高校初等數(shù)論課程概念教學探討——以小學教育專業(yè)為例

李玉慧

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高校初等數(shù)論課程概念教學探討——以小學教育專業(yè)為例

李玉慧

（懷化學院 教育科學學院，湖南 懷化 418000）

初等數(shù)論是小學教育專業(yè)的一門專業(yè)主干課程，其概念的教學十分重要。為了充分提高教學效果，在此課程的教學中，教師應精講關鍵概念的定義，細講關鍵概念的性質(zhì)，注重相似概念之間的對比，幫助學生把關鍵概念同其他概念聯(lián)系起來形成概念體系，并讓學生通過足量的應用性練習深刻理解概念。

小學教育專業(yè)；初等數(shù)論；概念；教學；思考

一、小學教育專業(yè)開設初等數(shù)論課程的必要性

初等數(shù)論是一門古老的數(shù)學基礎學科，主要研究整數(shù)的基本性質(zhì)，其理論和方法已廣泛應用于現(xiàn)代密碼學、算子理論、最優(yōu)設計、組合代數(shù)及信息科學等諸多領域[1]217。我國師范院校一般都設有小學教育專業(yè)，而幾乎所有的小學教育專業(yè)都開設有初等數(shù)論課程。初等數(shù)論課程的教學內(nèi)容主要是整數(shù)的性質(zhì)及其應用，例如整除、公約數(shù)、公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、同余的性質(zhì)及應用等，這些內(nèi)容大部分與小學數(shù)學的教學重點相吻合。可見，小學教育專業(yè)開設初等數(shù)論課程有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)及小學數(shù)學教學能力。

湖南省規(guī)定2016年1月1日及以后入學的全日制師范教育類專業(yè)學生，必須參加國家統(tǒng)一組織的中小學教師資格考試并獲得教育部考試中心頒發(fā)的中小學教師資格考試合格證明，才能申請教師資格證書。而按照2012年5月教育部考試中心和教育部師范教育司聯(lián)合下發(fā)的《中小學和幼兒園教師資格考試大綱（試行）》“綜合素質(zhì)”考試目標要求，中小學和幼兒園教師應“具有閱讀理解、語言表達、邏輯推理、信息處理等基本能力”，并在邏輯推理能力方面提出了較高的要求，即能夠準確而有條理地進行推理、論證。因為初等數(shù)論課程能夠有效地訓練學生的思維，提高其邏輯推理能力，所以小學教育專業(yè)開設初等數(shù)論課程有利于學生順利通過國家教師資格考試。

數(shù)論的很多命題看似十分簡單，但一些命題的證明難度極大，例如角谷猜想、哥德巴赫猜想至今還未被證明。中外許多數(shù)學家都是被數(shù)論問題所吸引而對數(shù)學產(chǎn)生濃厚興趣的。學生在學習初等數(shù)論的過程中，很多結(jié)論和現(xiàn)象（如質(zhì)數(shù)螺旋現(xiàn)象等）可以由自己獨立地認識理解，很多具有創(chuàng)造性的簡單問題可以由自己獨立地解答，這不僅可以激發(fā)其學習興趣，而且可以培養(yǎng)提高其觀察力、創(chuàng)造力。

二、初等數(shù)論課程概念教學的重要性

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的一門科學，因而數(shù)學概念是客觀世界中數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映，它是用數(shù)學語言和符號揭示事物共同屬性的思維形式。概念反映的所有對象的共同屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵，而適合這個概念所指的對象的全體稱為這個概念的外延。數(shù)學中的概念是多種多樣的，根據(jù)它們的具體內(nèi)容和在數(shù)學中的地位和作用，就有基本的關鍵概念和一般的次要概念之分[2]74。以下把初等數(shù)論中的整除、同余等概念稱為關鍵概念，把虧數(shù)、完全數(shù)、盈數(shù)等概念稱為次要概念。

數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識的重要組成部分，是學習其他數(shù)學知識的基礎，也是進行正確計算、判斷、推理的依據(jù)，因此概念教學有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，發(fā)展學生的智力，而學生對概念的掌握程度直接關系到課程學習的好壞。

小學教育專業(yè)數(shù)學類課程的設置目標是培養(yǎng)合格的小學數(shù)學教師。小學數(shù)學中與數(shù)的運算有關的概念共有64個[3]，但去掉分數(shù)、小數(shù)的定義和數(shù)的加減乘除四則運算相關的定義后，幾乎全部包含在初等數(shù)論中，所以學生掌握初等數(shù)論的各個概念能夠為小學數(shù)學教學打下良好的基礎。

小學教育專業(yè)初等數(shù)論課程中的數(shù)學概念較多，但學生學習此課程前對其中的絕大部分都有一定的了解，所以一些教師在教學中常常會“輕概念、重推理”。邏輯推理是初等數(shù)論教學的重點無可厚非，但輕概念就值得商榷了。筆者曾選取數(shù)位、整除、約數(shù)、質(zhì)數(shù)等10個概念，在懷化學院2013級小學教育專業(yè)數(shù)理方向?①的學生中做了一次調(diào)查，結(jié)果表明所有學生都學過這些概念，但多數(shù)學生不能準確表述，部分學生因?qū)σ恍└拍畹睦斫獗容^模糊而導致錯誤的看法。加強初等數(shù)論課程概念教學的必要性和重要性由此可見。

三、小學教育專業(yè)初等數(shù)論課程概念教學的策略

（一）精講關鍵概念的定義

（二）細講關鍵概念的性質(zhì)

（三）把關鍵概念與其他概念聯(lián)系起來形成概念體系

初等數(shù)論中的很多概念都是上下位關系，而關鍵概念一般為上位概念，如整除是約數(shù)的上位概念，而約數(shù)是公約數(shù)的上位概念，公約數(shù)又是最大公約數(shù)的上位概念。在初等數(shù)論課程的教學中，教師應以關鍵概念為基礎，通過上下位關系將若干概念聯(lián)系起來形成概念體系，例如，可將整除理論中的整除、倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)、約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)、合數(shù)、質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、互質(zhì)、兩兩互質(zhì)、虧數(shù)、盈數(shù)、完全數(shù)等概念組成一個概念體系。形成概念體系能使數(shù)學知識系統(tǒng)化、條理化，有效避免相似概念的混淆。學生只有了解概念體系中各個概念所處的位置及相互聯(lián)系，才能比較全面、深刻地理解相關概念。教師在幫助學生形成概念體系時，應有意識地引導學生去對比容易混淆的概念，防止產(chǎn)生負遷移。

（四）把初等數(shù)論的概念與已學課程中的類似概念做對比講解

（五）要求學生多做與概念相關的練習

應用概念是學習概念的重要目的，也是牢固掌握概念的必由之路。在初等數(shù)論課程的教學中，教師應適時地多布置一些與概念相關的練習，并注意選擇巧妙地插入數(shù)學概念的題目，使學生在運算、推理、證明的過程中領悟數(shù)學概念的理論指導作用，逐步提高概念思維能力。例如質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念十分簡單，理解起來難度也不大，但學生只有通過一定量的應用性練習才能深刻理解和真正掌握，而判斷某個具體的數(shù)為質(zhì)數(shù)或合數(shù)多是從概念的定義出發(fā)的，如可根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義用反證法證明質(zhì)數(shù)的個數(shù)為無限個。

小學教育專業(yè)初等數(shù)論課程的概念教學十分重要，但在保證學生掌握概念的前提下，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力也是該課程教學的一個重要目的。教師在進行概念教學時，必須把握概念教學的目標，正確處理概念教學的發(fā)展性與階段性矛盾，必須加強直觀教學，處理好具體與抽象的矛盾。

注釋：

①懷化學院小學教育專業(yè)有兩個專業(yè)方向，一個是培養(yǎng)小學數(shù)學教師的數(shù)理方向，另一個是培養(yǎng)小學語文教師的文科方向。

[1] 晏燕雄，徐海靜．我國初等數(shù)論課程教學改革的必要性及途徑[J]．西南師范大學學報（自然科學版），2012(4)：217–220．

[2] 匡繼昌．如何理解和掌握數(shù)學概念的教學實踐與研究[J]．數(shù)學教育學報，2013(6)：74–78．

[3] 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等．小學數(shù)學研究[M]．北京：高等教育出版社，2009：4．

[4] 王進明．初等數(shù)論[M]．北京：人民教育出版社，2002．

[5] 張力宏．高等代數(shù)[M]．北京：人民教育出版社，2002：15．

〔責任編輯 張繼金〕

2018-06-15

懷化學院教學改革項目（懷院發(fā)〔2017〕76號/27）

李玉慧（1973―），男，苗族，湖南麻陽人，講師，碩士。

G642.0

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1006–5261(2018)05–0150–03