CTOD尺寸效應(yīng)的概率描述研究

陳春君,苗張木

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院, 武漢 430063)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、技術(shù)的進(jìn)步,鋼結(jié)構(gòu)建筑朝著更高、更大、更厚的方向發(fā)展．結(jié)構(gòu)越厚,內(nèi)部出現(xiàn)缺陷(細(xì)小的孔洞和微裂紋)的可能性越大．這些缺陷在結(jié)構(gòu)外載荷的作用下,會(huì)逐步演化成宏觀裂紋,并極大地縮短建筑結(jié)構(gòu)的使用壽命[1]．要保證結(jié)構(gòu)不因裂紋問(wèn)題而提前退役,就必須在設(shè)計(jì)階段考慮材料抵抗裂紋擴(kuò)展的能力．衡量材料抗斷裂性能的指標(biāo)有很多,如斷裂韌度KC、G、CTOD、J．在這4個(gè)韌度指標(biāo)中,裂紋尖端張開(kāi)位移(CTOD)物理意義清晰、測(cè)試方法簡(jiǎn)單,應(yīng)用比較廣泛[2]．

在工程中,常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題:在設(shè)計(jì)階段,需要對(duì)比不同建筑材料在設(shè)計(jì)厚度下的斷裂韌度,并從中選出最合適的材料．在缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下,最穩(wěn)妥的方法是測(cè)試所有備選建材在設(shè)計(jì)厚度下的斷裂韌度值,用實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為選擇材料的依據(jù)．顯然,這種方法不僅會(huì)增加設(shè)計(jì)成本,還會(huì)延長(zhǎng)設(shè)計(jì)周期．若是能找到材料斷裂韌度與厚度的關(guān)系式,并用已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出曲線,再在擬合得到的曲線上找到設(shè)計(jì)厚度下的韌度值,就能大幅度減少設(shè)計(jì)成本,并縮短設(shè)計(jì)周期[3]．

已有的研究發(fā)現(xiàn),材料斷裂韌性與試件厚度的關(guān)系,可用數(shù)學(xué)公式描述[4]．前人在使用該公式時(shí),沒(méi)有考慮韌度值的離散性,對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)粗糙地作均值處理,顯然是不合理的．文中用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法,對(duì)CTOD值的離散性進(jìn)行研究,找到韌度值的合理分布模型,并從概率的角度,對(duì)尺寸效應(yīng)作新的描述．另外,尺寸效應(yīng)的原有公式在擬合精度上,有一定的提高空間．利用改進(jìn)的公式,進(jìn)一步提高了擬合性能．

1 尺寸效應(yīng)公式

1.1 現(xiàn)有公式的改進(jìn)

已有研究表明,當(dāng)試件厚度較小時(shí),斷裂韌度與試件厚度成正比,試件越厚,韌度越大．當(dāng)厚度繼續(xù)增加,超過(guò)某一界限后,材料的斷裂韌度會(huì)隨著厚度增加而減小,并最終趨于常數(shù),如圖1[5-7]．

圖1 斷裂韌度與厚度關(guān)系Fig.1 Relationship between fracture toughness and thickness

文獻(xiàn)[8]利用格里菲斯表面能理論和巴林布拉特吸附力理論,推導(dǎo)出了斷裂韌度KC關(guān)于試件厚度的數(shù)學(xué)表達(dá)式:

KC=ξt1/2e-kt+KIC(1-e-kt)

(1)

式中:ξ,k,KIC為材料常數(shù)；t為試件厚度．為了驗(yàn)證上式的合理性,用LY12CZ(L-T)板材和TC4(L-T)板材的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[9],采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合．計(jì)算結(jié)果顯示,LY12CZ(L-T)板材擬合曲線的最大誤差為6.58%,TC4(L-T)板材的最大誤差為2.41%．文獻(xiàn)[10]用X140套管鋼進(jìn)行系列厚度的斷裂韌度試驗(yàn),并用上式擬合,誤差同樣很?。纱丝梢?jiàn),式(1)能較好地描述斷裂韌度KC的尺寸效應(yīng),且對(duì)于不同的材料均適用．

由KC與CTOD的關(guān)系[11],從式(1)推出了斷裂韌度CTOD的尺寸效應(yīng)公式:

δ=ξte-kth+δm(1-e-kth)

(2)

式中:ξ,k,δm為材料常數(shù)；h為調(diào)節(jié)參數(shù)．以20 ℃下,14MnNbp母材的CTOD試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),用該式進(jìn)行擬合,最大誤差為15.6%,可見(jiàn)用式(2)描述CTOD的尺寸效應(yīng)雖然合理,但其擬合性能有待提高．

δ=ξte-k1th+δm(1-e-k2th)

(3)

式中:ξ,δm為材料常數(shù)；k1,k2為調(diào)節(jié)系數(shù)．在曲線擬合時(shí),其值由最小二乘法計(jì)算得到．改進(jìn)公式使用時(shí),有一個(gè)適用的厚度范圍,該范圍依賴于已知的數(shù)據(jù)．例如,已知某種材料在一系列厚度下的韌度值,將這些厚度按從小到大排列,可構(gòu)成向量[t1,t2,t3…tn]．按式(3)進(jìn)行擬合,則得到的曲線在區(qū)間[t1,tn]中,能保證結(jié)果的可靠,并且數(shù)據(jù)點(diǎn)越密,結(jié)果越有效．在該區(qū)間之外,因?yàn)槿鄙贁?shù)據(jù)對(duì)曲線的約束,雖然擬合出的曲線經(jīng)過(guò)該區(qū)域,但該段曲線是不能用來(lái)作韌度預(yù)測(cè)的．因此,改進(jìn)公式在使用時(shí),其適用范圍是區(qū)間[t1,tn]．

1.2 CTOD的分布模型與K-S檢驗(yàn)

大量試驗(yàn)結(jié)果顯示,材料斷裂韌度具有離散性．CTOD試驗(yàn)符合隨機(jī)現(xiàn)象試驗(yàn)的特征,故而可用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)其進(jìn)行研究．

文獻(xiàn)[12]研究系泊鏈鋼CTOD實(shí)驗(yàn)結(jié)果后,與正態(tài)分布發(fā)現(xiàn)相比,用威布爾分布對(duì)其進(jìn)行描述更合適．文中假設(shè)韌度試驗(yàn)結(jié)果服從威布爾分布,分布函數(shù)如下:

F(x|a,b)=1-e-(xa)b

(4)

式中：a為尺度參數(shù),b為形狀參數(shù)．考慮到樣本均值X是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì),樣本方差S2是總體方差的無(wú)偏估計(jì),聯(lián)立

(5)

(6)

計(jì)算參數(shù)a,b的估計(jì)值,代入式(4)中得到分布函數(shù)的具體形式．

樣本是否可用剛剛得到的分布函數(shù)描述其分布,需用假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)判定．由于試驗(yàn)所得的樣本點(diǎn)少,特選用適合小子樣的K-S檢驗(yàn)方法來(lái)做判定．K-S檢驗(yàn)是將變量的累計(jì)分布函數(shù)與假設(shè)分布進(jìn)行比較．用Ai表示假設(shè)分布每個(gè)類(lèi)別的累積相對(duì)頻數(shù),Oi表示樣本頻數(shù)的相應(yīng)值,定義統(tǒng)計(jì)量k=max|Ai-Oi|．若每次抽樣研究中,k值在0附近,則說(shuō)明樣本服從假設(shè)分布;若k值很大,就可以做出拒絕假設(shè)的判定．當(dāng)判定接受原假設(shè),就用假設(shè)的威布爾分布描述斷裂韌度的分布．當(dāng)判定拒絕原假設(shè)時(shí),用最大似然估計(jì)得到參數(shù)a,b置信度為95%的置信區(qū)間,在置信區(qū)間內(nèi)另找兩點(diǎn)a2和b2,再進(jìn)行K-S檢驗(yàn),如此反復(fù),直到找到合適的參數(shù)a,b使得檢驗(yàn)通過(guò)．

1.3 尺寸效應(yīng)的概率描述

描述某種材料斷裂韌度的尺寸效應(yīng),傳統(tǒng)的做法是取系列厚度試件做試驗(yàn),每種厚度下至少作3個(gè)試樣,取結(jié)果的平均值,再用式(1)、(2)對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,得到韌度隨厚度的變化曲線．該曲線可以直觀地觀察韌度變化趨勢(shì)．傳統(tǒng)方法在韌度值離散性小時(shí),是合理的．當(dāng)離散性較大,得到的曲線只能反映韌度值的大致變化趨勢(shì),用于韌度值預(yù)測(cè)時(shí)會(huì)產(chǎn)生很大的誤差．

為了在離散性大的情況下,也能實(shí)現(xiàn)韌度值的有效預(yù)測(cè),文中提出尺寸效應(yīng)的概率描述方法．具體做法是:對(duì)每一厚度下的數(shù)據(jù),計(jì)算得到δa、δb,再用δa和δb的數(shù)據(jù)分別按式(3)進(jìn)行擬合,得到上下的兩條曲線．兩曲線的中間區(qū)域,即韌度值出現(xiàn)概率為P的區(qū)域．當(dāng)韌度值離散性小時(shí),此法得到一條窄帶,與用均值擬合出的曲線近似;當(dāng)離散性大時(shí),得到一條寬帶,P值設(shè)置越大,實(shí)驗(yàn)值落在其中的概率就越高．

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 試驗(yàn)方法

采用20 ℃下,14MnNbq鋼母材試件和16Mnq鋼焊縫試件的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[13],驗(yàn)證改進(jìn)公式(3)的擬合性能．試驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)三點(diǎn)彎曲試件(尺寸比例如圖2),共有5種厚度(10、14、22、30、40 mm),每種厚度下做3個(gè)試件．

圖2 三點(diǎn)彎曲試件尺寸圖Fig.2 Dimensional drawing of three-point bending test piece

CTOD試驗(yàn)依照GB/T 2358-1994進(jìn)行．試驗(yàn)前,在INSTRON1603高頻疲勞試驗(yàn)機(jī)上預(yù)制疲勞裂紋,并保證初始裂紋總長(zhǎng)占試樣寬度的一半．主體試驗(yàn)在CSS2220萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行,加載速度設(shè)為20 mm/min,當(dāng)加載到最大荷載或著試件脆斷時(shí)停機(jī)．試驗(yàn)結(jié)束后,用工具顯微鏡讀取試件的初始裂紋長(zhǎng)度a,在記錄的P-V圖中,讀取最大荷載P和塑性位移分量VP．將a、P、VP和試件的尺寸代入規(guī)范所給公式,即可求出材料的CTOD值．

2.2 數(shù)據(jù)處理與曲線擬合

對(duì)每種材料,用δa、δb數(shù)據(jù)和均值數(shù)據(jù)分別按式(3)擬合曲線．?dāng)M合算法為最小二乘法,在Matlab平臺(tái)上編程實(shí)現(xiàn)．?dāng)M合14MnNbq鋼母材的數(shù)據(jù)時(shí),只用10、14、30、40 mm處的值擬合曲線,22 mm處的值留下來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)公式預(yù)測(cè)韌度的準(zhǔn)確性．?dāng)M合16Mnq鋼焊縫的數(shù)據(jù)時(shí),同樣留下22 mm處的數(shù)據(jù)作驗(yàn)證．?dāng)M合得到的曲線如圖3、4,擬合曲線在數(shù)據(jù)點(diǎn)處的誤差見(jiàn)表1、2．

圖3 14MnNbq鋼母材試件擬合結(jié)果(20 ℃)Fig.3 Fitting results of 14MnNbq steel base metal specimens (20 ℃)

圖4 16Mnq鋼焊縫試件擬合結(jié)果(20 ℃)Fig.4 Fitting results of 16Mnq steel weld specimens (20 ℃)

從表1、表2看到,改進(jìn)公式的擬合誤差與預(yù)測(cè)誤差均在10%以內(nèi)．與原公式的最大擬合誤差15.6%相比,擬合性能有明顯提高,說(shuō)明公式的改進(jìn)方法有效．將改進(jìn)公式用于兩種不同材料的數(shù)據(jù)擬合,均得到良好的效果,說(shuō)明新公式具有普適性．從兩種材料在22 mm處的預(yù)測(cè)結(jié)果看到,改進(jìn)公式在其適用的厚度范圍內(nèi),韌度預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確度較高．因此,在工程中用文中所提公式進(jìn)行韌度預(yù)測(cè),是一種能有效節(jié)省人力物力成本的切實(shí)可行的方法．

表1 14MnNbq鋼母材試件擬合誤差(20 ℃)Table 1 Fitting deviation of 14MnNbq steel base metal specimens (20 ℃)

表2 16Mnq鋼焊縫試件擬合誤差(20℃)Table 2 Fitting deviation of 16Mnq steel weld specimens (20 ℃)

3 結(jié)論

(1) 修改現(xiàn)有的CTOD尺寸效應(yīng)公式,給出改進(jìn)公式．新公式在描述14MnNbq鋼母材試件和16Mnq鋼焊縫試件的尺寸效應(yīng)時(shí),均表現(xiàn)出良好性能,表明改進(jìn)方法合理且具有普適性．

(2) 通過(guò)K-S檢驗(yàn),證明了兩種材料的CTOD值分布模型可用雙參數(shù)威布爾分布描述．考慮斷裂韌度值的離散性,用區(qū)間[δa,δb]表征其最有可能出現(xiàn)的范圍,并提出了尺寸效應(yīng)的概率描述方法．此法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法在斷裂韌度離散性大時(shí),韌度預(yù)測(cè)誤差大的缺點(diǎn)．在工程應(yīng)用中,求得一個(gè)韌度值可能存在的區(qū)間比均值更有意義．