算中學(xué)方法，畫中悟本質(zhì)
——解直角三角形復(fù)習(xí)課教學(xué)有感

江蘇省太倉市第一中學(xué) 朱 胤

一、課堂再現(xiàn)

1．呈現(xiàn)基本圖形，凝練常規(guī)方法

活動1：如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC。

圖1

圖2

生1：過C作CD⊥AB，如圖2，在Rt△ACD中，可知CD=2，在Rt△BCD中，可知

變式：在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=8，求BC。

生2：同上題，仍過C作CD⊥AB，把△ABC分割成兩個直角三角形，

師：借助特殊角，如30°、45°構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的知識解決問題，此時一般有兩種情況：一是已知邊長可直接求其他邊長，二是已知某條線段長，可利用方程的思想求解。

【設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)的真正目的是總結(jié)和歸納。教師在課堂中與學(xué)生及時對比問題的異同、總結(jié)歸納相關(guān)問題的解決方法，既是記憶的過程，又是提高、分析的過程，也是學(xué)生自我反思的過程。對問題及時總結(jié)歸納，可有效避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，扎實學(xué)生基礎(chǔ)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率】

2．動手實踐操作，畫出知識生長點

活動2：如圖3，已知AB=8，∠A=30°，在射線AP上取點C，構(gòu)造△ABC，再補充一個條件，求出△ABC中未知邊的長。

（1）條件一：∠ABC=45°

王維山也鐘情于“青”和“白”，根據(jù)吳曉龍的統(tǒng)計，“白達91次，青達62次”〔2〕，遠超芭蕉。王維詩歌中，還呈現(xiàn)出一個特點，即“青(或綠、或碧)”與“白”的色彩組合。茲舉四例說明，如：

圖3

（2）條件二：∠ABC=15°

生4：如圖4，過B作BD⊥AP于點D，在Rt△ABD中，AB=8，∠A=30°，則BD=CD=4，

圖4

師：增加條件二后，∠ACB=135°，它的鄰補角為45°，因此我們可以借助鄰補角構(gòu)造出直角三角形，從而求解問題。所以對于特殊角，我們可以從30°、45°、60°擴充到150°、135°、120°。

（3）條件三：BC=6

圖5

生5：如圖5，過C作CD⊥AB于D，設(shè)CD為x，則AD為再在Rt△BCD中利用勾股定理可得最終算出△ABC的各邊長，但是算得太煩了，還沒算出答案！

生6：如圖6，過B作BD⊥AP于D，在Rt△ABD中，AB=8， ∠A=30°， 則在Rt△BCD中利用勾股定理可得CD=，最終算得

圖6

生7：我畫的圖和他們都不一樣……

（激烈的交流討論中）

師： 當BC=3，4，5時，AC的長又為多少呢？

通過畫圖激起學(xué)生的求知欲，開啟了學(xué)生的思維，讓學(xué)生的探究成為可能，思維從“畫”開始螺旋上升直至揭示問題本質(zhì)。在學(xué)生探究中，教師充分引導(dǎo)學(xué)生正確地“畫”，大膽地“想”，合理地“思”，在批判與質(zhì)疑中，在師生、生生的互動中產(chǎn)生教與學(xué)的合力，讓學(xué)生“畫”出思維的生長過程。

3．從特殊到一般，畫出問題的本質(zhì)

活動3：如圖3，已知AB=a，∠A=30°，在射線AP上取點C，若BC長為b（a，b＞0），求AC的長。

【設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)的價值不在模仿而在創(chuàng)新。課堂上教師對問題深入挖掘，一層一層地追問，挖掘出了隱藏在問題背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生不斷建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)，不斷提升自己的能力】

4．及時鞏固拓展，增加思維的靈動

活 動4： 如 圖7， 已 知 △ABC中，∠A=30°，∠C=15°，AB=10，你能求出哪些量？

生9：可以求出BC的長，過C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，如圖8，設(shè)CD長為x，

圖7

圖8

生10：能求出△ABC的面積。

師：△ABC的周長能求嗎？（激烈的討論交流中）

【設(shè)計意圖：根據(jù)心理學(xué)的有關(guān)實驗表明：練習(xí)可以及時反饋學(xué)生掌握知識、形成技能等各種信息，從而更好地調(diào)整教學(xué)活動。開放性練習(xí)的設(shè)置，能配合不同能力水平學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，有效促進不同層次學(xué)生的發(fā)展】

二、課后思考

1．算中凝練方法，提高學(xué)生解題能力

面對一個問題，一個題目，教師要幫助學(xué)生找到一個切實可行的解題方法，在平時的教學(xué)中應(yīng)把主要時間放在“通法的教學(xué)”和應(yīng)用上，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性、自覺性和創(chuàng)造性。通過方程、轉(zhuǎn)換、類比、遷移等數(shù)學(xué)思想方法提煉總結(jié)出一般的解題思路或者解題突破口，提高學(xué)生解題的速度和正確率，讓學(xué)生獲得成功的經(jīng)驗，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

2．動手實踐，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)

課堂教學(xué)中運用“畫”這一操作，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)問題，增強學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神，在豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)的情感體驗的同時，更是在不知不覺中觸及了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3．課堂教學(xué)關(guān)注知識的“生長過程”

復(fù)習(xí)課的教學(xué)不是對全章知識的重復(fù)羅列和例題的簡單堆砌，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只能對知識進行“死”應(yīng)用，學(xué)生對于沒有遇到過的問題就束手無策了。因此教師在平時的教學(xué)中要重視“活”知識的發(fā)現(xiàn)和這個發(fā)現(xiàn)過程中思維能力的培養(yǎng)和提高，把教學(xué)的過程設(shè)計成學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)，再發(fā)明、再創(chuàng)造”的過程，讓學(xué)生在動手操作、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證、歸納等實踐活動中碰撞出智慧的火花，引導(dǎo)學(xué)生掌握研究問題的一般方法。

4．基本圖形培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在幾何中的表現(xiàn)就是分割成一個個的基本圖形，教師在平常教學(xué)中，要有意識地進行基本圖形的教學(xué)。本節(jié)課中兩個直角三角形組成的圖形就是銳角三角函數(shù)中的一個基本圖形，課上教師從開始就拋出了基本圖形并概括出了一般的解題方法，讓每一位同學(xué)把應(yīng)知應(yīng)會的知識牢記于心，并在系列變式中讓學(xué)生辨析基本圖形，不斷完善相關(guān)解法，在培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力的同時，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

5．本質(zhì)教學(xué)做好初高中內(nèi)容銜接

初中數(shù)學(xué)屬于基礎(chǔ)教育，在知識、能力、學(xué)習(xí)方式等方面與高中存在很大差異，因此教師應(yīng)以負責(zé)和發(fā)展的態(tài)度，在初高中銜接的知識點上適當拓展，有意點撥，給學(xué)生的認識過程留下足夠的空間和時間。

數(shù)學(xué)很重要的幾個因素就是邏輯與直覺、分析與創(chuàng)造、一般性與特殊性，正是它們的綜合交錯作用才構(gòu)成數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵。教學(xué)時通過學(xué)生實踐操作，讓學(xué)生獲得情感體驗，從簡到難，從一般到特殊，經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、解決的全過程，在這個過程中，有學(xué)生的模仿，有學(xué)生的探究，有學(xué)生的困惑，有學(xué)生的發(fā)現(xiàn)總結(jié)，正是我們追求的課堂教學(xué)。