(duì)對(duì)稱軸在定義域區(qū)間位置的討論來解決該類題型[2]。

結(jié)語

分類討論思想的有效應(yīng)用，對(duì)于我們高中生的思維縝密性提出了較高的要求，在運(yùn)用的過程中可以有效提高數(shù)學(xué)思維水平，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題型的化繁為簡，確保數(shù)學(xué)題目的解析更加精準(zhǔn)而高效。因此對(duì)于我們高中生來說，學(xué)會(huì)分類討論解題思想，熟練掌握分類討論解題思維并在接下來的數(shù)學(xué)題目解析中加以應(yīng)用是極為重要的。